2.2 轉置逆與單位矩陣#

前言：矩陣的「除法」#

數有倒數，矩陣有沒有「逆」？這個問題的答案比想像中微妙：有些矩陣可逆，有些不可逆，而「可逆」這個性質正是線性代數最核心的分水嶺——它等價於「解唯一」「行列式非零」「行獨立」「秩滿」等十幾個看似無關的命題（本章 3.2 節將整理成著名的「可逆矩陣定理」）。本節我們定義轉置、單位矩陣與逆矩陣，學會求逆的方法，並看見「逆矩陣」在理論與實務上的不同面貌。

歷史前因後果#

凱萊與逆矩陣的誕生#

凱萊在 1858 年的《矩陣論回憶錄》中已經定義了單位矩陣與逆矩陣：矩陣 \(A\) 的逆 \(A^{-1}\) 是滿足 \(AA^{-1} = A^{-1}A = I\) 的矩陣。他也指出了關鍵限制：只有方陣才可能有逆，而且必須行列式非零。

為什麼提出：解方程組 \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) 時，人們自然希望能像解 \(ax=b\) 一樣「兩邊除以 \(A\) 」得到 \(\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}\) 。凱萊證明這個願望在 \(A\) 可逆時確實實現，並且解是唯一的。
解決了什麼問題：理論上，「 \(A\) 可逆」成為「解存在且唯一」的代數判準；實務上，把方程組的結構從「逐條消去」升級為「一次性整體求解」。
引發了什麼新問題：不是每個矩陣都可逆——不可逆（奇異）矩陣怎麼辦？這條線最後由摩爾（E. H. Moore, 1920）、彭若斯（Roger Penrose, 1955）的偽逆（pseudoinverse）回答，用於處理長方形矩陣與矛盾系統（9.3 節）。另一條線是：計算 \(A^{-1}\) 是否值得？1940 年代末的數值分析師發現：先算逆再乘，通常比直接解方程組更慢又更不精確——這是理論與計算的著名張力，10.1 節將詳述。

轉置：從行列式繼承的對稱操作#

轉置 \(A^T\) （列行互換）的歷史更深，可追溯到行列式理論：1812 年柯西（Augustin-Louis Cauchy, 1789–1857）證明行列式在轉置下不變，這使「列變換的性質自動成立於行變換」。內積 \((\mathbf{u},\mathbf{v}) = \mathbf{u}^T\mathbf{v}\) 用轉置表達後，對稱矩陣 \(A = A^T\) 的研究（第 8 章）成為可能。希爾伯特空間理論（1900 年代）中的「伴隨算子」就是轉置的無窮維推廣，通往量子力學的自伴算子。

單位矩陣與轉置#

單位矩陣#

\(n\) 階單位矩陣 \(I_n\) 是對角線為 1、其餘為 0 的方陣：

\[ I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

性質： \(IA = AI = A\) （尺寸允許時）。它是矩陣乘法的單位元素，也是初等變換「什麼都不做」的表現。注意： \(I\) 可與任意矩陣交換（尺寸允許時），這是稀有的禮遇——矩陣世界裡大部分同伴不能交換。

轉置#

\(m\times n\) 矩陣 \(A\) 的轉置 \(A^T\) 是 \(n\times m\) 矩陣， \((A^T)_{ij} = a_{ji}\) ——把列行互換。性質：

性質	說明
\((A^T)^T = A\)	轉置兩次還原
\((A+B)^T = A^T + B^T\)	加法相容
\((cA)^T = c\,A^T\)	純量穿越
\((AB)^T = B^TA^T\)	順序反轉！「穿襪子與穿鞋」
\((A^T)^{-1} = (A^{-1})^T\)	轉置與求逆可交換順序

\((AB)^T = B^TA^T\) 的直覺（鞋襪引理）：穿襪再穿鞋，脫掉時必須先脫鞋再脫襪——順序反轉。推廣： \((ABC)^T = C^TB^TA^T\) 。

特別地，內積可寫為 \(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = \mathbf{u}^T\mathbf{v}\) ，而 \(\|\mathbf{v}\|^2 = \mathbf{v}^T\mathbf{v}\) ——轉置是連接代數與幾何的介面。特殊矩陣的分類：

名稱	條件	幾何／物理意義
對稱矩陣	\(A = A^T\)	二次型、協方差矩陣、譜定理（第 8 章）
反對稱矩陣	\(A^T = -A\)	對角必為 0；旋轉的無窮小生成元
正交矩陣	\(Q^TQ = I\)	保長度與角度（旋轉、反射），第 7 章
對角矩陣	非對角全為 0	各維度獨立縮放

逆矩陣#

定義與唯一性#

\(n\) 階方陣 \(A\) 可逆（invertible / nonsingular），若存在 \(n\) 階方陣 \(A^{-1}\) 使

\[ AA^{-1} = A^{-1}A = I \]

這時逆矩陣唯一：若 \(AB = I = CA\) ，則 \(B = IB = (CA)B = C(AB) = CI = C\) 。單側逆在方陣情況下就足以推得另一側——這是結合律送的禮。

注意：非方陣不可能有雙側逆（尺寸不匹配）；長方形矩陣的「單側逆」概念引向偽逆（9.3 節）。

2×2 的快速公式與一般公式#

\[ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}, \quad \text{當 } ad - bc \ne 0 \]

一般 \(n\) 階可用伴隨矩陣：

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\mathrm{adj}(A) \]

其中 \(\mathrm{adj}(A)\) 由代數餘子式構成。但實務上 \(O(n^3)\) 以上的成本使這公式只有理論價值；數值計算一律用高斯–若爾當消去或 LU 分解。

求逆的標準方法：高斯–若爾當#

對 \([A \mid I]\) 做列變換，化成 \([I \mid A^{-1}]\) 。理由：若 \(E_k\cdots E_1 A = I\) ，則同一串變換作用於 \(I\) 得 \(E_k\cdots E_1 I = A^{-1}\) ——同一套消去動作同時「清空 \(A\) 」與「填入逆」。

逆的性質#

性質	說明
\((A^{-1})^{-1} = A\)	逆的逆是原矩陣
\((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)	順序反轉（鞋襪引理再現）
\((A^T)^{-1} = (A^{-1})^T\)	轉置與逆交換
\((A^k)^{-1} = (A^{-1})^k\)	冪的逆

\((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\) 的推論：交換矩陣 \(S = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\) 滿足 \(S = S^{-1}\) （做兩次交換回到原狀）；旋轉矩陣的逆是反向旋轉。

可逆性的等價刻畫（可逆矩陣定理節選）#

以下對 \(n\) 階方陣 \(A\) 全部等價（完整清單見 3.2 節）：

\(A\) 可逆；
\(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\) 只有零解；
\(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 對每個 \(\mathbf{b}\) 恰有一解；
\(A\) 的 RREF 是 \(I\) ；
\(A\) 的行線性獨立、且張成 \(\mathbb{R}^n\) ；
\(\det A \neq 0\) （第 3 章）；
\(A\) 的秩為 \(n\) （第 4 章）；
\(0\) 不是 \(A\) 的特徵值（第 6 章）。

這張清單是線性代數的「中央車站」：各章的理論在這裡交會。

flowchart TD
    A["A 可逆"] --> B["det A ≠ 0"]
    A --> C["Ax=0 僅零解"]
    A --> D["行獨立 / 秩 = n"]
    A --> E["RREF = I"]
    A --> F["0 非特徵值"]
    B --> C --> D --> E --> F --> B
    G["不成立之一 ⇒ 全部不成立<br/>（奇異矩陣）"]

例題#

例題 2.2-1（求逆與解方程）：求 \(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}\) 的逆，並用它解 \(A\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 4 \\ 11 \end{bmatrix}\) 。

解： \(ad - bc = 6 - 5 = 1 \neq 0\) ，故可逆：

\[ A^{-1} = \frac{1}{1}\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} \]

驗算： \(\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6-5 & -2+2 \\ 15-15 & -5+6 \end{bmatrix} = I\) ✓。

\[ \mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 \\ 11 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 - 11 \\ -20 + 22 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \]

例題 2.2-2（高斯–若爾當求 3 階逆）：求 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \end{bmatrix}\) 的逆。

\[ \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow{R_3 \to R_3 - R_1} \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right] \]

\[ \xrightarrow{R_3 \to R_3 - R_2} \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow{R_1 \to R_1 - 2R_3,\ R_2 \to R_2 - R_3} \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 3 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 \end{array}\right] \]

故 \(A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 2 & -2 \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}\) 。驗算 \(AA^{-1} = I\) ：第一列乘第一行 \(1\cdot3 + 0\cdot1 + 2\cdot(-1) = 1\) ✓。

例題 2.2-3（不可逆的辨識）： \(A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}\) 。 \(ad - bc = 6 - 6 = 0\) ，不可逆。理由：第二行是第一行的 \(3\) 倍， \(A\) 把整個平面壓到一條直線上——資訊已丟失，不可能有矩陣能還原。用消去法看： \([A \mid I]\) 化簡後會出現 \([0 \mid 1]\) 型列，矛盾。這個例子同時預告 3.1 節：行列式為零 ⇔ 體積被壓扁 ⇔ 不可逆。

初等矩陣：把列變換變成矩陣#

將單位矩陣做一次初等列變換所得的矩陣稱初等矩陣（elementary matrix）。三種類型：

類型	例子（3 階）	對應列變換
交換	\(S_{12} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)	\(R_1 \leftrightarrow R_2\)
倍乘	\(M_2(3) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)	\(R_2 \to 3R_2\)
倍加	\(E_{21}(4) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)	\(R_2 \to R_2 + 4R_1\)

關鍵定理：左乘初等矩陣 ⇔ 做對應的列變換。推論：

每個初等矩陣都可逆，且其逆是同型初等矩陣；
\(A\) 可逆 \(\iff\) \(A\) 可寫成初等矩陣的乘積；
這就是 1.3 節 LU 分解 \(A = LU\) 的正式基礎。

與其他領域的關聯#

密碼學：希爾密碼的解密金鑰就是加密矩陣的逆；矩陣可逆性直接決定密碼是否可用。
圖論／網路：圖的生成樹計數（矩陣–樹定理）透過「刪行刪列的行列式」與可逆性連結。
機器學習：正規方程中的 \(X^TX\) 若不可逆（特徵共線性），需改用嶺迴歸 \(X^TX + \lambda I\) ——加 \(\lambda I\) 保證可逆，這是「正則化」的線性代數本質（10.2 節）。
微分方程：一階線性系統解中的矩陣指數 \(e^{At}\) 之逆為 \(e^{-At}\) ；離散化的傳遞矩陣可逆性決定系統能否回溯。
量子力學：演化算子 \(U\) 滿足 \(U^\dagger U = I\) （酉矩陣，複數版的正交矩陣），「量子演化可逆」是物理基本要求。

本節小結#

轉置「列行互換」，乘法下順序反轉； \(\mathbf{u}^T\mathbf{v}\) 把內積代數化，通往第 7、8 章。
逆矩陣由 \(AA^{-1}=I\) 定義、唯一、可用高斯–若爾當求出； \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\) 的鞋襪原理反覆出現。
「 \(A\) 可逆」有一整張等價清單，貫穿行列式、秩、特徵值各章。
初等矩陣把列變換矩陣化，使 LU 分解與消去法理論獲得代數基礎。
不可逆不是邊角情況：壓扁空間的矩陣到處都是，偽逆（9.3）與正則化是現代補救方案。

深入議題：逆矩陣的理論與實務#

為什麼不該「先算逆再乘」？#

理論上 \(\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}\) 優雅；數值上這是反模式。原因有三：

成本：求 \(A^{-1}\) 需要 LU 分解 + \(n\) 次三角求解（ \(O(n^3) + O(n^3)\) ），而直接解 \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) 只需 \(O(n^3) + O(n^2)\) 。
精度： \(A^{-1}\) 的元素可能條件不佳，形成 \(A^{-1}\mathbf{b}\) 時誤差再放大；直接 LU 求解的向後誤差更小。
稀疏性： \(A\) 稀疏時 \(A^{-1}\) 通常稠密——逆矩陣會摧毁稀疏結構，LU 分解（配合排序）則多數情況保持稀疏。

1970 年代 Forsythe–Moler 的經典教科書已明文警告；今天 LAPACK 的文件仍重複同一句話：「Don't invert, solve.」這是「數學恆等式 ≠ 計算程序」的最好教材。

條件數的第一次出場#

對可逆 \(A\) ，解 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 的相對誤差滿足

\[ \frac{\|\Delta\mathbf{x}\|}{\|\mathbf{x}\|} \le \|A\|\,\|A^{-1}\|\cdot\frac{\|\Delta\mathbf{b}\|}{\|\mathbf{b}\|} = \kappa(A)\,\frac{\|\Delta\mathbf{b}\|}{\|\mathbf{b}\|} \]

乘積 \(\kappa(A) = \|A\|\|A^{-1}\|\) 稱條件數——誤差放大器（9.3 節完整發展）。此處先記住直覺： \(\kappa\) 大 = 矩陣「接近奇異」= 解對資料極敏感。注意： \(\kappa(A)\) 是矩陣的屬性，與 \(\mathbf{b}\) 無關；挑對演算法改變不了 \(\kappa\) ，只能避免雪上加霜。

伴隨矩陣的恆等式#

凱萊時代的公式

\[ A\,\mathrm{adj}(A) = (\det A)\,I \]

是 3.2 節可逆矩陣定理「 \(\det A \ne 0 \Rightarrow A^{-1} = \mathrm{adj}(A)/\det A\) 」的證明核心，也直接推出克萊姆法則（把恆等式逐行讀出）。 \(n = 3\) 時共 9 個二階行列式、 \(n = 10\) 時是 100 個九階行列式——計算量隨 \(n\) 爆炸，再次印證「公式漂亮 ≠ 計算可行」。

矩陣函數與群的視角#

可逆矩陣構成一個群#

滿足以下三點的物件集合 \(GL_n(\mathbb{R})\) （可逆 \(n\) 階實矩陣）構成群：封閉（ \(A, B\) 可逆 → \(AB\) 可逆）、結合律、單位元 \(I\) 、反元素 \(A^{-1}\) 。這個群是李群（Lie group）最著名的例子之一——它的「無窮小鄰域」的代數（矩陣指數 \(e^{tA}\) ）正是微分方程與剛體力學的數學基礎。

正交矩陣 \(Q^TQ = I\) 構成子群 \(O(n)\) ； \(\det = 1\) 的旋轉群 \(SO(n)\) 是其指標 2 的子群——「旋轉」與「反射」的分類（3.3 節）在群論中就是這兩個連通分支。

矩陣指數預告#

定義 \(e^{A} = \sum_{k\ge0}\frac{A^k}{k!}\) 。對可交換的 \(A, B\) （例如 \(A\) 與 \(I\) ）指數律成立；一般情況不成立，且

\[ e^{A}e^{B} \neq e^{B}e^{A} \iff AB \neq BA \quad \text{（等價！）} \]

著名恆等式： \(e^{\theta S} = \cos\theta\,I + \sin\theta\,S\) ，其中 \(S = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\) （ \(90°\) 旋轉生成元， \(S^2 = -I\) ）——旋轉矩陣是指數函數，這是 6.3 節複特徵值 \(e^{i\theta}\) 的矩陣版本，也是微分方程組 \(\mathbf{x}' = A\mathbf{x}\) 解為 \(e^{At}\mathbf{x}_0\) 的根據（第 6 章）。

例題（續）#

例題 2.2-4（用逆解矩陣方程）：解 \(\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}X\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) 。

解：兩邊左乘 \(A^{-1}\) 、右乘 \(B^{-1}\) ： \(X = A^{-1}\begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}B^{-1}\) 。

\(A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\) （ \(\det A = 1\) ）； \(B^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) （ \(\det B = 1\) ）。

\[ A^{-1}\begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4-3 & 5-4 \\ -4+6 & -5+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \]

\[ X = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \]

驗算左側： \(AX = \begin{bmatrix} 2&1\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-1\\2&-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4&-3\\3&-2\end{bmatrix}\) ； \(AXB = \begin{bmatrix}4&-3\\3&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4&5\\3&4\end{bmatrix}\) ✓。

例題 2.2-5（正交矩陣的預演）：驗證 \(Q = \frac{1}{\sqrt2}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\) 滿足 \(Q^TQ = I\) ，並計算 \(\det Q\) 。

\[ Q^TQ = \frac12\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \frac12\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = I \checkmark \]

\(\det Q = \frac12(1\cdot1 - (-1)\cdot1) = 1\) ——保定向的正交矩陣 = 旋轉（角度 \(\arctan(1/1)\cdot\) 符號判讀 = \(45°\) ）。求逆免費： \(Q^{-1} = Q^T = \frac{1}{\sqrt2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\) （即反向旋轉 \(45°\) ）。

練習題#

用兩種方法求 \(A = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}\) 的逆（公式法與高斯–若爾當），核對一致。
證明：若 \(A\) 可逆且 \(AB = O\) ，則 \(B = O\) 。逆矩陣的什麼性質使「消去律」恢復？
設 \(A\) 滿足 \(A^2 + 2A + I = O\) 。證明 \(A\) 可逆並求 \(A^{-1}\) （用 \(A\) 表示）。（答： \(A^{-1} = -A - 2I\) 。）
證明上三角可逆矩陣的逆仍上三角。
計算 \(\det\left(\mathrm{adj}(A)\right)\) 與 \(\det A\) 的關係（ \(n\) 階）。（答： \(\det\,\mathrm{adj}(A) = (\det A)^{n-1}\) 。）
（思考）非方陣 \(m\times n\) （ \(m \ne n\) ）為什麼不可能有雙側逆？用「維度守恆」（第 4 章預告）的語言解釋。

預告：矩陣太大時，能否切成小塊處理？下一節 2.3 介紹分塊矩陣——工程與數值計算中管理龐大矩陣的標準手藝。