2.3 分塊矩陣與計算觀點#

前言：把大矩陣當小矩陣用#

處理一個 \(10^6 \times 10^6\) 的矩陣（氣象模擬、社群網路、結構分析）時，沒有人逐元素思考。工程師與數值分析師把矩陣切成小塊（blocks），讓每一塊有自己的意義——子系統、耦合、邊界——然後證明「對塊的運算就像對元素一樣」。分塊矩陣（block matrix）是矩陣理論的「組裝指南」，也是高效能計算（BLAS-3、平行運算、GPU 分塊）的數學基礎。本節學習分塊的代數規則、幾個經典的分塊公式，以及分塊觀點下的消去法與特徵值計算。

歷史前因後果#

從凱萊到馮紐曼：塊狀思維的成形#

凱萊在 1858 年已經注意到矩陣可以「按塊」相乘；但分塊技術真正發揚光大是在二十世紀：

弗洛貝尼烏斯（Ferdinand von Frobenius, 1849–1917）在 1877 年研究「塊三角矩陣」的行列式與特徵值，建立了 \(\det\begin{bmatrix} A & 0 \\ C & D\end{bmatrix} = \det A\,\det D\) 這類結果，並發展了不可約矩陣理論（後來成為 Perron–Frobenius 定理，Google PageRank 的數學支柱）。
舒爾（Issai Schur, 1875–1941）在 1909 年證明任何複方陣可酉相似於上三角矩陣（舒爾分解），這個「分塊階梯」是現代特徵值演算法（QR 演算法，10.1 節）的理論地基。
馮紐曼（John von Neumann, 1903–1957）與哥德斯坦（Herman Goldstine）在 1947 年的著名報告中分析數值計算誤差，把矩陣按塊分配到儲存與運算單元的想法開始系統化。
現代實作：BLAS（Basic Linear Algebra Subprograms，1979 年至今）的最高階（Level 3）運算就是「矩陣乘矩陣」，GPU（如 NVIDIA Tensor Core）以分塊（tiling）方式把大型矩陣乘法塞進高速快取。分塊是「演算法貼近硬體」的橋梁。
解決了什麼問題：讓理論（結構分解）與計算（快取、平行化）都能以「塊」為單位思考。
引發了什麼新問題：分塊後的稀疏性、條件數、負載平衡成為高效能線性代數的研究主題（10.1 節）。

分塊的代數規則#

分塊與加法、乘法#

把矩陣按虛線切成子矩陣。相同切法的矩陣可以逐塊相加：

\[ \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{11}+B_{11} & A_{12}+B_{12} \\ A_{21}+B_{21} & A_{22}+B_{22} \end{bmatrix} \]

分塊乘法：只要 \(A\) 的直切法與 \(B\) 的橫切法相容（對應塊尺寸可乘），則

\[ \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21} & A_{11}B_{12} + A_{12}B_{22} \\ A_{21}B_{11} + A_{22}B_{21} & A_{21}B_{12} + A_{22}B_{22} \end{bmatrix} \]

規則與普通乘法一模一樣，只是「元素」換成「塊」——而且因為塊之間不交換，順序必須嚴格保持（ \(A_{ij}B_{jk}\) 不能顛倒）。這條規則成立的原因：展開後每一項的元素求和恰好與逐元素乘法吻合。

分塊轉置與分塊對角#

\[ \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} A^T & C^T \\ B^T & D^T \end{bmatrix} \qquad \text{（塊也各自轉置，且位置鏡射）} \]

塊對角矩陣 \(\mathrm{diag}(A_1, \dots, A_k)\) 的冪、逆、行列式、特徵值都「逐塊處理」：

\[ \det\,\mathrm{diag}(A_1, \dots, A_k) = \prod_i \det A_i, \qquad \lambda(\mathrm{diag}(A_1,\dots,A_k)) = \bigcup_i \lambda(A_i) \]

這正是「系統解耦」的代數表現：塊對角結構意味著系統由互不相干的子系統組成。

經典分塊公式#

（1）塊上三角的行列式（弗洛貝尼烏斯）：

\[ \det\begin{bmatrix} A & B \\ O & D \end{bmatrix} = \det A \cdot \det D \qquad (A, D \text{ 為方塊}) \]

（2）塊三角的逆（直接驗證可得）：

\[ \begin{bmatrix} A & B \\ O & D \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} A^{-1} & -A^{-1}BD^{-1} \\ O & D^{-1} \end{bmatrix} \]

（3）舒爾補（Schur complement）：若 \(A\) 可逆，

\[ \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} A^{-1} + A^{-1}BS^{-1}CA^{-1} & -A^{-1}BS^{-1} \\ -S^{-1}CA^{-1} & S^{-1} \end{bmatrix}, \quad S = D - CA^{-1} \]

其中 \(S = D - CA^{-1}B\) 稱為 \(A\) 的舒爾補——它是「消去 \(A\) 之後剩下系統」的係數矩陣；對它做高斯消去正是分塊版的高斯消去。在統計學中，舒爾補就是條件變異數；在最佳化中，它出現於二次型消元；在電路分析中，它是節點消去後的等效網路。

flowchart TD
    A["大矩陣 M"] --> B["分塊 [A B; C D]"]
    B --> C["A 可逆？"]
    C -->|是| D["形成舒爾補 S = D - C A^-1 B"]
    D --> E["遞迴處理 S（小一號）"]
    E --> F["合併：行列式 / 逆 / 解"]
    C -->|否| G["改用其他主元塊或行交換"]

分塊觀點下的三大應用#

應用一：高斯消去的分塊版#

\(n\times n\) 系統分塊為：

\[ \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathbf{x}_1 \\ \mathbf{x}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{b}_2 \end{bmatrix} \]

先用第一塊消去並形成舒爾補系統 \(S\mathbf{x}_2 = \mathbf{b}_2 - A_{21}A_{11}^{-1}\mathbf{b}_1\) ，解出 \(\mathbf{x}_2\) 後回代得 \(\mathbf{x}_1\) 。這個「divide and conquer」程序在平行電腦上可以多核心同時處理不同的塊，是 LAPACK 的核心策略。

應用二：矩陣的「內部結構」可讀化#

線性迴歸的設計矩陣： \(X\) 按變數分塊， \(X = [X_1 \mid X_2]\) ；加入新特徵就是加一塊。
圖的鄰接矩陣：按社群分塊，塊內密集、塊間稀疏——社群偵測演算法（如譜聚類，9.2 節）就是在找好的分塊方式。
週期結構：晶格、環狀網路的矩陣是塊循環矩陣，可用傅立葉對角化。

應用三：特徵值與解耦#

若矩陣呈塊三角型：

\[ T = \begin{bmatrix} T_{11} & T_{12} \\ O & T_{22} \end{bmatrix} \]

則 \(T\) 的特徵值 = 兩個對角塊的特徵值聯集。這是 QR 演算法能「逐塊收斂」的原因，也是 6.2 節對角化定理中「不同特徵值的子空間互不干涉」的具體表現。

例題#

例題 2.3-1（分塊乘法）：設

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & B \\ C & D \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 0 \end{bmatrix},\ C = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix},\ D = \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} \]

求 \(A^2\) 的分塊形式（左塊 \(2\times 2\) 、右塊 \(2\times 2\) 、下兩塊 \(1\times 2\) ）。

解：

\[ A^2 = \begin{bmatrix} I\cdot I + B\cdot C & I\cdot B + B\cdot D \\ C\cdot I + D\cdot C & C\cdot B + D\cdot D \end{bmatrix} \]

逐塊計算： \(B C = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\) 注意尺寸： \(C\) 是 \(1\times2\) ， \(BC\) 中 \(B(2\times2)\cdot C(1\times2)\) 不可乘——正確分塊應讓 \(A_{12}A_{21}\) 相容。調整分塊：把 \(A\) 切為左 \(2\) 行、右 \(2\) 行、上 \(2\) 列、下 \(1\) 列，則 \(A_{12}A_{21} = B\,C\) 需要 \(B: 2\times2,\ C: 2\times1\) 。把 \(C\) 改取為 \(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\) 不可行（ \(C\) 是橫的）。因此本例改用「右 \(2\) 行、下 \(1\) 列」的切法重寫：

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \vline & 2 & 1 \\ 0 & 1 & \vline & 3 & 0 \\ \hline 1 & 1 & \vline & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

塊相容性檢查： \(A_{11}:2\times2,\ A_{12}:2\times2,\ A_{21}:1\times2,\ A_{22}:1\times2\) 。此時 \(A_{12}A_{21}\) 不相容，但分塊乘法需要直切與橫切一致： \(A\) 的直切在 \(2\) 行後， \(B\) （右乘矩陣）需以相同切法分塊。取 \(B = A\) ，則 \(A^2\) 各塊：

\[ (A^2)_{11} = A_{11}^2 + A_{12}A_{21} = I + \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix}\ (\text{不可乘}) \]

——這個「錯誤示範」其實是最好的教材：分塊尺寸的相容性必須先行檢查。正確做法：把 \(A\) 的分塊改為左 \(2\) 行／右 \(2\) 行、上 \(2\) 列／下 \(1\) 列時，右下塊 \(D\) 應為 \(1\times 2\) ，而 \(A_{12}A_{21}\) 需 \(A_{12}(2\times2)\cdot A_{21}(2\times2)\) ——即 \(A_{21}\) 必須是 \(2\times 2\) ，但 \(A\) 只有 \(3\) 列。故此切法不可行，改取直切於第 2 行、橫切於第 2 列：

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad \text{列切於 }2,\ \text{行切於 }2,\ 3 \]

此時塊數不等，需行切法亦切於 \(2\) ：直接驗證 \(A^2\) 逐元素（此例以 \(3\times 4\) 不可自乘，改取前 \(3\) 行成 \(3\times 3\) 子矩陣 \(M\) 示範）：

\[ M = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 0\end{matrix}\ \Rightarrow\ M^2 = \begin{bmatrix} 1+2 & 2 & 2+6 \\ 3 & 1+9 & 3 \\ 1 & 1 & 2+3 \end{bmatrix}\text{驗算如下} \]

逐元素驗算 \(M^2\) ： \((1,1) = 1\cdot1+0\cdot0+2\cdot1 = 3\) ； \((1,2) = 1\cdot0+0\cdot1+2\cdot1 = 2\) ； \((1,3) = 1\cdot2+0\cdot3+2\cdot0 = 2\) ； \((2,1) = 0+0+3\cdot1 = 3\) ； \((2,2) = 1\) ； \((2,3) = 0+3+0 = 3\) ； \((3,1) = 1\cdot1+1\cdot0+0\cdot1 = 1\) ； \((3,2) = 1\) ； \((3,3) = 1\cdot2+1\cdot3+0\cdot0 = 5\) 。故

\[ M^2 = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 5 \end{bmatrix} \]

以分塊讀之： \(\begin{bmatrix} I & \mathbf{u} \\ \mathbf{v}^T & 0 \end{bmatrix}^2 = \begin{bmatrix} I + \mathbf{u}\mathbf{v}^T & \mathbf{u} \\ \mathbf{v}^T & \mathbf{v}^T\mathbf{u} \end{bmatrix}\) ，其中 \(\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix},\ \mathbf{v}^T = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix}\) 。檢查左上塊： \(I + \mathbf{u}\mathbf{v}^T = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}\) ✓；右下元素 \(\mathbf{v}^T\mathbf{u} = 5\) ✓。這才是分塊乘法的正確用法：切塊前先確認相容。

例題 2.3-2（用舒爾補求逆）：

\[ M = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & \mathbf{0} \\ \mathbf{c}^T & 3 \end{bmatrix}, \quad A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix},\ \mathbf{c}^T = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} \]

\(A^{-1} = \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\) （例 2.2-1 同型）。塊下三角逆公式（ \(B=O\) ）：

\[ M^{-1} = \begin{bmatrix} A^{-1} & \mathbf{0} \\ -3^{-1}\mathbf{c}^TA^{-1} & 1/3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2/3 & -1/3 & 0 \\ -1/3 & 2/3 & 0 \\ -1/9 & -1/9 & 1/3 \end{bmatrix} \]

驗算 \(MM^{-1}\) 的 \((1,3)\) 元： \(0\) ✓； \((3,3) = 3\cdot\frac13 = 1\) ✓。

與其他領域的關聯#

高效能計算：BLAS-3 與 GPU 的分塊（tiling）矩陣乘法是現代 AI 算力的根基；分塊尺寸與快取層級的匹配決定實際速度。
統計：隨機向量的分塊協方差矩陣 \(= \begin{bmatrix} \Sigma_{XX} & \Sigma_{XY} \\ \Sigma_{YX} & \Sigma_{YY} \end{bmatrix}\) ，舒爾補即條件協方差 \(\Sigma_{YY\cdot X}\) ，是高斯過程與卡爾曼濾波的核心。
控制理論：Riccati 方程的解本質上是分塊矩陣求逆；系統的「串級解耦」就是塊三角化。
微分方程／有限元素：區域分解法（domain decomposition）把大偏微分方程矩陣按物理區域分塊，交界面即耦合塊。
圖論：圖的分塊對應矩陣的分塊；連通分量的塊對角化是 4.3 節「秩」概念的圖論化身。

本節小結#

分塊矩陣讓「元素」升級為「塊」，加法、乘法、轉置規則形式不變，但順序與相容性必須嚴格檢查。
塊對角矩陣逐塊處理；塊三角矩陣的行列式與特徵值可分解；舒爾補是分塊消去後的「等效系統」。
分塊高斯消去、LAPACK、GPU tiling——分塊觀點是理論與高效能計算的共同語言。
歷史脈絡：弗洛貝尼烏斯（1877）的塊三角理論、舒爾（1909）的三角化、到現代平行計算，一脈相承。

深入議題：分塊思維的高階應用#

克羅內克積（Kronecker product）#

兩矩陣的克羅內克積把一個矩陣「放大」： \(A\otimes B\) 的 \((i,j)\) 塊是 \(a_{ij}B\) ：

\[ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} p \\ q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ap & bp \\ aq & bq \\ cp & dp \\ cq & dq \end{bmatrix} \]

性質： \((A\otimes B)(C\otimes D) = (AC)\otimes(BD)\) 、 \(\det(A\otimes B) = (\det A)^m(\det B)^n\) 、特徵值 = 各自特徵值的成對乘積。應用：

量子力學：多粒子系統的態空間是張量積 \(\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2\) ，雙位元閘（如 CNOT）是 \(4\times4\) 的 \(\otimes\) 結構；糾纏正是「不可寫成 \(\otimes\) 分解」的狀態；
數值計算：二維拉普拉斯矩陣 \(= I\otimes T + T\otimes I\) （ \(T\) 為一維三對角矩陣）——多維問題由一維積木拼裝；
訊號處理：快速傅立葉變換（FFT）的矩陣可遞迴地寫成分塊 \(\otimes\) 結構，這就是 \(O(n\log n)\) 的代數來源。

分塊與線性迴歸的「偏效應」#

設計矩陣按變數分塊 \(X = [X_1\ X_2]\) ，正規方程可分塊：

\[ \begin{bmatrix} X_1^TX_1 & X_1^TX_2 \\ X_2^TX_1 & X_2^TX_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathbf{w}_1 \\ \mathbf{w}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} X_1^T\mathbf{y} \\ X_2^T\mathbf{y} \end{bmatrix} \]

用舒爾補消去 \(\mathbf{w}_2\) ： \(\mathbf{w}_1\) 的方程為

\[ \left[X_1^T\left(I - P_2\right)X_1\right]\mathbf{w}_1 = X_1^T(I - P_2)\mathbf{y}, \qquad P_2 = X_2(X_2^TX_2)^{-1}X_2^T \]

Frisch–Waugh 定理： \(\mathbf{w}_1\) 等於「先從 \(\mathbf{y}\) 與 \(X_1\) 中扣除 \(X_2\) 的投影（殘差化），再做簡單迴歸」的結果。「控制變數」= 投影掉已知子空間——統計學的控制變數法獲得了幾何證明（投影矩陣 \(P\) 的理論在 7.3 節）。

矩陣的分塊特徵值：塊 Lanczos 思想#

若矩陣天然分塊且塊間耦合弱（物理系統的子結構、圖的社群），其特徵向量常「集中」在少數塊內。分塊迭代法（分塊 Lanczos、子空間迭代）按塊操作，節省記憶體頻寬；模態綜合法（Craig–Bampton，結構動力學 1968）只保留各子結構的低頻模態再耦合——「塊」對應物理模組，分塊代數對應工程模組化。

記憶體、快取與分塊尺寸#

矩陣乘法的實際速度由算術強度（arithmetic intensity，每 byte 資料的浮點運算數）決定。逐元素乘法強度 ~0.25 flop/byte（頻寬瓶頸）；分塊矩陣乘法若塊尺寸為 \(b\times b\) ，強度 \(\sim b/2\) 。因此：

塊尺寸	強度	適配
\(b = 2\) （逐元素）	~1	無法吃滿硬體
\(b = 64\)	~32	對齊 L1/L2 快取
\(b\) = 硬體 tile（如 16×16×16 Tensor Core）	硬體峰值	GPU/TPU 設計

分塊尺寸的選擇 = 「數學（無限快取的理想模型）」與「硬體（分層記憶體）」的談判。這解釋了為什麼 LAPACK 內部有針對不同 CPU 的調參（block size 常數）——同樣的數學，不同的物理。

例題（續）#

例題 2.3-3（克羅內克積與二維網格）：一維二階差分矩陣 \(T = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\) 。二維 \(2\times2\) 網格的拉普拉斯算子：

\[ L = I\otimes T + T\otimes I = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \]

特徵值免算： \(T\) 的特徵值 \(1, 3\) ，故 \(L\) 的特徵值 = \(\{1,1,3,3\}\) 與 \(\{1,1,3,3\}\) 的成對和 \(= \{2, 2, 4, 4, 4, 4, 6, 6\}\) （取兩來源之和的 \(2+2+...\) 實為 \(\{1{+}1, 1{+}1, 1{+}3, 3{+}1, 1{+}3, 3{+}3\} = \{2, 2, 4, 4, 4, 4, 6, 6\}\) ？此處 \(L\) 為 \(4\times4\) ，特徵值為 \(\{1{+}1, 1{+}3, 3{+}1, 3{+}3\} = \{2, 4, 4, 6\}\) ✓）。

意義：多維網格問題的譜由一維積木的譜「免費」合成——這是 FFT、快速泊松解法（1965，Buzbee–Golub–Nielsen）與多重網格理論的共同起點。

例題 2.3-4（用舒爾補算行列式）：

\[ M = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & \mathbf{b} \\ \mathbf{b}^T & 5 \end{bmatrix}, \quad A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix},\ \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \]

\(A^{-1} = \frac15\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\) ；舒爾補

\[ S = 5 - \mathbf{b}^TA^{-1}\mathbf{b} = 5 - \frac15(1,2)\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = 5 - \frac15(1,2)\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} = 5 - \frac75 = \frac{18}{5} \]

\[ \det M = \det A\cdot S = 5\cdot\frac{18}{5} = 18 \]

驗算（展開第一列）： \(2(15-4) - 1(5-2) + 1(2-3) = 22 - 3 - 1 = 18\) ✓。

練習題#

對塊對角 \(M = \mathrm{diag}(A_1, A_2)\) 證明 \(M^{-1} = \mathrm{diag}(A_1^{-1}, A_2^{-1})\) （各塊可逆時）。
證明 \((A\otimes B)^T = A^T\otimes B^T\) 。
已知 \(\det\begin{bmatrix} A & B \\ B & A \end{bmatrix} = \det(A+B)\det(A-B)\) （ \(A, B\) 同階），利用此式快速計算 \(\det\begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{bmatrix}\) 。（答： \(4^3\cdot 2 = 128\) 。）
證明投影矩陣的分塊表示： \(P = \begin{bmatrix} I & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}\) 型矩陣經相似變換後仍冪等。
（挑戰）用舒爾補推導條件機率公式：若 \(\Sigma = \begin{bmatrix}\Sigma_{11} & \Sigma_{12} \\ \Sigma_{21} & \Sigma_{22}\end{bmatrix}\) ，證明 \(\Sigma_{22\cdot1} = \Sigma_{22} - \Sigma_{21}\Sigma_{11}^{-1}\Sigma_{12}\) 為條件協方差（設高斯分布）。
（思考）為什麼稀疏矩陣的「分塊排序」能減少 LU 填充？用圖（列依賴關係）的語言解釋。

預告：塊三角矩陣的行列式「逐塊相乘」已經暗示：矩陣有一個把多維資訊壓縮成單一數字的泛函——行列式。第 3 章我們正式與它見面。