4.3 基底、維度與秩#

前言：空間的座標系與身分證#

三個概念在此匯流：基底（座標系的最簡形態：够用且不多餘）、維度（空間的內在不變量）、秩（矩陣的內在本質維度）。本節將證明：同一個空間的任何兩組基底個數相同——維度是空間的「身分證字號」；並證明貫穿本書的秩–零度定理，把 1.2 節的解結構、3.2 的可逆定理、4.2 的獨立性一網打盡。

歷史前因後果#

維度概念的確立#

• 1844 年格拉斯曼已提出基底與維度（他稱「延伸的階」），但當時連「 \(n\) 維空間」的合法性都有爭議：哲學家與數學家常以「空間必然三維」反駁。1840 年代起，凱萊、格拉斯曼、黎曼（Riemann, 1854 的《論幾何基礎之假設》講稿）各自推動了多維幾何的合法化。黎曼的講稿更把維度推廣到流形，成為廣義相對論（1915）的數學溫床。
• 史泰尼茨（Ernst Steinitz, 1871–1928）1910 年的論文證明：任意向量空間（不限有限維）的基底存在且任兩基底的基數相同（維度良定義）——這是「維度定理」的一般形式。
• 「秩」（rank）一詞由西爾維斯特於 1851 年引入（在圓錐曲線研究中），弗洛貝尼烏斯（1879）以行列式餘子式給出現代定義，並證明「行秩＝列秩」。
• 引發的新問題：無窮維基底（Hamel 基底）需要選擇公理；泛函分析改用可數的 Schauder 基底與正交基（第 7 章）。

基底：最有效率的座標系#

定義與兩個基本定理#

定義： \(V\) 的子集 \(\mathcal{B} = \{\mathbf{b}_1, \dots, \mathbf{b}_n\}\) 稱為基底（basis），若

1. \(\mathrm{span}(\mathcal{B}) = V\) （够大）；
2. \(\mathcal{B}\) 線性獨立（不多餘）。

定理一（基底表示唯一性）：若 \(\mathcal{B}\) 是基底，則每個 \(\mathbf{v}\in V\) 有唯一表示 \(\mathbf{v} = c_1\mathbf{b}_1 + \cdots + c_n\mathbf{b}_n\) 。係數 \([c_1;\cdots;c_n]_{\mathcal{B}}\) 稱為 \(\mathbf{v}\) 的座標向量（相對於 \(\mathcal{B}\) ）。

證明：若 \(c_1\mathbf{b}_1 + \cdots + c_n\mathbf{b}_n = d_1\mathbf{b}_1 + \cdots + d_n\mathbf{b}_n\) ，相減得 \((c_1-d_1)\mathbf{b}_1 + \cdots + (c_n-d_n)\mathbf{b}_n = \mathbf{0}\) ；由獨立性， \(c_i = d_i\) 。∎

定理二（張成集的約簡定理）：若 \(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_p\) 張成 \(V\) 且 \(p > \dim V\) ，則可移除若干向量（相依者）使其仍張成 \(V\) 。

定理三（擴充定理）： \(V\) 中任何獨立組都可擴充為基底。

維度定理#

定理：向量空間 \(V\) 的任兩基底有相同個數。此數稱為 \(V\) 的維度（dimension），記 \(\dim V\) 。

證明摘要：設 \(A = \{\mathbf{a}_1,\dots,\mathbf{a}_m\}\) 、 \(B = \{\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_n\}\) 皆為基底。若 \(m > n\) ：每個 \(\mathbf{a}_i\) 可用 \(B\) 表示（ \(B\) 張成 \(V\) ），因此 \(A\) 的 \(m\) 個向量都是 \(n\) 個向量的組合——「多即相依」（ \(n\) 個向量最多獨立生成 \(n\) 維），與 \(A\) 獨立矛盾。故 \(m \le n\) ；對稱地 \(n \le m\) ，得 \(m = n\) 。∎

重要直覺： \(\dim(\text{超平面}) = \dim V - 1\) ；「約束一條獨立線性條件，維度減一」。這是例題 4.1-1 中「 \(x+y-2z=0\) 的解集是二維平面」的理論解釋。

秩：矩陣的本質維度#

四個秩，一個數#

矩陣 \(A\) （ \(m\times n\) ）可定義四種「秩」，弗洛貝尼烏斯證明它們全部相等：

• 行秩：行向量空間（ \(A\) 的行張成的 \(\mathbb{R}^m\) 子空間）的維度；
• 列秩：列向量空間的維度；
• 主元秩：RREF 中主元的個數（1.3 節）；
• 行列式秩：最大非零行列式的階數（弗洛貝尼烏斯原始定義）。

因此統稱 \(\mathrm{rank}(A)\) 。計算方法：做 RREF 數主元。

秩的直覺： \(A\) 的行能張成的維度——矩陣「輸出空間」的維度。秩 \(r\) 意味著 \(A\) 的 \(n\) 個行中只有 \(r\) 個是「真正的新方向」，其餘是冗員。

四大基本子空間#

矩陣 \(A\) （ \(m\times n\) ，秩 \(r\) ）天生擁有四個子空間（Strang 的經典框架）：

flowchart LR
    subgraph RN["域 R^n（定義域）"]
        ROW["列空間 Row A（維度 r）"] ---|"正交補（第7章）"| NULL["零空間 Null A（維度 n-r）"]
    end
    subgraph RM["域 R^m（對應域）"]
        COL["行空間 Col A（維度 r）"] ---|"正交補（第7章）"| LNULL["左零空間 Null A^T（維度 m-r）"]
    end
    ROW ==|"A（同構）"| COL
    NULL ==|"A ↦ 0"| ZERO["零向量"]

秩–零度定理#

定理（Rank–Nullity）：對 \(m\times n\) 矩陣 \(A\) ：

幾何意義：「輸入的維度 = 有效傳遞的維度（秩）+ 被壓扁的維度（零度）」。資訊守恆：變換不會憑空產生維度，也不會遺失——只是把維度分配到「通過」與「壓扁」兩處。

與解結構的聯繫（回收 1.2、1.3 節）：

• \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\) 的解是 \(\dim\mathrm{Null}(A) = n - r\) 維的自由度（自由變數個數）；
• \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 有解 ⇔ \(\mathbf{b}\in\mathrm{Col}(A)\) ⇔ \(\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}([A\mid\mathbf{b}])\) ；
• 解唯一 ⇔ \(\mathrm{Null}(A) = \{\mathbf{0}\}\) ⇔ \(r = n\) ；
• 一致且有解時，解集 \(= \mathbf{x}_p + \mathrm{Null}(A)\) （特解 + 齊次解空間的平移）。

秩與可逆矩陣定理的完工#

現在 3.2 節的清單可以補上秩的條目，並新增更多等價命題： \(A\) 可逆 ⇔ \(\mathrm{rank}(A) = n\) ⇔ \(\mathrm{Null}(A) = \{\mathbf{0}\}\) ⇔ 行空間 \(= \mathbb{R}^n\) ⇔ 四大子空間的維度全為 \(n\) 或 \(0\) （無壓扁、無盲區）。

例題#

例題 4.3-1（求秩、四大子空間與解結構）：設

求 \(\mathrm{rank}(A)\) 、 \(\mathrm{Null}(A)\) 的維度與一組基底。

解：RREF：

主元在行 \(1, 3, 4\) ，故 \(\mathrm{rank}(A) = 3\) 。零度 \(= 4 - 3 = 1\) 。

零空間：解 \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\) 。自由變數 \(x_2 = t\) ： \(x_1 = -2t\) ， \(x_3 = 0\) ， \(x_4 = 0\) ：

驗證秩–零度： \(3 + 1 = 4\) ✓。

行空間基底：RREF 的主元行（或原矩陣的行 1, 3, 4——主元行對應的原始行）：

（用原矩陣的行，因列變換不改變行空間，但 RREF 的行不一定屬於原行空間——注意 RREF 行確實屬於列空間！此處小心：行空間 = 列變換下不變，故可用 RREF 的前 \(r\) 個非零行，也可用原始矩陣的主元行。）

例題 4.3-2（求基底與座標）： \(W = \{(x, y, z): 2x - y + 3z = 0\}\) 。求 \(W\) 的基底，並求 \(\mathbf{v} = (1, 5, -1) \in W\) 的座標。

解：令 \(y = s, z = t\) ， \(x = \frac{s - 3t}{2}\) 。為避免分數取 \(s = 2\) ： \(\mathbf{b}_1 = (1, 2, 0)\) ； \(t = 1, s = 1\) ： \(x = -1\) ， \(\mathbf{b}_2 = (-1, 1, 1)\) 。驗證 \(\mathbf{b}_1\) ： \(2 - 2 + 0 = 0\) ✓； \(\mathbf{b}_2\) ： \(-2 - 1 + 3 = 0\) ✓。兩向量顯然不成比例，獨立。 \(\dim W = 2 = 3 - 1\) （一條約束）✓。

\(\mathbf{v} = c_1\mathbf{b}_1 + c_2\mathbf{b}_2\) ： \(c_1 - c_2 = 1\) 、 \(2c_1 + c_2 = 5\) 、 \(c_2 = -1\) 。由第三式 \(c_2 = -1\) ，第一式 \(c_1 = 2\) ；驗證第二式： \(4 - 1 = 3 \ne 5\) ？——檢查 \(\mathbf{v}\) 是否真在 \(W\) ： \(2(1) - 5 + 3(-1) = -6 \ne 0\) ， \(\mathbf{v}\notin W\) ！本題的教訓：先驗會員資格。改求 \(\mathbf{v}' = (4, 5, -1)\) ： \(8 - 5 - 3 = 0\) ✓。 \(c_1 - c_2 = 4\) 、 \(2c_1 + c_2 = 5\) 、 \(c_2 = -1\) → \(c_1 = 5\) ，驗 \(2(5) + (-1) = 9 \ne 5\) 。仍不合——解聯立： \(c_1 - c_2 = 4\) 與 \(2c_1 + c_2 = 5\) 相加得 \(3c_1 = 9\) ， \(c_1 = 3\) ， \(c_2 = -1\) 。驗證第三座標： \(0\cdot c_1 + 1\cdot c_2 = -1\) ✓，第二座標 \(2(3) + (-1) = 5\) ✓，第一座標 \(3 - (-1) = 4\) ✓。故 \([\mathbf{v}']_{\mathcal{B}} = (3, -1)\) 。（前兩次的失敗正是因為第三座標方程強制 \(c_2 = -1\) ，而 \(\mathbf{v},\mathbf{v}'\) 中只有 \(\mathbf{v}'\) 能同時滿足全部三式——座標必須同時滿足所有分量方程。）

例題 4.3-3（秩的極值）： \(3\times 5\) 矩陣的秩範圍？ \(5\times 3\) 呢？

解： \(m\times n\) 矩陣的秩滿足 \(0 \le r \le \min(m, n)\) （行至多 \(m\) 維、列至多 \(n\) 維）。故 \(3\times5\) ： \(0 \le r \le 3\) ； \(5\times 3\) ： \(0 \le r \le 3\) 。秩 \(= 3\) 時前者「列滿秩」（ \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) 恒有解），後者「行滿秩」（解唯一但可能無解）。兩者不可兼得除非方陣——這正是可逆性只有方陣才有的原因（ \(m\ne n\) 時必壓扁或留盲區，rank–nullity 的直接推論）。

與其他領域的關聯#

• 統計：線性模型的「自由度」 \(= n - r\) （殘差自由度）；共線性使設計矩陣降秩，迴歸係數不可唯一確定。
• 機器學習：PCA 的主成分個數 = 協方差矩陣的秩；神經網路的「表示瓶頸」是秩的限制（9.2 節低秩逼近）。
• 控制理論：可控性格蘭矩陣的秩決定系統可控性（Kalman 條件，1960）；可觀測性同構於對偶秩條件。
• 圖論：連通圖的拉普拉斯矩陣秩 \(= n - 1\) （連通分量數 \(= n - \mathrm{rank}\) ），這是矩陣–樹定理的基礎。
• 量子資訊：糾纏態的 Schmidt 分解中非零奇異值個數（Schmidt 秩）決定糾纏度（9.1 節 SVD 的量子應用）。

本節小結#

1. 基底 = 張成 + 獨立；座標表示唯一。任何基底個數相同——維度是空間的不變量（格拉斯曼 1844、Steinitz 1910）。
2. 秩的四種定義等價（行秩、列秩、主元秩、行列式秩，弗洛貝尼烏斯 1879）；秩 = 矩陣傳遞的維度。
3. 四大基本子空間： \(\mathrm{Col}, \mathrm{Null}, \mathrm{Row}, \mathrm{Null}(A^T)\) ，維度 \(r, n-r, r, m-r\) 。
4. 秩–零度定理： \(r + (n - r) = n\) ——「通過的維度 + 壓扁的維度 = 總維度」，統一了前三章所有解結構的觀察。

預告：子空間之間如何「互相映射」？矩陣不只是數表，更是空間之間的函數——第 5 章線性變換，將讓 \(A\mathbf{x}\) 獲得真正的動態意義。