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5.1 變換即矩陣#

前言：矩陣的真正身分#

到目前為止，矩陣 \(A\) 在 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 中像是「係數表」。本章揭示它的真身：線性變換（linear transformation）——把一個向量空間送到另一個空間、且保存線性結構的函數。旋轉、投影、剪切、縮放，全是矩陣；矩陣乘法就是「變換的合成」。這個觀點讓「 \(A\) 的行是什麼」獲得動態意義：第 \(j\) 行是第 \(j\) 個基底向量被送到哪裡。

歷史前因後果#

幾何變換與矩陣的聯姻#

  • 1820–40 年代，投影幾何的復興（彭賽列 Poncelet, 1822）迫使數學家研究「保持直線的變換」；莫比烏斯（August Ferdinand Möbius, 1790–1868）在 1827 年《重心演算》中已實質使用線性變換與齊次座標——電腦圖學今日的齊次矩陣（4 維表示 3 維變換）直接源於此。
  • 凱萊 1858 年的矩陣乘法定義，其原始動機正是「變換的合成」：他在研究中需要處理幾何座標變換的疊代。
  • 「線性變換」作為函數概念的精確化由皮亞諾（1888）與二十世紀的泛函分析完成：線性算子（linear operator）成為希爾伯特空間量子力學的核心（馮紐曼 1932）。

  • 1962 年，Schur 與現代譜理論之前的關鍵一步由 1909 年舒爾（Issai Schur）的三角化完成；而「變換的矩陣依賴於基底」這個現代觀點的系統化，主要歸功於 1930 年代 van der Waerden 的《近代代數》與 Bourbaki 學派。

  • 解決了什麼問題：幾何操作（旋轉、投影）可以用統一的代數處理與合成；抽象算子的計算落地為矩陣計算。

  • 引發了什麼新問題：同一變換在不同基底下的矩陣不同——什麼是不變的？（特徵值、行列式、跡——本章 5.2 與第 6 章。）

線性變換的定義#

定義：函數 \(T: V \to W\) 是線性變換，若對所有 \(\mathbf{u},\mathbf{v}\in V\) 、純量 \(c\) ：

  1. \(T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})\) （保存加法）
  2. \(T(c\mathbf{u}) = c\,T(\mathbf{u})\) （保存純量乘法）

等價條件： \(T(c_1\mathbf{u} + c_2\mathbf{v}) = c_1T(\mathbf{u}) + c_2T(\mathbf{v})\) （保存一切線性組合）。

線性的幾何含義：把網格線變成直線（不彎曲）、原點不動、平行線保持平行、等距的點映射後仍等距（沿每個方向）。

非線性的例子：平移 \(T(\mathbf{x}) = \mathbf{x} + \mathbf{t}\) （ \(\mathbf{t}\neq\mathbf{0}\) ）： \(T(\mathbf{0}) = \mathbf{t} \ne \mathbf{0}\) ，不線性！平方 \(T(x) = x^2\) ： \(T(2\cdot 1) = 4 \ne 2T(1)\) 。

檢驗線性的快捷法： \(T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}\) 是必要條件（由 \(T(\mathbf{0}) = T(0\cdot\mathbf{0}) = 0\,T(\mathbf{0})\) ）。

矩陣表示：變換的基因碼#

標準矩陣的構造#

定理：設 \(T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) 線性，則 \(T\) 由它在標準基底的值完全決定，且

\[ T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}, \qquad A = \begin{bmatrix} T(\mathbf{e}_1) & T(\mathbf{e}_2) & \cdots & T(\mathbf{e}_n) \end{bmatrix} \]

\(A\) 稱為 \(T\) 的標準矩陣。證明：任何 \(\mathbf{x} = x_1\mathbf{e}_1 + \cdots + x_n\mathbf{e}_n\) ，由線性：

\[ T(\mathbf{x}) = x_1T(\mathbf{e}_1) + \cdots + x_nT(\mathbf{e}_n) = A\mathbf{x} \checkmark \]

口訣：「把每個標準基底向量送進 \(T\) ，得到的像排成矩陣的行」——矩陣的行就是變換的基因。

經典變換的標準矩陣#

變換（ \(\mathbb{R}^2\) ） 標準矩陣 幾何
旋轉 \(\theta\) \(\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}\) 繞原點旋轉， \(\det = 1\)
對 \(x\) 軸鏡射 \(\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}\) \(\det = -1\) ，反定向
對直線 \(y=x\) 鏡射 \(\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\) 交換座標
水平剪切（因子 \(k\) ） \(\begin{bmatrix}1 & k \\ 0 & 1\end{bmatrix}\) 上邊滑動，面積不變 \(\det = 1\)
均勻縮放 \(s\) \(\begin{bmatrix}s & 0 \\ 0 & s\end{bmatrix}\) 面積 \(\times s^2\)
投影到 \(x\) 軸 \(\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}\) 壓扁到直線， \(\det = 0\) ，不可逆
投影到直線（單位向量 \(\mathbf{u}\) ） \(\mathbf{u}\mathbf{u}^T\) 秩 1，第 7 章主角

驗證旋轉： \(\mathbf{e}_1 = (1,0) \mapsto (\cos\theta, \sin\theta)\) 、 \(\mathbf{e}_2 = (0,1) \mapsto (-\sin\theta, \cos\theta)\) ，排成矩陣的行即得上表 ✓。

合成 = 乘法#

定理： \((T_B \circ T_A)(\mathbf{x}) = T_B(T_A(\mathbf{x}))\) 的標準矩陣是 \(BA\) 。

這回收了 2.1 節「乘法定義由合成逼出」的論證。順序：矩陣從右往左讀（先 \(A\) 後 \(B\) ）——如同函數記號 \(f\circ g\) 。

變換的性質對應矩陣的性質#

變換性質 矩陣性質 所在章
可逆（一對一且映成） \(A\) 可逆（ \(\det \ne 0\) ） 3.2
一對一 \(\mathrm{Null}(A) = \{\mathbf{0}\}\) 4.3
映成（盖滿對應域） \(\mathrm{Col}(A) = \mathbb{R}^m\) （秩 \(= m\) ） 4.3
保持長度（剛體） \(A^TA = I\) （正交） 第 7 章
保持面積（符號可變） $ \det A
壓扁維度 \(\det A = 0\) 3.3

單射與滿射不可兼得（非方陣）： \(T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) ， \(n \ne m\) 時秩–零度定理禁止： \(r \le \min(m,n)\) ，故 \(r = n\) （單射）與 \(r = m\) （滿射）不能同時成立——維度是變換的命運。

例題#

例題 5.1-1（構造標準矩陣）：設 \(T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\) ， \(T(x, y, z) = (x + 2y - z,\ 3x - z)\) 。求標準矩陣，並求 \(T(1, -1, 2)\) 。

解： \(T(\mathbf{e}_1) = T(1,0,0) = (1, 3)\) ； \(T(\mathbf{e}_2) = (2, 0)\) ； \(T(\mathbf{e}_3) = (-1, -1)\) 。

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & -1 \end{bmatrix}, \qquad T(1,-1,2) = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 - 2 - 2 \\ 3 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 1 \end{bmatrix} \]

例題 5.1-2（合成與旋轉）：求「先旋轉 \(90°\) 再對 \(x\) 軸鏡射」的單一矩陣，並與「先鏡射再旋轉」比較。

解： \(R = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\) （ \(90°\) 旋轉）， \(F = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\) 。

先旋轉後鏡射： \(FR = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}\) 。

先鏡射後旋轉： \(RF = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\) 。

兩者不同（ \(FR = -RF\) ），且都不是旋轉或鏡射，而是對直線 \(y = -x\) 與 \(y = x\) 的鏡射。順序重要——非交換性的幾何化身。注意兩者行列式同為 \(-1\cdot1\cdot1 = \pm\) ： \(\det(FR) = \det F\det R = (-1)(1) = -1\) ，皆為反定向。

例題 5.1-3（判斷線性）：判斷下列何者線性：(a) \(T(x,y) = (x + 1, y)\) ；(b) \(T(x,y) = (x^2, y)\) ；(c) \(T(x,y) = (x - y, 2x)\) ；(d) \(T(\mathbf{x}) = \|\mathbf{x}\|\) 。

解： (a) \(T(\mathbf{0}) = (1, 0) \ne \mathbf{0}\) ——非線性（平移）。 (b) \(T(1,0) = (1,0)\) 、 \(T(2,0) = (4,0) \ne 2T(1,0) = (2,0)\) ——非線性。 (c) 兩個分量都是線性組合： \(T(c\mathbf{u} + \mathbf{v}) = ((c u_1 + v_1) - (cu_2 + v_2),\ 2(cu_1 + v_1)) = cT(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})\) ——線性 ✓。 (d) \(T(2\mathbf{u}) = 2\|\mathbf{u}\| = 2T(\mathbf{u})\) 但 \(T(-\mathbf{u}) = \|\mathbf{u}\| \ne -\|\mathbf{u}\|\) ——非線性（長度不會是負）。

例題 5.1-4（電腦圖學：齊次座標）：把「旋轉 \(30°\) 後平移 \((2,3)\) 」合併為一個 \(3\times 3\) 矩陣。齊次座標把點 \((x,y)\) 寫成 \((x, y, 1)\) ，平移變成線性變換：

\[ T = \begin{bmatrix} \cos30° & -\sin30° & 2 \\ \sin30° & \cos30° & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 0.866 & -0.5 & 2 \\ 0.5 & 0.866 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

作用於 \((1, 0, 1)^T\) ： \((0.866 + 2,\ 0.5 + 3) = (2.866, 3.5)\) 。平移本非線性，齊次座標多一維後把它線性化——這是莫比烏斯 1827 年思想在 GPU 中的日常應用；OpenGL/DirectX 的所有場景變換都是一連串 \(4\times 4\) 矩陣的乘積。

與其他領域的關聯#

  • 微積分：可微函數的局部行為是線性變換——導數 \(f'(a)\) 是線性逼近 \(f(a + h) \approx f(a) + f'(a)h\) ；多變數的 Jacobi 矩陣就是「最好的線性變換」。
  • 微分方程： \(\mathbf{x}' = A\mathbf{x}\) 的向量場由 \(A\) 決定；平衡點附近的分類（鞍點、螺旋、結點）是線性變換幾何的動力系統版本（第 6 章）。
  • 電腦圖學／機器人學：模型、視圖、投影矩陣；機械臂的正逆運動學是旋轉矩陣的合成。
  • 量子力學：可觀測量與演化都是（希爾伯特空間上的）線性算子；「測量」是到特徵子空間的投影。
  • 機器學習：神經網路一層 \(=\) 線性變換 + 非線性激活；「表徵學習」就是尋找好的內部線性座標（5.2 節基底變換的直接應用）。

本節小結#

  1. 線性變換 \(=\) 保存加法與純量乘法的函數； \(\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) 的線性變換與 \(m\times n\) 矩陣一一對應。
  2. 標準矩陣的行 \(= T(\mathbf{e}_j)\) ——「矩陣的行是變換的基因」。
  3. 合成對應乘法、順序從右往左、一般不交換；變換的幾何性質（可逆、保長、壓扁）一一對應矩陣代數性質。
  4. 齊次座標把平移線性化，是電腦圖學的基石。

預告：同一個變換在不同基底下的矩陣長得不同——哪些性質不變？如何選基底讓矩陣「最簡單」？下一節 5.2：基底變換與相似性。