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5.2 基底變換與相似性#

前言：換一副眼鏡看同一個變換#

同一支箭，用東西南北描述是一組數，用前後左右描述是另一組數。同一個線性變換，在不同基底下的矩陣也不同。那麼，矩陣的哪些性質是「眼鏡的產物」、哪些是「變換的本質」？答案是：特徵值、行列式、跡、秩是本質（座標無關），而矩陣的具體樣貌是座標的產物。相似性（similarity）刻劃「同一變換、不同座標」的關係；對角化（第 6 章）則是「選一副最好的眼鏡」。

歷史前因後果#

座標無關思想的勝利#

  • 座標變換的研究可追溯到十九世紀的投影幾何與不變量理論：西爾維斯特與凱萊在 1850 年代的「不變量」（invariants）研究，正是在問「什麼性質在座標變換下不變」。凱萊 1858 年已注意到相似矩陣有相同的特徵多項式。
  • 若爾當（Camille Jordan, 1838–1922）在 1870 年的《線性與雙線性方程組論》中給出若爾當標準形：任何複方陣相似於塊對角（若爾當塊）形式——這是「變換的本質結構」的完整分類，把相似性問題徹底解決。
  • 1896–1905 年，弗洛貝尼烏斯確立了跡（trace）的理論地位： \(\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA)\) 使跡成為相似不變量；跡與行列式分別等於特徵值的和與積（凱萊–哈密頓脈絡）。

  • 二十世紀物理學：量子力學的「表象變換」（Schrödinger 表象 vs. Heisenberg 表象，1926 年 Dirac 與 Schrödinger 證明等價）就是基底變換——物理結果（特徵值＝能階）必須表象無關。

  • 解決了什麼問題：釐清矩陣性質中「本質」與「表象」的分界；提供把矩陣化簡（甚至對角化）的理論依據。

  • 引發了什麼新問題：什麼矩陣能對角化？不能時最簡形式是什麼（若爾當形）？數值上如何在浮點環境實現（舒爾形＋ QR 演算法，10.1 節）？

座標向量與基底變換#

同一向量的兩種座標#

設 \(V\) 有兩組基底 \(\mathcal{B} = \{\mathbf{b}_1, \dots, \mathbf{b}_n\}\) 與 \(\mathcal{C} = \{\mathbf{c}_1, \dots, \mathbf{c}_n\}\) 。同一向量 \(\mathbf{v}\) ：

\[ \mathbf{v} = [\mathbf{v}]_{\mathcal{B}}\text{（用 } \mathcal{B} \text{ 的座標）} = [\mathbf{v}]_{\mathcal{C}}\text{（用 } \mathcal{C} \text{ 的座標）} \]

兩種座標之間由座標變換矩陣連接。設 \(P\) 的第 \(j\) 行是 \(\mathbf{b}_j\) 的 \(\mathcal{C}\) 座標：

\[ P = \begin{bmatrix} [\mathbf{b}_1]_{\mathcal{C}} & \cdots & [\mathbf{b}_n]_{\mathcal{C}} \end{bmatrix}, \qquad [\mathbf{v}]_{\mathcal{C}} = P\,[\mathbf{v}]_{\mathcal{B}} \]

\(P\) 可逆（因為 \(\mathcal{B}\) 是基底），逆方向用 \(P^{-1}\) ： \([\mathbf{v}]_{\mathcal{B}} = P^{-1}[\mathbf{v}]_{\mathcal{C}}\) 。

變換矩陣的相似關係#

設線性算子 \(T: V \to V\) 在基底 \(\mathcal{B}\) 下的矩陣為 \(A\) 、在 \(\mathcal{C}\) 下的矩陣為 \(B\) 。同一個 \(T\) ，用 \(\mathcal{B}\) 座標進入、換成 \(\mathcal{C}\) 座標做 \(T\) 、再換回：

\[ A = P^{-1}BP, \qquad \text{等價地 } B = PAP^{-1} \]

定義：方陣 \(A, B\) 相似（similar），若存在可逆 \(P\) 使 \(B = PAP^{-1}\) 。相似性是等價關係（反身、對稱、傳遞）。

相似不變量：本質的指紋#

定理：若 \(B = PAP^{-1}\) ，則 \(A, B\) 有相同的：

  1. 特徵多項式與特徵值： \(\det(\lambda I - B) = \det(P(\lambda I - A)P^{-1}) = \det(\lambda I - A)\) ；
  2. 行列式： \(\det B = \det P\det A\det P^{-1} = \det A\) ；
  3. 跡： \(\mathrm{tr}(PAP^{-1}) = \mathrm{tr}(AP^{-1}P) = \mathrm{tr}(A)\) （用 \(\mathrm{tr}(XY) = \mathrm{tr}(YX)\) ）；
  4. 秩：可逆變換不改變壓扁程度；
  5. 特徵值的代數重數、若爾當結構。

注意不相似不變的：對稱性、正定性、正交性、矩陣本身的元素——這些都依賴基底（除非變換是正交的，見第 7 章）。

跡與行列式的特徵值公式（第 6 章的主角）：

\[ \mathrm{tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n, \qquad \det A = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n \]

選基底的最優目標：找到基底使 \(T\) 的矩陣最簡單——理想是對角形（各方向互不干涉）。對角矩陣的優點：冪易算、解耦、特徵值在對角線上明示。特徵向量就是「能實現這個目標的基底」——第 6 章的序幕。

例題#

例題 5.2-1（座標變換）： \(\mathbb{R}^2\) 中 \(\mathcal{B} = \left\{\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}\right\}\) 。求 \(\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \end{bmatrix}\) 的 \(\mathcal{B}\) 座標。

解：解 \(c_1\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \end{bmatrix}\) ，即

\[ \begin{cases} c_1 - c_2 = 5 \\ c_1 + 2c_2 = 4 \end{cases} \Rightarrow c_2 = -\frac{1}{3},\ c_1 = \frac{14}{3} \]

故 \([\mathbf{v}]_{\mathcal{B}} = \left(\frac{14}{3}, -\frac{1}{3}\right)\) 。驗證： \(\frac{14}{3}(1,1) - \frac13(-1,2) = \left(\frac{14}{3}+\frac13,\ \frac{14}{3}-\frac23\right) = (5, 4)\) ✓。

（座標不一定是「好看」的數——這正是非標準基底的日常。特殊基底（正交歸一）會讓計算漂亮，見第 7 章。）

例題 5.2-2（驗證相似性）： \(A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\) 與 \(P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\) 。計算 \(B = PAP^{-1}\) 並驗證不變量。

解： \(P^{-1} = \frac{1}{2-1}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\) 。

\[ AP^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & -3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \qquad B = P(AP^{-1}) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 7 & -3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & -2 \\ 9 & -1 \end{bmatrix} \]

驗證不變量：

  • \(\det A = 12 - 2 = 10\) ； \(\det B = -8 + 18 = 10\) ✓
  • \(\mathrm{tr}(A) = 7\) ； \(\mathrm{tr}(B) = 8 + (-1) = 7\) ✓
  • 特徵多項式 \(\lambda^2 - 7\lambda + 10 = (\lambda - 5)(\lambda - 2)\) ，特徵值 \(\{5, 2\}\) ，兩矩陣相同 ✓

（有趣的事實： \(A\) 的行是 \((4,2),(1,3)\) ； \(B\) 看起來更「亂」，但本質相同——可見矩陣的樣貌不可信，不變量才是身分證。）

例題 5.2-3（用基底變換簡化變換）： \(T(x, y) = (x + y,\ y)\) （剪切），在標準基底下的矩陣 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) 。取 \(\mathcal{B} = \{\mathbf{b}_1 = (1, 0), \mathbf{b}_2 = (1, 1)\}\) ，求 \(T\) 在 \(\mathcal{B}\) 下的矩陣。

解： \(T(\mathbf{b}_1) = (1, 0) = 1\cdot\mathbf{b}_1 + 0\cdot\mathbf{b}_2\) ； \(T(\mathbf{b}_2) = (2, 1) = 1\cdot\mathbf{b}_1 + 1\cdot\mathbf{b}_2\) 。

\[ [T]_{\mathcal{B}} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\ (\text{座標行}) \Rightarrow [T]_{\mathcal{B}} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]

嗯——本例矩陣不變（因為剪切沿 \(\mathbf{b}_1\) 方向不變），這告訴我們：並非所有矩陣都能靠換基底「大幅」簡化。實際上 \(A\) 的特徵值是 \(1\) （二重），特徵空間只有一維（ \(\mathrm{span}\{\mathbf{e}_1\}\) ），它不可對角化——只能化成若爾當塊 \(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) ，而它已經就是若爾當形！這個例子預告第 6 章的核心分界：特徵向量夠多（ \(n\) 個獨立）才可對角化。

例題 5.2-4：可對角化的完整預演#

\(A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\) （例 5.2-2）。特徵值 \(\lambda = 5, 2\) ：

  • \(\lambda = 5\) ： \((A - 5I)\mathbf{x} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}\mathbf{x} = \mathbf{0} \Rightarrow \mathbf{v}_1 = (1, 1)\) ；
  • \(\lambda = 2\) ： \(\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}\mathbf{x} = \mathbf{0} \Rightarrow \mathbf{v}_2 = (1, -2)\) 。

取 \(P = [\mathbf{v}_1\ \mathbf{v}_2] = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}\) ，則

\[ P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = D \]

驗證： \(AP = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 5 & -4 \end{bmatrix}\) ； \(PD = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 5 & -4 \end{bmatrix}\) ✓（ \(AP = PD\) ）。

在基底 \(\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\}\) 下， \(T\) 只是「沿 \(\mathbf{v}_1\) 放大 5 倍、沿 \(\mathbf{v}_2\) 放大 2 倍」——複雜的剪切與縮放，換一副眼鏡後只是兩個獨立的縮放。這是對角化的全部哲學，第 6 章將系統展開。

與其他領域的關聯#

  • 量子力學：Heisenberg 與 Schrödinger 表象的等價性（1926）就是相似變換；物理可觀測量（能階）必須表象無關——「特徵值不變」的物理版。
  • 動力系統：平衡點的穩定性分類在線性化後不變於座標選擇；Poincaré 正規形理論用相似變換化簡非線性系統。
  • 機器學習：詞向量空間中「旋轉不變性」的檢驗、圖神經網路的置换等變性——都要求「好性質座標無關」。
  • 訊號處理：選擇傅立葉基底使卷積對角化（DFT 矩陣的特徵向量性）——「換基底使問題變簡單」的最著名成功案例。
  • 微分方程：對角化把 \(\mathbf{x}' = A\mathbf{x}\) 解耦成 \(n\) 個獨立的標量方程 \(y_i' = \lambda_i y_i\) （第 6 章主角）。

本節小結#

  1. 同一變換在不同基底下矩陣不同，關係為 \(B = PAP^{-1}\) （相似）；座標向量經 \(P\) 轉換。
  2. 相似不變量：特徵值、行列式、跡、秩、特徵多項式——它們是「變換的本質指紋」。
  3. 換基底的目標是把矩陣化到最簡：可對角化時得對角形，否則若爾當形（Jordan 1870）。
  4. 特徵向量是「天然最好的基底」：變換在其上只是縮放（例 5.2-4 的預演）。

預告：什麼樣的矩陣有足夠的特徵向量可對角化？特徵值如何從微分方程、幾何穩定性中誕生？第 6 章正式進入特徵值理論。