6.2 對角化#

前言：選對座標，問題就消失了#

剪切矩陣 \(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) 的十次冪要連乘十次；但換到特徵向量座標系後，它只是「一個方向不動、另一個方向平移」，冪運算變成簡單的加法。對角化（diagonalization）是線性代數中最有生產力的技術：把 \(A = PDP^{-1}\) 之後，冪、矩陣指數、微分方程的解全部化為「逐座標的標量計算」。本節給出可對角化的完整判準、計算流程與失敗案例（缺陷矩陣）。

歷史前因後果#

從凱萊–哈密頓到若爾當#

• 1858 年，凱萊證明 \(2\times2\) 矩陣滿足自己的特徵多項式；弗洛貝尼烏斯（1878）把凱萊–哈密頓定理推廣到一般 \(n\) 階： \(p_A(A) = O\) 。這是「矩陣服從自身特徵多項式」的深刻事實，把高次冪化為低次組合。
• 1870 年，若爾當（Camille Jordan, 1838–1922）發表若爾當標準形：任何複方陣相似於塊對角矩陣，塊為 \(\lambda\) 在對角線、1 在超對角線的「若爾當塊」。對角化是它的特例（全部是 \(1\times1\) 塊）。若爾當形回答了「不能對角化時，最簡能到哪裡」。

• 二十世紀初，譜定理（對稱矩陣的對角化，Hilbert 1906、Weyl 1908）與酉對角化（正規矩陣）完善了理論；數值版本（QR 演算法，Francis 1961–62）讓特徵值計算在電腦上穩定可行（10.1 節）。

• 解決了什麼問題：矩陣冪與矩陣函數的計算；線性微分方程組的解耦；馬可夫鏈、振動系統、量子系統的長期行為。

• 引發了什麼新問題：缺陷矩陣在數值上「接近缺陷」時（條件數問題）對角化不穩定——9.3 節；非對稱矩陣需要 Schur/QR 技術——10.1 節。

對角化的定理與判準#

主定理#

定理： \(n\) 階方陣 \(A\) 可對角化（存在可逆 \(P\) 使 \(P^{-1}AP = D\) 對角）⇔ \(A\) 有 \(n\) 個線性獨立的特徵向量。

此時 \(P\) 的行是特徵向量、 \(D\) 的對角線是對應特徵值：

證明（兩側）： \(AP = PD\) 逐行讀出：第 \(j\) 行 \(A\mathbf{v}_j = \lambda_j\mathbf{v}_j\) 。故 \(AP = PD\) ⇔ \(P\) 的行全是特徵向量； \(P\) 可逆 ⇔ 這些行獨立。∎

判準（充分條件）：

1. \(n\) 個相異特徵值 ⇒ 可對角化（每個代數重數 1，自動幾何重數 1）。
2. 一般判準：對每個特徵值 \(\lambda\) ，幾何重數 = 代數重數（例 6.1-2 的缺陷矩陣不滿足）。
3. 特徵空間的直和蓋滿 \(\mathbb{R}^n\) ： \(\mathbb{R}^n = E_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus E_{\lambda_k}\) 。

對角化之後：冪與矩陣函數#

冪：

而 \(D^k = \mathrm{diag}(\lambda_1^k, \dots, \lambda_n^k)\) ——難題解體為標量乘方。

矩陣多項式： \(p(A) = P\,p(D)\,P^{-1}\) 。

矩陣指數（微分方程的鑰匙）：

函數的一般原則：任何能定義在標量上的函數 \(f\) ，都可透過對角化「矩陣化」： \(f(A) = P\,f(D)\,P^{-1}\) 。矩陣平方根、三角函數、對數……全都適用（在 \(D\) 可定義的前提下）。

凱萊–哈密頓定理#

定理： \(p_A(A) = O\) 。

\(2\times 2\) 的應用： \(A^2 - (\mathrm{tr}A)A + (\det A)I = O\) ，於是

任何 \(A^k\) 都可化為 \(a_kA + b_kI\) —— \(2\times2\) 冪運算只需追蹤兩個數列（遞迴關係由特徵多項式給出）。這在斐波那契數列的矩陣表示中有漂亮應用。

線性微分方程組：對角化的加冕禮#

系統： \(\mathbf{x}' = A\mathbf{x}\) ， \(\mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0\) 。令 \(\mathbf{x} = P\mathbf{y}\) ：

解耦為 \(n\) 個標量方程： \(y_i' = \lambda_i y_i\) ，解 \(y_i = c_ie^{\lambda_i t}\) 。通解：

結論：解 = 特徵模式（ \(e^{\lambda_i t}\mathbf{v}_i\) ）的疊加。 \(\lambda_i\) 決定時間行為（增長/衰減/振盪）， \(\mathbf{v}_i\) 決定空間形狀。初值決定係數 \(c_i\) 。

flowchart LR
    S["x' = A x（耦合系統）"] -->|"換座標 x = P y"| D["y' = D y（解耦）"]
    D --> SC["每軸: y_i = c_i e^{λ_i t}"]
    SC --> SOL["x(t) = Σ c_i e^{λ_i t} v_i"]
    SOL --> ST["行為判讀: Re λ < 0 衰減穩定<br/>Re λ > 0 發散<br/>虛部 → 振盪（6.3）"]

例題#

例題 6.2-1（完整對角化與冪）： \(A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\) （例 6.1-1： \(\lambda = 5, 2\) ， \(\mathbf{v}_5 = (1,1)\) ， \(\mathbf{v}_2 = (1,-2)\) ）。計算 \(A^5\) 。

解： \(P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}\) ， \(D = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\) ， \(P^{-1} = \frac{1}{-3}\begin{bmatrix} -2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}\) 。

驗算（小冪檢查）： \(A^2 = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}^2 = \begin{bmatrix} 16+2 & 4+3 \\ 8+6 & 2+9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 18 & 7 \\ 14 & 11 \end{bmatrix}\) 。用凱萊–哈密頓驗： \(A^2 = 7A - 10I = \begin{bmatrix} 28-10 & 7 \\ 14 & 21-10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 18 & 7 \\ 14 & 11 \end{bmatrix}\) ✓。再用 \(A^5 = A^4\cdot A\) 抽驗 \((1,1)\) 元： \(A^3 = A^2 A = \begin{bmatrix} 18\cdot4+7\cdot2 & 18+21 \\ 56+22 & 14+33 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 86 & 39 \\ 78 & 47 \end{bmatrix}\) ； \(A^5(1,1) = (A^3\cdot A^2)(1,1) = 86\cdot18 + 39\cdot14 = 1548 + 546 = 2094\) ✓。

例題 6.2-2（微分方程組）：解 \(\begin{cases} x' = x + 2y \\ y' = 4x + 3y \end{cases}\) ， \(\mathbf{x}(0) = (1, 0)\) 。

解： \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}\) 。特徵方程： \((1-\lambda)(3-\lambda) - 8 = \lambda^2 - 4\lambda - 5 = (\lambda-5)(\lambda+1)\) ， \(\lambda = 5, -1\) 。

• \(\lambda = 5\) ： \(\begin{bmatrix} -4 & 2 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}\mathbf{v} = \mathbf{0} \Rightarrow \mathbf{v}_1 = (1, 2)\) ；
• \(\lambda = -1\) ： \(\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}\mathbf{v} = \mathbf{0} \Rightarrow \mathbf{v}_2 = (1, -1)\) 。

通解： \(\mathbf{x} = c_1e^{5t}(1,2) + c_2e^{-t}(1,-1)\) 。初值： \(c_1 + c_2 = 1\) 、 \(2c_1 - c_2 = 0\) → \(c_1 = \frac13\) 、 \(c_2 = \frac23\) 。

判讀： \(e^{5t}\) 項爆炸增長（方向 \((1,2)\) ）， \(e^{-t}\) 項消失。長期系統沿 \((1,2)\) 方向爆炸——不穩定（有正特徵值）。一個矩陣讀出系統的命運。

例題 6.2-3（缺陷矩陣：失敗案例）： \(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\) （例 6.1-2： \(\lambda = 2\) 重根， \(E_2\) 一維）。

解：只有一個獨立特徵向量，不可對角化。降級方案：解 \((A - 2I)\mathbf{w} = \mathbf{v}_1\) （ \(\mathbf{v}_1 = (1,0)\) ）： \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\mathbf{w} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\) 要求 \(w_2 = 1\) ——無解！改解 \((A-2I)\mathbf{w} = \mathbf{v}_1\) 的正確形式： \(\mathbf{v}_1\) 必須取 \((0,1)\) （檢查： \((A-2I)(0,1)^T = (1,0)^T\) ✓，即 \(\mathbf{v}_1 = (0,1)\) 是特徵向量？驗證 \(A(0,1) = (1,2) \ne 2(0,1)\) ——不是！）。

細算： \((A - 2I) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\) 。核 \(= \{(x, 0)\}\) ，特徵向量 \(\mathbf{v} = (1, 0)\) 。廣義特徵向量：解 \((A-2I)\mathbf{w} = \mathbf{v}\) ： \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\) ⇒ \(w_2 = 1\) ， \(w_1\) 自由，取 \(\mathbf{w} = (0, 1)\) 。

以 \(P = [\mathbf{v}\ \mathbf{w}] = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I\) （本例 \(A\) 本身已是若爾當形 \(J = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\) ）。冪的計算：二項式（因 \(A = 2I + N\) ， \(N^2 = O\) ）：

教訓：缺陷矩陣的冪會出現多項式因子 \(k\,2^{k-1}\) ——這正是若爾當塊的特徵行為（共振、臨界阻尼的數學根源）。

對角化在日常計算中的地位#

與其他領域的關聯#

• 微分方程：本節解耦技術是線性系統理論的核心；偏微分方程（分離變數）把 PDE 化為 Sturm–Liouville 特徵值問題——特徵函數展開（傅立葉級數的推廣）。
• 量子力學：對角化哈密頓算子 = 求能階；「選能量表象」就是選特徵向量為基底（5.2 節的物理實現）。
• 機器學習：PCA 是「協方差矩陣的對角化」；圖卷積網路的譜方法用圖拉普拉斯的特徵分解。
• 控制理論：可對角化系統的模式分解；極點配置（pole placement）就是把特徵值移到想要的位置。
• 數論：斐波那契 \(F_n \approx \frac{\varphi^n}{\sqrt5}\) （ \(\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2}\) 黃金比）——來自 \(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\) 的特徵值。

本節小結#

1. \(A = PDP^{-1}\) ⇔ \(n\) 個獨立特徵向量 ⇔ 每個特徵值幾何重數 = 代數重數；相異特徵值是充分的捷徑。
2. 對角化的報酬： \(A^k = PD^kP^{-1}\) 、 \(e^{At} = Pe^{Dt}P^{-1}\) 、多項式函數化——難題降維為標量計算。
3. 微分方程組解耦為 \(y_i' = \lambda_iy_i\) ，解 = 特徵模式疊加；特徵值符號決定系統命運。
4. 缺陷矩陣（幾何重數不足）不可對角化，冪中出現多項式因子；若爾當標準形（1870）是最簡形式。
5. 凱萊–哈密頓（1858/1878）提供「矩陣服從自身特徵多項式」的降冪工具。

預告：特徵值可以是複數嗎？旋轉矩陣的特徵值在哪裡？複特徵值如何解釋振盪與螺旋？見 6.3——複特徵值與實應用。