1.3 極形式與DEMOIVRE定理#

本章導言#

複數獲得平面肉身（1.2 節）之後，立刻展現出驚人的計算威力：一旦把 \(z\) 寫成「模與輻角」的極形式，乘方與開方就從代數難題變成角度的算術。本節的主角是一條 1730 年的三角恆等式（de Moivre）與一條 1748 年的指數公式（Euler）——後者是整個數學史上被引用最多的公式之一。本節還將清算 1.1 節遺留的懸案：casus irreducibilis 的三實根之謎。

Abraham de MOIVRE 與賭徒的數學#

Abraham de Moivre（1667–1754） 生於法國的胡格諾派家庭，1685 年南特敕令廢止後流亡倫敦，靠當家庭教師與賭場顧問維生。他與 Newton 友善（Newton 晚年常把數學問題交給他回答），卻終生未獲大學教職。命運的補償是：他是機率論（1733 年發現常態曲線，即中央極限定理的原始形式）與複數三角學兩個領域的奠基者。

de Moivre 的研究路徑完全來自計算需求：十七世紀末，天文與航海需要解 \(x^n = 1\) 類方程以構造正多邊形與計算三角函數值。1707 年他在《哲學會刊》上發表：

\[ (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta). \]

這條公式在 1730 年《分析的雜論》中以更一般的形式（涉及相鄰係數比 \(\frac{n-m+1}{n}\) 的多項式）出現，今日的形式是後人（Euler 與 Simpson）提煉的簡化版。值得玩味：**de Moivre 全程不寫 \(i\) **，他以「正弦與餘弦的循環關係」表述——他的論文是三角學，而讀者要自己發現它是複數論。

EULER 公式（1748）： \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)#

Euler（1707–1783） 在 1748 年《無窮分析引論》第七章比較兩個冪級數：

\[ e^{i\theta} = 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \cdots = \Big(1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots\Big) + i\Big(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots\Big), \]

右端兩個括號正是 \(\cos\theta\) 與 \(\sin\theta\) 的級數。故

\[ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta, \qquad \text{由此} \quad e^{i\pi} + 1 = 0. \]

第二式把五個最重要的常數（ \(e, i, \pi, 1, 0\) ）繫於一式。以 Euler 公式重寫 de Moivre： \((e^{i\theta})^n = e^{in\theta}\) ——指數律。de Moivre 定理原來是 \(e^{i\theta}\) 的指數律的三角投影；指數函數的加法定律 \(e^{a+b} = e^a e^b\) ，正是「輻角相加」的代數化身。複指數把 1.2 節「乘法即旋轉」的觀察凝結成一句話：虛指數 = 旋轉。

歷史小注：Euler 對複指數的最早紀錄是 1740 年 10 月寄給 Johann Bernoulli 的信，1743 年正式發表；1748 年教科書使它普及。而 Laplace、d'Alembert 等人已先在力學中使用複指數計算，可見物理需求先行、級數證明殿後的老劇本重演。

極形式的運算全套#

設 \(z_k = r_k e^{i\theta_k}\) ：

運算	極形式	幾何意義
乘法	\(r_1r_2\, e^{i(\theta_1+\theta_2)}\)	旋轉合成、長度相乘
除法	\(\dfrac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1-\theta_2)}\)	相對角度 \(\theta_1 - \theta_2\)
乘方	\(r^n e^{in\theta}\)	角度 \(n\) 倍
開方	\(r^{1/n} e^{i(\theta + 2k\pi)/n}\) ， \(k = 0,\dots,n-1\)	\(n\) 個根均勻分布在圓上
共軛	\(r e^{-i\theta}\)	對實軸鏡像

開方出現 \(n\) 個值是極形式最深刻的副作用： \(2k\pi\) 的輻角模糊性在開方時不再能被忽略——多值函數（7.3 節）的種子在此埋下。

單位根： \(z^n = 1\) 的解是 \(e^{2\pi i k/n}\) ， \(k=0,\dots,n-1\) ，均勻分布於單位圓。它們的對稱群是循環群 \(\mathbb{Z}/n\) ；求和恆等式 \(1 + \omega + \cdots + \omega^{n-1} = 0\) （ \(\omega = e^{2\pi i/n}\) ， \(n\ge2\) ）是「正 \(n\) 邊形重心在原點」的代數表述。單位根在離散 Fourier 變換（10.1 節）中是主角。

棣美弗定理的向量證明思想#

除了 Euler 級數法，還有一條幾何歸納路：乘 \(e^{i\theta}\) 是旋轉 \(\theta\) ，旋轉的合成是角度相加（剛體運動的基本事實），故 \(n\) 次旋轉合成角度 \(n\theta\) 。這條「證明」把代數恆等式化約到物理公理（旋轉合成），提示我們：de Moivre 定理不是「巧合的三角等式」，而是「平面上旋轉結構」的代數編碼。Gauss 平面之所以能承載全部複數代數，正因為旋轉群 \(U(1)\) 與乘法群同構。

一個具體例題#

例題 1.3.1：(a) 用 de Moivre 定理導出 \(\cos 3\theta\) 的三倍角公式；(b) 解 \(z^3 = 15 + 8i\) 的全部三根；(c) 用極形式重解 1.1 節的 \(x^3 - 15x - 4 = 0\) ，揭示 casus irreducibilis 之謎。

解：

(a) 由 \(e^{i3\theta} = (e^{i\theta})^3 = (\cos\theta + i\sin\theta)^3 = c^3 + 3c^2(si) + 3c(si)^2 + (si)^3\) ，取實部：

\[ \cos3\theta = c^3 - 3cs^2 = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta, \]

虛部給 \(\sin3\theta = 3s - 4s^3\) 。二項式定理 + 實虛部分離，就是 de Moivre 的機械化。

(b) \(15 + 8i\) 的模 \(r = \sqrt{225+64} = 17\) ，輻角 \(\theta = \arctan\frac{8}{15}\) 。三根為

\[ z_k = \sqrt[3]{17}\, e^{i(\theta + 2k\pi)/3}, \qquad k = 0, 1, 2. \]

它們是半徑 \(\sqrt[3]{17}\) 的圓上、彼此相隔 \(120^\circ\) 的正三角形頂點——三根構成正三角形，這是 \(n\) 次方程 \(n\) 根的一般幾何（單位根旋轉）。

(c) 1.1 節中 \(\sqrt[3]{2 + 11i}\) ： \(|2+11i| = \sqrt{125} = 5\sqrt5\) ，且 \(2+11i = (2+i)^3\) （驗證： \((2+i)^2 = 3+4i\) ， \((3+4i)(2+i) = 2+11i\) ✓）。故 \(\sqrt[3]{2+11i}\) 的三值為 \((2+i)\) 、 \((2+i)\omega\) 、 \((2+i)\omega^2\) ，其中 \(\omega = e^{2\pi i/3}\) 。Cardano 公式取的是某一對共軛立方根之和：

\[ x = \underbrace{(2+i) + (2-i)}_{4} \quad \text{或} \quad (2+i)\omega + (2-i)\bar\omega = -2+\sqrt3 \quad \text{或} \quad -2-\sqrt3. \]

謎底揭曉：casus irreducibilis 中公式「看似故障」，實際上是沒有指明取哪一對共軛立方根——三實根全部藏在同一個公式的不同分支選擇中。代數記法（根式）無法標註「取哪個分支」，這正是實根式語法表達不了的結構性原因，也預告了 7.3 節分支切割的必要性。

歷史插曲：COTES 公式與超前四十年#

Roger Cotes（1682–1716），Newton 的劍橋同事，在 1714 年遺稿《和聲測量》中已寫出等價於

\[ \log(\cos\theta + i\sin\theta) = i\theta \]

的結果——比 Euler 早三十餘年。Cotes 26 歲英年早逝，Newton 說：「若 Cotes 在世，我們還會知道更多東西。」數學史上「同一定理多重獨立發現」（Cotes–Euler–de Moivre）再次印證：當時代條件成熟，定理會在不同地點同時發芽；差別只在誰的表述成為標準。Euler 勝出的原因是他的表述可計算：把 \(e^{i\theta}\) 當真函數操作，立即連通微積分（ \(\frac{d}{d\theta}e^{i\theta} = ie^{i\theta}\) ），而 Cotes 的對數形式停滯在靜態恆等式。

輻角的多值性：主值約定#

\(\operatorname{Arg} z\) 只在「加 \(2\pi\) 的意義下」有意義： \(e^{i0} = e^{i2\pi} = e^{i4\pi} = 1\) 。這個輻角的週期性是複分析與實分析的分水嶺之一：

它使 \(z \mapsto \log z\) 成為多值函數（第 7 章主角）；
它使「繞圈」這個拓撲概念進入分析：繞奇點一周，輻角增 \(2\pi\) ——這將在 5.3 節輻角原理中成為計數根的機器；
它使複分析天然連通拓撲學：基本群、覆疊空間等概念都由「繞圈」生長出來。

主值約定 \(\operatorname{Arg} z \in (-\pi, \pi]\) 是一種人為選擇（在負實軸上切一刀）；不同的約定給出不同的公式細節。讀者應養成習慣：凡涉及輻角的計算，先問「主值約定是什麼、切割線在哪」。

歷史啟示#

同一事實的多種表述中，可計算者勝：Cotes 的對數式、de Moivre 的三角式、Euler 的指數式，內容等價；Euler 式因可微、可級數展開、可代入而成為標準。
周期性是財富不是瑕疵：輻角的 \(2\pi\) 多值性表面上是麻煩，實際上它使複分析擁有了實分析完全沒有的「繞圈計數」技術（第 5 章）。
一次方程的根藏在一個公式的分支裡：casus irreducibilis 的教訓是「公式的字面值」與「公式的正確讀法」是兩回事——分支的選擇就是資訊。

與其他章節及領域的關聯#

2.2 節： \(e^{ix}\) 的導數是 \(ie^{ix}\) ——複指數可微性是 Cauchy–Riemann 方程最漂亮的單一實例。
4.1 節： \(e^z = \sum z^n/n!\) 在整個複平面上收斂，是冪級數理論的第一個大樣本。
5.2 節：實積分 \(\int \frac{\cos x}{1+x^2}dx\) 型題目的留數計算，全程以 \(e^{ix}\) 為載體。
9.1 節： \(\Gamma(s)\) 的階乘推廣、 \(\zeta(s)\) 的解析延拓，都以極形式與複指數為語言。
傅立葉分析： \(e^{i\omega t}\) 取代 \(\sin, \cos\) 是訊號處理（10.1 節）的標準語言；Euler 公式是複 Fourier 級數的橋樑。
數論：Gauss 和、Dirichlet 特徵都建立在單位根上； \(n\) 次單位根的分圓理論是 19 世紀代數數論的發動機。

練習#

用 de Moivre 定理化簡 \((\cos 15^\circ + i\sin 15^\circ)^8\) ，並以精確代數值（根式）表示結果。
解 \(z^4 = -1\) 的全部四根，畫圖說明其對稱性，並驗證根之和為零。
證明：若 \(z + \frac1z = 2\cos\theta\) ，則 \(z^n + z^{-n} = 2\cos(n\theta)\) ；由此以 Chebyshev 思想求 \(\cos 5\theta\) 的多項式。
把 \(\tan 3\theta\) 表為 \(\tan\theta\) 的有理函數。（提示： \(e^{i3\theta}\) 的虛部/實部之比。）
思考題：解釋為什麼「 \(n\) 次根有 \(n\) 個值」與「代數基本定理（ \(n\) 次方程有 \(n\) 根，計重數）」是相容而不相同的陳述，並以 \(z^3 - 1 = 0\) 與 \((z-1)^3 = 0\) 對照。

進階研讀：從角度算術到高等結構的四個深化場景#

場景一：正 \(n\) 邊形與尺規作圖。Gauss 1796 年 3 月 30 日（19 歲）發現正十七邊形可用尺規作出——因為 \(\varphi(17) = 16\) 是 2 的冪，17 次單位根可由開平方鏈構造。這一發現使他決定獻身數學（教科書生涯被記錄在 Heptingden 日誌上）。一般定理（Gauss–Wantzel，1837）：正 \(n\) 邊形可尺規作圖 \(\iff\) \(n = 2^k p_1\cdots p_s\) ，其中 \(p_i\) 是相異 Fermat 質數（ \(2^{2^m}+1\) 形式）。複數單位根把古希臘兩千年的作圖難題變成質因數分解問題——這是極形式視角最早的壯麗勝利。

場景二：二項式展開的輻角形式與 Fourier 的種子。 \((e^{i\theta})^n\) 展開的實部給出 \(\cos n\theta = \sum \binom{n}{2j}(-1)^j\cos^{n-2j}\theta\sin^{2j}\theta\) 。反方向的問題——「給定 \(\cos\theta\) 的多項式 \(p\) ，把 \(p(\cos\theta)\) 分解為 \(\cos k\theta\) 的和」——正是 Fourier 級數的離散版本。Fourier 1807 年的斷言（任意週期函數展為三角級數）在本質上是「de Moivre 的反演」：從「角度的倍數」走向「頻率的分解」。

場景三： \(\log\) 的多值性預覽。由 \(e^{i\theta}\) 知 \(\log(\cos\theta + i\sin\theta) = i(\theta + 2k\pi)\) ：複對數有無窮多值，相差 \(2\pi i\) 的整數倍。這是多值函數的元模型： \(\sqrt z\) 兩值、 \(\log z\) 無窮值。7.3 節將展示如何「切開平面」（branch cut）使 \(\log z\) 單值化；7.2 節的 Riemann 面則更優雅——把無窮多層平面螺旋黏合成曲面，讓 \(\log\) 在其上自然單值。讀者可先行體會：多值性不是函數的缺陷，而是定義域太小的症狀。

場景四：機率論的迴響——de Moivre 的第二生命。de Moivre 1733 年推導常態曲線時使用的工具正是 \((\cos\theta + i\sin\theta)^n\) 型的計算（經由反覆平方的三角化簡）。今日特徵函數 \(\varphi(t) = E[e^{itX}]\) 完全是他的技術的現代化：以 \(e^{itX}\) 為載體，矩、卷積、中央極限定理都化為輻角語言。同一個 1730 年的恆等式，同時餵養了複分析與機率論兩個學科——好定理的生育力常超出創造者的想像。

名詞速查表（本節出現的核心術語）#

極形式： \(z = re^{i\theta} = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) 。
de Moivre 定理： \((\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\) 。
Euler 公式： \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) ；Euler 恆等式 \(e^{i\pi} + 1 = 0\) 。
單位根： \(z^n = 1\) 的解 \(e^{2\pi ik/n}\) ，構成正 \(n\) 邊形。
主值輻角： \(\operatorname{Arg} z \in (-\pi, \pi]\) 的規範選擇。
分圓理論：以單位根研究數論的分支（Gauss《算術研究》1801 第七篇）。
特徵函數： \(\varphi(t) = E[e^{itX}]\) ，機率論中的 Fourier 變換。

年表速查（本節涉及的關鍵年份）#

1707：de Moivre 首發三角循環公式。
1714：Cotes 遺稿發表 \(\log(\cos\theta+i\sin\theta) = i\theta\) 型結果。
1730：de Moivre《分析的雜論》，定理的一般形式。
1733：de Moivre 常態曲線論文（拉丁本），機率論新紀元。
1736：Euler 解決 Basel 問題 \(\sum 1/n^2 = \pi^2/6\) ，複技術初試鋒芒。
1740：Euler 致 Johann Bernoulli 信，首錄複指數。
1748：Euler《無窮分析引論》， \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) 公式化。
1796：Gauss 十七邊形可作圖性發現。
1801：Gauss《算術研究》，分圓理論體系化。
1837：Wantzel 補全尺規作圖定理的必要性證明。

深化問答三則#

問：Euler 公式的「級數代入證明」嚴格嗎？ 答：他代入了 \(e^z\) 的實冪級數在 \(z = i\theta\) 處。以今日標準，這一步需要「複冪級數的合法代入」定理（第 4 章將提供：解析函數的複合與求和可交換）。以十八世紀標準，這是形式操作的又一次「幸運」；但級數絕對收斂使重排合法，因此 Euler 的論證可以補全為嚴格證明——又一次「直觀先行、嚴格可補」。

問：為什麼 \(e^{i\pi} + 1 = 0\) 被譽為最美公式？ 答：客觀地說，它只是 Euler 公式取 \(\theta = \pi\) 的特例。它的名聲來自修辭：五個基本常數、兩種運算（加、乘/冪）、一個等號。數學教育的角度，它的價值在於觸發追問： \(e\) （增長）、 \(\pi\) （圓）、 \(i\) （旋轉）怎麼會相遇？答案是： \(i\) 使「增長」與「旋轉」同一（虛指數即旋轉），而 \(\pi\) 恰是半圈的角度。三個常數在「旋轉半圈」處會師。

問：de Moivre 定理對非整數 \(n\) 成立嗎？ 答：作為陳述「 \((e^{i\theta})^n = e^{in\theta}\) 」對一切實（乃至複） \(n\) 成立，但讀法要小心：左邊 \((e^{i\theta})^{1/2}\) 若解讀為「取平方根的主值」，則 \(n = 1/2\) 時等式可能失敗（右邊 \(e^{i\theta/2}\) 未必是主值平方根）。原因在輻角多值性： \((e^{i\theta})^{1/2}\) 的全部值是 \(e^{i(\theta+2k\pi)/2}\) 。多值性使「取冪」不再是單值函數——這正是第 7 章要正面處理的課題。

（本節完）