10.1 訊號處理與Z變換#

本章導言#

離散訊號 \(x[n]\) 的Z 變換 \(X(z) = \sum_n x[n]z^{-n}\) ——這是 Laurent 級數（4.2 篂）在工程學的化身。複平面的單位圓 \(|z| = 1\) 對應取樣頻率軸、極點對應系統的模態、收斂域（ROC）對應因果性與穩定性。本節講述 Z 變換、數位濾波器、Fourier 分析的複變本質、Hilbert 變換與因果性——複分析如何在每一片 DSP 晶片與每一次通話中運行。

Z 變換：離散訊號的 Laurent 語言#

定義： \(X(z) = \sum_{n} x[n]z^{-n}\) ，收斂域（ROC） \(= \{z : \sum|x[n]||z|^{-n} < \infty\}\) ——環形區域（4.2 篂的環！因果訊號 \(x[n] = 0\) （ \(n<0\) ）的 ROC 是外域 \(|z| > R\) ）。

基本對照表：

核心字典：極點 = 模態（ \(z = a\) 的極點 ⟺ 時域 \(a^n\) ——衰减率 \(|a|\) 、振盪率 \(\arg a\) ）；單位圓 = 頻率軸（ \(z = e^{i\omega}\) ： \(X(e^{i\omega})\) 就是離散時間 Fourier 變換 DTFT）；ROC = 因果/穩定證書（BIBO 穩定 \(\iff\) ROC 含單位圓）。

反演： \(x[n] = \frac{1}{2\pi i}\oint_{|z|=r} X(z)z^{n-1}dz\) ——圍道積分反變換（5.1 篂留數定理的直接應用！積分提取 \(z^{-1}\) 係數）。工程實作：部分分數展開（8.2 篂場景五）—— \(X(z) = \sum\frac{c_k}{1 - p_kz^{-1}} \Rightarrow x[n] = \sum c_k p_k^n u[n]\) 。

數位濾波器：極點–零點的幾何#

系統： \(H(z) = \frac{b_0 + b_1z^{-1} + \cdots}{1 + a_1z^{-1} + \cdots}\) ——有理函數（半純！4.3 篂）。性質讀法：

• 零點（分子根）：頻率響應的凹陷（ \(H(e^{i\omega}) = 0\) 的頻率被完全濾除——陷波器 notch）。
• 極點（分母根）：共振峰（模態頻率）；** \(|p_k| < 1\) （單位圓內）= 穩定**。
• 頻率響應： \(H(e^{i\omega}) = \prod\frac{|e^{i\omega} - z_k|}{|e^{i\omega} - p_k|}\cdot e^{i(\cdot)}\) ——零點–極點到單位圓的距離直接給增益與相位。濾波器設計 = 在複平面上放置零點與極點——8.1 篂「零點編碼函數」的工程信仰。

雙線性變換（6.1 篂場景五）： \(s = \frac{2}{T}\cdot\frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}}\) ——Möbius 變換把左半 \(s\) 平面（連續系統穩定區）映到單位盤內：把類比濾波器（Butterworth、Chebyshev）變成數位濾波器且保穩定。穩定域的共形映射——6.2 篂映射定理的工程常識化。

Kaiser 窗：FIR 設計的窗函數 \(w[n] = \frac{I_0(\beta\sqrt{1 - (2n/N)^2})}{I_0(\beta)}\) ——修正 Bessel \(I_0\) （9.3 篂）成為每一台裝置的濾波器係數來源。特殊函數進入工廠。

Fourier 分析的複變本質#

離散 Fourier 變換（DFT）： \(X[k] = \sum_n x[n]e^{-2\pi ikn/N}\) ——N 次單位根（1.3 篂）的求和；矩陣形式 \(F\) 滿足 \(F^4 = I\) ——單位根群 \(U(N)\) 的表示。FFT（Cooley–Tukey 1965，但 Gauss 1805 已知！——高斯插值手稿中就有了）：分治使 \(O(N^2) \to O(N\log N)\) ——歷史上最被頻繁執行的演算法之一，其數學本體是單位根的循環群結構（1.3 篂場景一的數位化身）。

解析訊號與 Hilbert 變換（3.3 篂場景二）：實訊號 \(s(t)\) 的解析伴侶 \(s_a = s + i\mathcal{H}[s]\) ， \(\mathcal{H}[s](t) = \frac{1}{\pi}\,\text{p.v.}\!\int\frac{s(\tau)}{t - \tau}d\tau\) ——上半平面解析函數的邊界值（實部 \(s\) 、虛部 \(\mathcal{H}[s]\) ）！「負頻率砍掉 = 單邊譜 = 解析函數」——Kramers–Kronig（1926–29）：因果系統的增益與相位互相決定。包絡檢波、SSB 調變、地震學的相位展開全是 Hilbert 變換的應用——Cauchy 積分公式的訊號版。

一個具體例題#

例題 10.1.1：二階 IIR 濾波器 \(H(z) = \frac{1}{1 - 2r\cos\theta\,z^{-1} + r^2z^{-2}}\) （ \(0 < r < 1\) ）。(a) 求極點並判穩定；(b) 求衝激響應；(c) 說明 \(\theta\) 與 \(r\) 的濾波器語義；(d) 計算在共振頻率的增益。

解：

(a) 分母 \(= (1 - p z^{-1})(1 - \bar p z^{-1})\) ， \(p = re^{i\theta}\) （檢驗： \(p\bar p = r^2\) 、 \(p + \bar p = 2r\cos\theta\) ✓）。極點共軛對 \(re^{\pm i\theta}\) ，模 \(r < 1\) ：穩定 ✓（單位圓內）。

(b) 部分分數： \(H(z) = \frac{A}{1 - pz^{-1}} + \frac{\bar A}{1 - \bar pz^{-1}}\) ， \(A = \frac{p}{p - \bar p} = \frac{re^{i\theta}}{2ir\sin\theta} = \frac{e^{i\theta}}{2i\sin\theta}\) 。衝激響應：

（驗證 \(n = 1\) ： \(h[1] = \frac{\sin\theta}{\sin\theta} = 1\) ；直接由遞推 \(h[1] = 2r\cos\theta\cdot h[0] - r^2 h[-1] = 2r\cos\theta\cdot0 + 1 = 1\) ✓。）

(c) \(\theta\) = 共振頻率（極點輻角——模態振盪率）； \(r\) = 選擇性（ \(r \to 1\) ：極點貼近單位圓，共振峰尖銳、Q 值高； \(r\) 小：峰寬鈍）。複平面上一對點的座標 = 濾波器的兩個物理旋鈕。

(d) 增益 \(|H(e^{i\theta})| = \frac{1}{|1 - re^{i\theta}e^{-i\theta}|\cdot|1 - re^{-i\theta}e^{-i\theta}|}\) 。 \(e^{i\theta} - p = e^{i\theta} - re^{i\theta} = (1 - r)e^{i\theta}\) ，模 \(1 - r\) ； \(e^{i\theta} - \bar p = e^{i\theta} - re^{-i\theta}\) ：模 \(= |1 - re^{-2i\theta}| \ge 1 - r\) （精確： \(\sqrt{1 - 2r\cos2\theta + r^2}\) ）。共振增益：

** \(r \to 1^-\) 時增益 \(\to \infty\) **——無限陡的共振（理想諧振器）。

方法論：極點–零點分析（幾何）+ 部分分數（時域）+ 頻率響應（單位圓取值）——複分析三部曲在二階濾波器上的完整演出。

歷史背景：從離散取樣到 Shannon#

• Gauss 1805：FFT 的原始想法（插值手稿，未被注意）。
• Nyquist 1928 / Shannon 1948：取樣定理（ \(\frac{1}{2W}\) 頻寬判據）——離散化的合法性由頻帶有限（= 解析性）保證：頻帶有限函數 = 整函數（Paley–Wiener 定理 1934： \(e^{iwt}\) 的指數型整函數理論）——取樣定理是複分析定理的通訊工程兌現。
• Z 變換的起源：Laplace 1795 的母函數、1947–1952 年（Ragazzini 與 Zadeh 命名「z-transform」）——Laurent 級數的取樣理論化。
• Cooley–Tukey 1965：FFT 論文（Motivated by Tukey 的總統顧問委員會工作——蘇聯核試驗的地震訊號偵測需求！）；Gauss 優先權 1968 年被 Heideman–Johnson–Burrus 發掘——演算法史上的「雙重發現」橫跨 160 年。
• 現代：小波（Mallat 1989）、壓縮感知（Candès–Tao–Donoho 2004–06）、神經網路的頻域分析——「複頻域思維」仍在擴張。

歷史啟示#

• 取樣定理是「解析剛性」的工程版：頻帶有限 = 指數型整函數 = 由取樣值唯一決定（Lagrange 型插值，Shannon 公式 \(\sum x(nT)\mathrm{sinc}\) ）——複分析的「局部決定全域」變成「取樣決定訊號」。整個數位革命立於此。
• ROC 的教學意義：Z 變換不只是一個級數，帶著收斂域的級數才是訊號（同一 \(X(z)\) 不同 ROC = 不同訊號，因果 vs 反因果）——7.1 篂「芽 + 定義域」思想的離散版。
• 極點思維的普及：「系統穩定嗎？看極點在哪」——工程師的直觀就是 4.3 篂的奇點分類。高等數學的日常化是複分析教育的最大回報。

與其他章節及領域的關聯#

• 1.3 篂：單位根 = DFT 的座標系。
• 4.2 篂：Z 變換 = Laurent 級數；ROC = 環。
• 5.1 篂：留數反變換。
• 6.1 篂：雙線性變換 = Möbius。
• 8.2 篂：部分分數反演 = 模態分解。
• 9.1、9.3 篂： \(\Gamma\) （取樣定理的 Paley–Wiener）、 \(I_0\) （Kaiser 窗）。
• 3.3 篂：Hilbert 變換 = 積分公式邊界極限。
• 控制工程：離散 PID、數位控制迴路（Nyquist 判據的離散版——根在單位圓內）。
• 機器學習：CNN 的頻域解釋、散佈變換（scattering transform，Mallat）——諧波分析的深學習化身。

練習#

1. 求 \(x[n] = \left(\frac12\right)^n u[n]\) 的 Z 變換與 ROC；並求 \(x[n - 3]\) （延遲版）的變換。
2. 對 \(H(z) = \frac{1 + z^{-1}}{1 - 0.5z^{-1}}\) ：求極點零點、判穩定、算 \(h[0], h[1], h[2]\) 。
3. 用部分分數求 \(X(z) = \frac{1}{(1 - \frac12 z^{-1})(1 - \frac13 z^{-1})}\) （ \(|z| > \frac12\) ）的反變換。
4. 證明：因果穩定系統的逆系統 \(1/H(z)\) 穩定 \(\iff\) \(H\) 是最小相位（零點也在單位圓內）——並說明這與 Hilbert 變換的「相位–增益對應」的關係。
5. 思考題：DFT 假設訊號週期化（循環捲積）；這與「單位圓 = 環面 \(\mathbb{C}/N\mathbb{Z}\) 」的幾何是什麼關係？聯繫 7.2 篂的環面與 9.2 篂的雙週期。

進階研讀：訊號處理的五個深化場景#

場景一：Paley–Wiener 定理與取樣。指數型整函數（ \(|f(z)| \le Ce^{A|z|}\) ）的 Fourier 變換支集 \(\subset [-A, A]\) ——頻帶有限 ⟺ 整函數。Shannon 取樣、Nikolskii 空間、有限速率擴散（dimension of bandlimited functions，Landau 1967 密度定理）——5G 通訊的取樣密度、MIMO 容量的數學基礎全部在此。

場景二：小波與多解析度。小波 \(\psi\) 的容許條件 \(\int\frac{|\hat\psi(\omega)|^2}{|\omega|}d\omega < \infty\) ；Daubechies 小波的濾波器組（正交鏡像濾波 QMF）= 單位圓上多項式的譜分解（Fejér–Riesz：正三角多項式 = \(|p(e^{i\omega})|^2\) 的譜因子化——Schur–Cohn 判據，複分析的根位置判斷）。小波 = 「帶極點紀律的濾波器組」。

場景三：壓縮感知。稀疏訊號的取樣 \(y = \Phi x\) （ \(\Phi\) 隨機矩陣）：恢復由 \(\ell^1\) 極小化完成——其分析工具（相干性、零空間條件）的深層是解析延拓的唯一性（稀疏譜 = 有限 Dirichlet 級數，延拓唯一 → 最少測量）。Candès–Romberg–Tao 2006：MRI 加速、雷達、天文成像（CLEAN 演算法的理論化）——「少測量、強先驗」的數學核心是解析剛性。

場景四：預測理論與 Wiener 濾波。平穩過程的預測：內外分解（8.1 篂場景二）——過程譜 \(S(\omega)\) 的因式分解 \(S = |\phi|^2\) ，最小相位因子 \(\phi\) 決定可預測部分。Kolmogorov–Wiener 預測理論（1941）：預測誤差 = \(\exp\left(\frac{1}{2\pi}\int\log S\,d\omega\right)\) ——Szegő 定理（1920）的機率化，其證明核心是 Hard y 空間的外函數（Blaschke/內外分解——複函數論的統計學）。

場景五：圖神經網路與譜方法。圖上的頻域分析（圖 Laplacian 特徵分解 = 廣義 DFT）、譜聚類、Graph Signal Processing（Shuman 2013）——「單位圓上的頻率」推廣為「圖譜上的特徵值」；複變的角色退到「濾波器多項式 \(h(L)\) 」的根位置分析。複分析的思維模式（極點、譜、濾波）在非歐結構上的遷移——這是本書教育目標（思維轉移）的當代案例。

名詞速查表（本節出現的核心術語）#

• Z 變換： \(X(z) = \sum x[n]z^{-n}\) ；ROC 環形。
• ROC：收斂域；因果 ⟺ 外域；穩定 ⟺ 含單位圓。
• IIR/FIR：遞迴/非遞迴濾波器；極點有無。
• 雙線性變換： \(s \leftrightarrow z\) 的 Möbius 映射，保穩定。
• DFT/FFT：單位根變換與快速演算法。
• Hilbert 變換：實部↔虛部的 p.v. 積分；解析訊號。
• Kramers–Kronig：因果性 = 增益相位互相決定。
• 最小相位：極零都在單位圓內；可逆穩定。
• Paley–Wiener：頻帶有限 ⟺ 指數型整函數。
• Szegő 定理：預測誤差 = \(\exp\left(\frac{1}{2\pi}\int\log S\right)\) 。

年表速查（本節涉及的關鍵年份）#

• 1795：Laplace 母函數（Z 變換史前史）。
• 1805：Gauss 的 FFT 想法（手稿）。
• 1920：Szegő 定理。
• 1928：Nyquist 取樣判據。
• 1933：Armstrong FM（Bessel 邊帶）。
• 1934：Paley–Wiener 定理。
• 1941：Kolmogorov–Wiener 預測理論。
• 1948：Shannon 取樣定理與資訊論。
• 1952：Ragazzini–Zadeh「z-transform」命名。
• 1965：Cooley–Tukey FFT 論文。
• 1989：Mallat 小波多解析度。
• 2006：壓縮感知。

深化問答三則#

問：為什麼工程師用 \(z^{-1}\) 而不用 \(z\) ？ 答： \(z^{-1}\) = 延遲算子（ \(X(z)z^{-1} \Leftrightarrow x[n - 1]\) ）——實現直觀（暫存器）且使因果系統 = \(z^{-1}\) 的冪級數（正冪部分的物理對應）。數學上 \(w = z^{-1}\) 只是換元（Möbius！），但「把因果方向定為冪級數方向」的約定使極點穩定性（ \(|p| < 1\) ）與實作（遞迴收斂）對齊。約定即介面（7.3 篂分支約定的工程回聲）。

問：取樣定理為什麼需要「頻帶有限」這麼強的條件？ 答：因為取樣會摺疊頻譜（aliasing）： \(\omega\) 與 \(\omega + 2\pi\) 在取樣後不可分辨（單位圓的 \(2\pi\) 週期——1.3 篂輻角多值性的離散版！）。頻帶有限 = 不摺疊 = 可逆。「複變的週期性成為工程約束」——輻角的 \(2\pi\) 多值性在取樣理論中變成 Nyquist 頻率。

問：Kramers–Kronig「增益定相位」為什麼成立？ 答：因果性 → 解析（上半平面，Paley–Wiener）→ 積分公式（3.3 篂）→ 邊界實虛部互相決定。「因果 = 解析」是二十世紀物理與工程最常被使用的複分析定理：從放大器設計（Bode 圖的相位–增益界，Bode 1945）到弦論的色散關係——3.3 篂積分公式的三次生命（數學、工程、物理）。

（本節完）