跳轉到

8.3 調變：把位元放上載波#

導言：位元的物理化身#

編碼後的位元流是抽象序列；要透過電纜、光纖、空氣傳輸，必須把它變成隨時間變化的物理量——電壓、電流、電磁波的振幅/頻率/相位、光的強度。這就是調變（modulation）。本節介紹數位調變的譜系（ASK/FSK/PSK/QAM/OFDM）、星座圖與功率效率的取捨、符號間干擾與奈奎斯特成形，以及擴頻與 OFDM 兩大現代架構。調變選擇 = 在香農極限（4.2 節）牆上選工作點 + 匹配通道特性。

數位調變的譜系#

載波 \(s(t) = A(t)\cos(2\pi f_c t + \phi(t))\) 。三個可調參數（振幅、頻率、相位）對應三大基本調變：

調變 原理 應用
ASK/OOK 振幅開關 光通訊（開關鍵控）、RFID
FSK 頻率切換 藍牙 GFSK、低速遙測
PSK 相位切換 BPSK/QPSK（GPS、Wi-Fi 低階 MCS）
QAM 振幅+相位聯合 16/64/256/1024-QAM（Wi-Fi、5G、有線）
OFDM 多載波正交並行 Wi-Fi、5G NR、DVB、4G LTE

星座圖與性能#

QAM 的 \(M\) 個符號在複平面上排成方陣，每符號攜帶 \(\log_2 M\) 位元。加性高斯雜訊下，符號錯誤率的近鄰近似：

\[ P_s \approx 4\left(1 - \frac{1}{\sqrt M}\right) Q\!\left(\sqrt{\frac{3 \log_2 M}{M-1} \cdot \frac{E_s}{N_0}}\right) \]

每次翻倍星座（+2 bits/符號）需要約 +3 dB 的 SNR——香農牆的調變版。

例題：星座選擇#

Wi-Fi 場景 SNR = 18 dB（ \(E_s/N_0\) 折算後約 63，線性）：

  • 16-QAM（4 bits/符號）： \(P_s \approx 4(1-1/4) Q(\sqrt{3.0 \times 63}) = 3 Q(13.7) \approx 10^{-41}\) ——過度可靠，浪費。
  • 64-QAM（6 bits/符號）： \(P_s \approx 3.7 Q(\sqrt{(18/63) \times 63}) = 3.7 Q(\sqrt{18}) = 3.7 Q(4.24) \approx 1.1 \times 10^{-5}\) 。
  • 256-QAM（8 bits/符號）： \(P_s \approx 3.9 Q(\sqrt{2.14 \times 63}) = 3.9 Q(11.6) \approx 10^{-31}\) ？重算： \(\frac{3 \times 8}{255} = 0.094\) ， \(\sqrt{0.094 \times 63} = 2.43\) ， \(Q(2.43) \approx 0.0075\) ， \(P_s \approx 2.9\%\) ——太糟。

最佳選擇 64-QAM：在可接受錯誤率下最大化位元/符號。加上碼率 \(R_c\) 的調整（編碼調變 MCS），工作點沿香農牆滑動——這就是 MCS 表（4.2 節表）的由來。

符號間干擾與奈奎斯特成形#

帶限通道使脈衝展寬，相鄰符號互相踩踏（ISI）。奈奎斯特第一準則（1938/1928）：若系統總響應 \(p(t)\) 滿足

\[ p(kT) = \begin{cases} 1 & k = 0 \\ 0 & k \ne 0 \end{cases} \]

則在符號取樣瞬間無 ISI。頻域判準： \(p(f)\) 摺疊到 \([-\frac{1}{2T}, \frac{1}{2T}]\) 後為常數。升餘弦（raised cosine）族是標準解：

\[ p(t) = \mathrm{sinc}(t/T) \cdot \frac{\cos(\pi \beta t / T)}{1 - (2\beta t / T)^2} \]

滾降係數 \(\beta \in [0, 1]\) ： \(\beta = 0\) 是純 \(\mathrm{sinc}\) （最小頻寬、最長拖尾）， \(\beta\) 越大頻寬越寬但時域越短。符號率極限：頻寬 \(W\) 下最多 \(2W\) 符號/秒（奈奎斯特率，1.2 節的百年回響）。

OFDM：把頻寬切片的現代主流#

單載波高階 QAM 對頻率選擇性衰落（多徑）敏感。OFDM（正交分頻多工）的答案：

  1. 把頻寬切成 \(N\) 個正交子載波，每個子載波頻寬窄（平坦衰落）。
  2. 每子載波獨立 QAM。
  3. 循環前綴（CP）吸收多徑延遲，把線性摺積化為循環摺積，頻域一乘即均衡。

數學核心：IFFT/FFT。發射端 \(\mathbf{x} = \mathrm{IFFT}(\mathbf{X})\) ；經多徑通道 \(\mathbf{y} = \mathbf{H}\mathbf{x} + \mathbf{z}\) ；CP 後 \(\mathbf{Y} = \mathrm{FFT}(\mathbf{y}) = \mathbf{H}\mathbf{X} + \mathbf{Z}\) ——每個子載波變成獨立的平坦通道，通道矩陣被 FFT 對角化。位元分配（子載波註水）= 4.2 節水填充的直接應用。OFDM 是 Wi-Fi（802.11a 之後）、LTE、5G NR、DVB-T 的共同骨幹。

擴頻與碼分多址#

另一極端：把窄頻訊號展開到大頻寬（展頻比 \(G = W_{\text{spread}}/W_{\text{data}}\) ）。處理增益 \(10\log_{10} G\) dB 抵抗窄帶干擾。兩種實現：

  • DSSS（直接序列）：位元乘偽隨機碼（m-序列，7.1 節 LFSR 的另一用途）。GPS、CDMA IS-95。
  • FHSS（跳頻）：依偽隨機序列跳載波。藍牙。

多址能力：不同用戶用不同碼（CDMA），功率控制下共享同一頻譜。擴頻的資訊論解讀：把能量灑在更大訊號空間，靠 4.3 節的「高維空間點幾乎正交」性質分離用戶。

調變與編碼的合流：編碼調變#

1982 年 Ungerboeck 的格形編碼調變（TCM）證明：編碼與調變聯合設計可在不解調損失下加編碼增益（歐氏距離而非 Hamming 距離）。現代系統的 MCS（調變與編碼方案）表、以及 LDPC 直接對接 QAM 的 bit-interleaved coded modulation（BICM），都是「碼與調變一起選」的體現。調變決定星座幾何、碼決定星座選擇的機率，兩者在 4.2 節的香農牆上會合。

歷史前因後果#

誰、何時、為什麼#

  • 1837–1900 電報/早期無線：OOK/Morse（1.1 節）、火花發射機的粗糙 FSK。
  • 1930s FM（Armstrong, 1933）：模擬調變的效率革命（帶寬換 SNR 的先驅，與 4.2 節公式互證）。
  • 1928–1938 Nyquist：符號率極限與成形理論。
  • 1960s QAM（C. R. Cahn、Hancock）、1974 Chang 的 OFDM 前身；1971 Weinstein–Ebert 加 CP/FFT 使 OFDM 可實作。
  • 1985 Qualcomm（CDMA）、1988 Ungerboeck TCM。
  • 1999–2020 OFDM 統一：802.11a/g/n/ac/ax、LTE、5G NR。

解決了什麼問題#

  1. 位元的物理化：所有數位系統的第一哩與最後一哩。
  2. 頻譜效率：QAM 階數 + 奈奎斯特成形逼近 \(2W\) 符號/s 上限。
  3. 多徑魯棒：OFDM 的 CP 把頻率選擇性衰落變成每子載波一次乘法。
  4. 多用戶：OFDMA（子載波分配）與 CDMA（碼分配）兩種資源切片方式。

引發什麼新問題#

  1. 峰均比（PAPR）：OFDM 多載波疊加的尖峰問題，功率放大器效率受限——DFT-s-OFDM（5G 上行）等折衷。
  2. 時變通道：快速移動下 CP 失效，需要更短的子幀與新的波形設計（6G 討論中）。
  3. 毫米波/太赫茲：相位雜訊、功率效率的物理限制使調變階數受限（4.2 節功率受限區）。
  4. 聯合設計的極限：語義調變（semantic modulation，10.3 節）質疑「逐位元傳輸」範式。

與其他領域的關聯#

傅立葉分析#

OFDM = FFT；升餘弦 = 頻域整形；帶通取樣（8.1 節）直接取樣射頻；調變本質 = 頻譜搬移（乘載波 = 頻譜摺積平移）。

線性代數#

OFDM 的 FFT 對角化通道矩陣；MIMO（10.3 節）把「每個子載波 × 每對天線」變成矩陣，SVD 分解成平行子通道——線性代數成為波形設計的核心工具。

機率與統計#

星座錯誤率 = 高斯尾機率 \(Q\) 函數；通道估計 = 統計估計（最小平方/最小均方誤差，MMSE）；軟解調 = 後驗 LLR（6.3 節），連接迭代解碼。

幾何#

星座 = 訊號空間的點集合；錯誤率 = Voronoi 域被雜訊球入侵的機率（4.3 節球包裝）；TCM 用幾何分隔設計碼——資訊理論的幾何統一（4.3、6.2 節）在此閉環。

小結與思考題#

調變把位元變成波；星座決定每符號位元數與 SNR 需求；奈奎斯特成形消除 ISI；OFDM 用 FFT + CP 征服多徑；擴頻用頻寬換干擾免疫力。調變與編碼在香農牆上會合，MCS 表是兩者的聯合工作點。

思考題

  1. QPSK 與 16-QAM 的每符號位元數差 2；在 \(P_s = 10^{-6}\) 下兩者需要的 \(E_s/N_0\) 差多少 dB？
  2. 奈奎斯特率 \(2W\) 符號/s 與 Shannon 容量 \(W\log_2(1+\text{SNR})\) ：在 SNR 15 dB 下，每符號可傳多少位元才不超極限？
  3. OFDM 的循環前綴浪費功率與頻譜（CP 佔比約 8–25%）。為什麼工程上仍值得？
  4. 擴頻的處理增益與 4.2 節「低 SNR 區容量與頻寬成正比」有何呼應？
  5. 為什麼 5G 上行鏈路（手機發射）用 DFT-s-OFDM 而下行用 OFDM？（提示：手機功放的 PAPR 敏感度。）

第 8 章完成。下一章：編碼理論的數學面——有限體、因子圖與密碼學，三塊支撐現代理論的地基。