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1.2 EINSTEIN光電效應1905與光子#

本章導言#

Planck 把量子化藏在輻射交換的細節裡，儘量不驚動古典世界。1905 年，專利局職員 Albert Einstein 做了一件更激進的事：他主張光本身就是粒子——一份份能量 \(h\nu\) 的「光量子」，在空間中以整份傳播、整份被吸收。這篇論文（他自稱「非常革命性的」）正是他獲得 1921 年諾貝爾獎的理由，而非相對論。本節追溯一個工程問題（金屬受光照出電子）如何逼出光的粒子性，以及它對數學提出的隱含挑戰。

實驗前史：HERTZ 的意外發現#

1887 年，Heinrich Hertz 在驗證電磁波的實驗中注意到：紫外光照在火花隙電極上，放電更容易。他精確記錄了這個現象卻無暇深究——這是光電效應的第一次現身。其後 Hallwachs（1888）證明是負電荷被釋放；Lenard（1902）測得關鍵的怪事：出射電子的能量與光強無關，只依賴光的頻率；而電流大小（電子數目）正比於光強。

古典電磁理論對此無能為力。波動圖像的預言是：光愈強，電場愈大，電子被「搖」出的能量應愈大；且無論頻率多低，只要夠久、夠強，總能累積足夠能量把電子打出。實驗說：頻率低於某閾值 \(\nu_0\) ，再強的光照一年也打不出一個電子。古典物理的兩個預言（能量隨強度、無閾值）全部反了。

EINSTEIN 的光量子假設#

Einstein 在 1905 年〈關於光的產生與轉化的一個試探性觀點〉中，從黑體輻射的高頻極限（Wien 區）出發：在該區，輻射熵隨體積的變化律與理想氣體的公式完全同構。他推論：單色輻射在熱力學行為上「彷彿由 \(N\) 個獨立的、能量各為 \(h\nu\) 的點狀量子組成」。於是他提出：

光量子假設：光的能量在傳播中即以 \(h\nu\) 為單位分布於空間；一個光量子整份交給單一電子。

光電效應的能量帳目立即可寫：

\[ \frac{1}{2}mv_{\max}^2 = h\nu - \phi, \]

其中功函數 \(\phi\) （金屬常數）是電子逃出表面所需的最小能量。三個預言，全部與古典相反：

  1. 電子動能線性依賴頻率，與光強無關；
  2. 存在閾值頻率 \(\nu_0 = \phi/h\) ；
  3. 逸出無時間滯後（單一量子單次吸收，無需累積）。

驗證之戰歷經十年：密立根（Robert Millikan，以油滴實驗聞名）原意是反駁 Einstein，結果 1916 年的精確實驗反而以漂亮直線證實了 \(eV_{\text{stop}} = h\nu - \phi\) ，並由斜率測得 \(h\) ——與 Planck 從黑體輻射得的值一致。兩個完全不同的現象給出同一個 \(h\) ，這是 \(h\) 作為普適常數的最強證據。

核心公式與推導：為什麼無時間滯後#

古典累積模型定量失敗的計算。以鉀（ \(\phi \approx 2.3\,\mathrm{eV}\) ）為例，設金屬表面原子半徑 \(r \sim 10^{-10}\,\mathrm{m}\) ，電子攤得的光照功率取一個適度的弱光源： \(I = 10^{-6}\,\mathrm{W/m^2}\) 時，原子截面 \(\pi r^2 \sim 3\times10^{-20}\,\mathrm{m^2}\) ，接收功率 \(PI \sim 3\times10^{-26}\,\mathrm{W}\) 。累積 \(2.3\,\mathrm{eV} \approx 3.7\times10^{-19}\,\mathrm{J}\) 需要

\[ t \sim \frac{3.7\times10^{-19}}{3\times10^{-26}} \approx 10^7\,\mathrm{s} \approx \text{數月}. \]

實驗中光照後電子在奈秒以下逸出。波動累積模型的預言與事實差了 16 個數量級。粒子圖像則瞬間解釋：一個 \(h\nu > \phi\) 的光子，一次吸收即完成。數量級的斷崖是判管理論生死的法庭。

COMPTON 效應：光子的第二重身分（1923）#

光電效應只證明能量量子化，還不足以證明光子有動量。1923 年 Arthur Compton 以 X 射線散射石墨，發現散射光波長增大：

\[ \Delta\lambda = \frac{h}{m_ec}(1 - \cos\theta), \]

這是把光子當作能量 \(h\nu\) 、動量 \(p = h\nu/c\) 的粒子，與電子做相對論性二體碰撞的精確結果。 \(h/m_ec \approx 2.43\,\mathrm{pm}\) ，實驗逐點吻合。至此光子同時攜帶能量與動量， \(E = pc\) （光之質能關係）成立——粒子圖像再也無法迴避。Einstein 1905 年的「試探性觀點」在 18 年後被補完。

例題#

例題 1.2.1：鈉的功函數 \(\phi = 2.28\,\mathrm{eV}\) 。以 \(\lambda = 400\,\mathrm{nm}\) 的紫光照射，求截止電壓與閾值波長。

解：光子能量 \(E = hc/\lambda = \frac{1240\,\mathrm{eV\cdot nm}}{400\,\mathrm{nm}} = 3.10\,\mathrm{eV}\) 。動能 \(K_{\max} = 3.10 - 2.28 = 0.82\,\mathrm{eV}\) ，截止電壓 \(V_{\text{stop}} = 0.82\,\mathrm{V}\) 。閾值波長 \(\lambda_0 = 1240/2.28 \approx 544\,\mathrm{nm}\) ——綠光以上（波長更長）完全無電子，與古典直覺（更強紅光應更有效）恰恰相反。

例題 1.2.2：證明光電效應實驗中 \(V_{\text{stop}}\) 對 \(\nu\) 作圖的斜率是普適常數 \(h/e\) ，與金屬無關。

解：由 \(eV_{\text{stop}} = h\nu - \phi\) ，得 \(V_{\text{stop}} = \frac{h}{e}\nu - \frac{\phi}{e}\) ：斜率 \(\frac{h}{e}\) 只含普適常數，截距 \(-\frac{\phi}{e}\) 隨金屬改變。Millikan 正是用「不同金屬、同一斜率」證實了 \(h\) 的普適性——這是實驗設計如何檢驗「假設中隱含的普適性」的典範。

歷史啟示#

  • 跨現象的一致性定常數： \(h\) 從黑體輻射（1.1 節）與光電效應兩路夾擊而現身，之後又在 Compton 效應第三度出現。物理常數的可信度來自這種交叉檢驗。
  • 最保守的現象可藏最革命的假設：光電效應是尋常的工業級實驗，Revolution 卻從中誕生。沒有「不起眼的實驗」。
  • 數學的預言力：熵—體積公式與理想氣體同構，這個純數學的相似性讓 Einstein 猜中光的粒子性——數學結構的巧合常是物理真相的暗號。

與其他章節及領域的關聯#

  • 1.1 節：Planck 量子化了交換過程，Einstein 量子化了光本身——後者是前者的激進化。
  • 2.1 節：既然光波有粒子性，de Broglie 反問：粒子會不會有波性？ \(p = h/\lambda\) 由光電與 Compton 兩現象逼出。
  • 9.3 節：單光子干涉實驗（一顆光子同時走兩條路）是 Bell 實驗與量子資訊的基本工具。
  • 10.2 節：光子是量子通訊的載體，QKD 用單光子的不可分割性防竊聽。
  • 機率統計：光子計數遵循 Poisson 分布，相干光的「散粒雜訊」是量子噪聲的極限，通訊工程的基準線。

練習#

  1. 求鋅（ \(\phi = 4.3\,\mathrm{eV}\) ）的閾值波長；可見光（ \(400\) – \(700\,\mathrm{nm}\) ）能否打出電子？
  2. 用 Compton 公式計算 \(\theta = 90°\) 時 \(\lambda = 50\,\mathrm{pm}\) 的 X 射線散射後的波長。
  3. 證明光電效應中若把光源強度加倍， \(V_{\text{stop}}\) 不變而飽和電流加倍；解釋兩者各對應光子的什麼性質。
  4. 思考題：Einstein 為何從 Wien 區（高頻）而非全譜推導光量子？若從 Rayleigh–Jeans 區出發會得到什麼（提示：該區輻射熵行為像什麼）？

進階研讀#

光子的統計：光電效應只談單光子；光的強度關聯則揭露光子的統計本性。1956 年 Hanbury Brown–Twiss 實驗發現熱光的光子有「聚束」傾向（Bose 統計），而單光子源有反聚束——這些二階關聯函數 \(g^{(2)}(\tau)\) 的測量，是今日判定「單光子源是否合格」的標準（量子資訊，10.2 節）。另一條線：光子數態 \(|n\rangle\) 與相干態的區別，屬於量子光學的希爾伯特空間結構（4.1、6.2 節的諧振子正是單模光場的數學模型）。

名詞速查表#

  • 光量子／光子：能量 \(h\nu\) 、動量 \(h\nu/c\) 的光之粒子。
  • **功函數 \(\phi\) **：電子逸出金屬所需最小能量。
  • 閾值頻率： \(\nu_0 = \phi/h\) ，低於此頻率無光電發射。
  • Compton 波長： \(\lambda_C = h/m_ec \approx 2.43\,\mathrm{pm}\) 。
  • 截止電壓：恰好擋住最快光電子的反向電壓 \(V_{\text{stop}} = (h\nu - \phi)/e\) 。

年表速查#

  • 1887：Hertz 意外發現光電現象。
  • 1902：Lenard 測得電子能量與光強無關。
  • 1905：Einstein 光量子假設。
  • 1916：Millikan 實驗證實並精測 \(h\) 。
  • 1923：Compton 效應證實光子動量。

深化問答三則#

問：波動性還在嗎？光到底是波還是粒子？ 答：雙狹縫干涉（1801 Young）證明光是波；光電、Compton 證明光交換能量動量時是量子。兩者不矛盾：光的傳播用波（振幅疊加）描述，能量動量的交換以量子（ \(h\nu\) 、 \(h/\lambda\) ）進行。單光子雙縫實驗中，每一顆光子在屏上打出單點（粒子性），累積千萬顆後出現干涉條紋（波動性）——這個「兩幅圖像共用一個數學對象」的張力，將在第 2、4 章以波函數與態向量的形式獲得正式安頓。

問：Planck 為什麼反對 Einstein 的光量子？ 答：Planck 認為能量量子化只是振子發射的性質，光在空間中應仍連續；他在 1913 年推薦 Einstein 進入普魯士科學院時還為其「在比熱理論中犯的錯」致歉——所犯的錯正包括光量子。主流直到 1923 年 Compton 效應才轉向。提出者被自己開創的革命拋下，是科學史的常態而非例外。

問：光電效應對今日科技的意義？ 答：太陽能電池（光伏效應是光電效應在半導體的版本）、光感測器、光電倍增管（單光子偵測）、以及所有量子光學實驗的探測端。掃描穿隧顯微鏡（6.3 節）的「電子版表親」也是量子穿隧，與光電效應共享「量子越過能量障礙」的核心直覺。

（本節完）