跳轉到

6.2 諧振子與階梯算子#

本章導言#

諧振子是量子力學最重要的模型：任何光滑位勢的極小值附近都是拋物線（Taylor 展開），所以一切小振動都是振子——分子振動、晶格聲子、電磁場模式、量子場論的自由場。1926 年 Schrödinger 用 Hermite 多項式解出它；同年 Dirac 與其後的現代教科書用階梯算子代數地解出它——不用微分方程，只用對易關係。這個代數方法後來席捲物理（角動量、場論），本節把它講透。

問題與傳統解法（概要）#

\(V = \frac12m\omega^2x^2\) ，定態方程

\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\varphi'' + \frac12m\omega^2x^2\varphi = E\varphi. \]

無因次化 \(\xi = \sqrt{m\omega/\hbar}\,x\) 後為 \(\varphi'' = (\xi^2 - \varepsilon)\varphi\) 。漸近行為 \(e^{-\xi^2/2}\) ，設 \(\varphi = h(\xi)e^{-\xi^2/2}\) ， \(h\) 滿足 Hermite 方程；多項式解存在的條件給出

\[ E_n = \left(n + \frac12\right)\hbar\omega, \qquad n = 0, 1, 2, \dots \]

**等距譜，間距 \(\hbar\omega\) **——Planck 1900 年的 \(E_n = nh\nu\) （1.1 節）差了半份：零點能 \(\frac12\hbar\omega\) 被嚴格證明。波函數是 Hermite 多項式乘高斯： \(\varphi_n \propto H_n(\xi)e^{-\xi^2/2}\) 。傳統解法有效但繁瑣；代數方法揭示結構。

階梯算子：純代數的解#

定義（無因次單位 \(\hbar = m = \omega = 1\) ；一般單位見下）：

\[ \hat a = \frac{1}{\sqrt2}\left(\hat\xi + \frac{d}{d\xi}\right), \qquad \hat a^\dagger = \frac{1}{\sqrt2}\left(\hat\xi - \frac{d}{d\xi}\right). \]

關鍵的對易關係（由 \([\hat x, \hat p] = i\hbar\) 直接推出）：

\[ [\hat a, \hat a^\dagger] = 1, \qquad \hat H = \hbar\omega\left(\hat a^\dagger\hat a + \frac12\right). \]

定義數算子 \(\hat N = \hat a^\dagger\hat a\) 。三步代數完成求解：

  1. ** \(\hat N\) 半正定**： \(\langle\psi|\hat N|\psi\rangle = \|\hat a\psi\|^2 \ge 0\) 。
  2. 譜是整數： \([\hat N, \hat a^\dagger] = \hat a^\dagger\) 使 \(\hat a^\dagger\|n\rangle\) 是 \(\hat N\) 本徵值 \(n+1\) 的態（升階）； \([\hat N, \hat a] = -\hat a\) 使 \(\hat a\) 降階。反覆用 \(\hat a\) 降階， \(\hat N\) 的半正定性保證到某一非負整數停止——本徵值必為 \(n = 0, 1, 2, \dots\) 。
  3. 能階： \(E_n = \hbar\omega(n + \frac12)\) 。

沒有解任何微分方程——能階完全由對易關係與半正定性決定。本徵態由 \(\hat a\|0\rangle = 0\) （被 \(\hat a\) 殺死的態，即高斯 \(e^{-\xi^2/2}\) ）反覆用 \((\hat a^\dagger)^n\) 生成， \(n\) 個節點自動出現。這個「生成元 + 消滅條件」的模式是 Lie 代數表示論的初等版本（7.1 節角動量完全同構）。

零點能與相干態#

零點能 \(E_0 = \frac12\hbar\omega\) 不是數學瑕疵而是物理實在：

  • Casimir 效應（1948，實驗 1958 Lamoreaux、1997 精測）：兩金屬板間真空模式的零點能依板距變化，產生吸引壓 \(F/A = -\frac{\pi^2\hbar c}{240a^4}\) ——真空的零點能可測量。
  • 不確定性的飽和：基態 \(|0\rangle\) 滿足 \(\Delta x\,\Delta p = \hbar/2\) （高斯，5.2 節）——最小不確定態。
  • 相干態 \(|\alpha\rangle\) ： \(\hat a|\alpha\rangle = \alpha|\alpha\rangle\) 的本徵態（非 \(\hat H\) 本徵態），波包按古典規律振盪而不彌散——最接近古典振子的量子態，雷射的量子態、量子光學的標準工具（Sudarshan 1963、Glauber 1963，諾獎 2005）。

場論的一瞥：振子 = 光子#

把振子代數推向極致：電磁場的每個模式是一個振子， \(\hat a^\dagger\) 創造一個光子、 \(\hat a\) 消滅一個光子， \(\hat N\) 是光子數——粒子是場的量子。Planck 1900 年的黑體振子（1.1 節）在這個語言中獲得精確身分：黑體輻射 = 無窮多個諧振子的統計力學，光子 = 振子的激發量子。這是量子場論的入口： \(\hat H = \sum_k\hbar\omega_k(\hat a_k^\dagger\hat a_k + \frac12)\) ，求和中的 \(\frac12\hbar\omega_k\) 累積成真空能（宇宙學常數問題的來源——理論與觀測差 \(10^{120}\) 倍，當代物理最大的數值謎題）。

例題#

例題 6.2.1：由 \([\hat a, \hat a^\dagger] = 1\) 證明 \(E_n = (n+\frac12)\hbar\omega\) 的等距性。

解：設 \(\hat H|n\rangle = E_n|n\rangle\) 。由 \([\hat H, \hat a^\dagger] = \hbar\omega\hat a^\dagger\) （從 \([\hat N,\hat a^\dagger] = \hat a^\dagger\) ）：

\[ \hat H(\hat a^\dagger|n\rangle) = (\hat a^\dagger\hat H + \hbar\omega\hat a^\dagger)|n\rangle = (E_n + \hbar\omega)(\hat a^\dagger|n\rangle). \]

\(\hat a^\dagger|n\rangle\) 是本徵值 \(E_n + \hbar\omega\) 的態（非零向量： \(\|\hat a^\dagger|n\rangle\|^2 = \langle n|\hat a\hat a^\dagger|n\rangle = \langle n|(\hat N+1)|n\rangle = n+1 > 0\) ）。同法 \(\hat a\) 降到 \(E_n - \hbar\omega\) 。譜沿能量軸等距，且由 \(\hat N\) 半正定與 \(E = \hbar\omega(N + \frac12)\) 得最低點 \(n=0\) 。整個譜的結構濃縮在一條對易關係中。

例題 6.2.2：計算相干態 \(|\alpha\rangle\) 的 \(\langle x\rangle(t)\) ，並驗證其飽和不確定性。

解： \(|\alpha\rangle = e^{-|\alpha|^2/2}\sum_n\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle\) （Taylor 展開 \(\hat a\) 的本徵條件可得）。Heisenberg 繪景 \(\hat a(t) = \hat ae^{-i\omega t}\) ，故 \(\langle\hat a\rangle_t = \alpha e^{-i\omega t}\) ，轉回 \(x\) ：

\[ \langle x\rangle_t = \sqrt{\frac{2\hbar}{m\omega}}\,\mathrm{Re}(\alpha e^{-i\omega t}) = x_0\cos(\omega t) + \frac{p_0}{m\omega}\sin(\omega t). \]

正是古典振子的解。不確定性：相干態是最小不確定態（ \(\Delta x = \sqrt{\hbar/2m\omega}\) 、 \(\Delta p = \sqrt{\hbar m\omega/2}\) ，乘積 \(\hbar/2\) ）且隨時間保持——波包振盪而不彌散，因為振子的諧和性恰使不同 \(n\) 成分的彌散互相抵消。這是 Schrödinger 1926 年尋找的「不彌散波包」——古典世界的量子圖像。

歷史啟示#

  • 代數擊敗分析：微分方程解法給出函數，代數解法給出結構（譜的組織、算子的作用、態的生成）。此後物理偏好代數方法——Dirac 1926 年的預見成真。
  • Planck 的半份能量：1900 年缺席的 \(\frac12\hbar\omega\) 在 1926 年被代數強制出現，1948 年被 Casimir 效應測量。理論內部的「多餘項」常是下一個實驗的目標。
  • 從振子到場： \(\hat a, \hat a^\dagger\) 的語言使「粒子數可變」可數學化——量子場論與多體物理（8.3 節二次量子化）的基石。一個一維玩具模型承載了二十世紀物理最深層的理論轉向。

與其他章節及領域的關聯#

  • 1.1 節：Planck 振子的嚴格化；零點能補完。
  • 3.2 節： \([\hat x,\hat p] = i\hbar\) 是階梯算子的出發點。
  • 5.2 節：相干態飽和不確定性下界。
  • 7.1 節：角動量的階梯算子 \(J_\pm\) 完全同構（SU(2) 代數）。
  • 8.3 節：二次量子化——多體理論的創生消滅算子。
  • 10.1 節：振子是路徑積分可精確計算的範例（Gaussian 積分）。
  • 線性代數／群論：Heisenberg 代數的 Fock 表示；Baker–Campbell–Hausdorff 公式（位移算子 \(D(\alpha) = e^{\alpha\hat a^\dagger - \alpha^*\hat a}\) ）。
  • 微積分：Hermite 多項式、生成函數、正交多項式系統。

練習#

  1. 由 \([\hat x,\hat p] = i\hbar\) 推導 \([\hat a, \hat a^\dagger] = 1\) 與 \(\hat H = \hbar\omega(\hat a^\dagger\hat a + \frac12)\) 。
  2. 計算 \(|n\rangle\) 態的 \(\langle x\rangle\) 、 \(\langle x^2\rangle\) 、 \(\Delta x\) ，驗證 \(n \to \infty\) 時相對不確定性 \(\Delta x/\langle x\rangle \to 0\) （古典極限）。
  3. 證明 \(\hat a|n\rangle = \sqrt n\,|n-1\rangle\) 、 \(\hat a^\dagger|n\rangle = \sqrt{n+1}\,|n+1\rangle\) 。
  4. 思考題：用階梯算子語言解釋為什麼 Bose–Einstein 統計中「一個模式可容納任意多個粒子」，而 Fermi–Dirac 只能 0 或 1（提示： \(\hat a^{\dagger 2} \ne 0\) vs. 反對易 \(\{c, c^\dagger\}\) 的 \(\dagger^2 = 0\) ，8.3 節）。

進階研讀#

振子代數的現代王國：階梯算子思想擴張到整個物理——SU(1,1)（壓縮態）、su(2) 自旋鏈、Gelfand–Tsetlin 基（對稱群的譜分解）、以及量子化場的每個模式。數學上， \(\hat a, \hat a^\dagger\) 構成 Weyl 代數的 Fock 表示，其指數形式與 Hermite 多項式、Laguerre 多項式（8.1 節氫原子徑向解）組成交錯的表示網。超對稱量子力學（Witten 1981 引入）更把一維位勢系統統一為「超荷的階梯代數」：夥伴位勢的譜配對、無節點基態的嚴格證明——階梯算子從計算技巧成長為組織原理。

名詞速查表#

  • 階梯算子： \(\hat a\) （消滅/降階）、 \(\hat a^\dagger\) （創生/升階）。
  • 數算子： \(\hat N = \hat a^\dagger\hat a\) ，本徵值 \(0,1,2,\dots\) 。
  • 零點能： \(\frac12\hbar\omega\) 。
  • 相干態： \(\hat a\) 的本徵態；最小不確定波包。
  • Casimir 效應：真空零點能的宏觀測量。
  • Fock 空間：粒子數不定的希爾伯特空間（場論舞台）。

年表速查#

  • 1900：Planck 振子（缺零點能）。
  • 1926：Schrödinger Hermite 解；Dirac 代數解；Schrödinger 不彌散波包。
  • 1927：Dirac 量子場論初步（光子創生消滅）。
  • 1948：Casimir 效應預言。
  • 1963：Glauber、Sudarshan 相干態量子光學。
  • 1997：Lamoreaux 精測 Casimir 力。

深化問答三則#

問：階梯算子為什麼對振子「奏效」而對井不奏效？ 答：階梯方法的成本是譜的等距性： \([\hat H, \hat a^\dagger] = c\hat a^\dagger\) 強制 \(E_{n+1} - E_n = c\hbar\) 。無限井譜 \(E_n \propto n^2\) 非等距，不存在這種線性階梯。數學上，等距譜對應高度對稱的位勢（拋物線位勢隱藏著 \(\mathrm{SU}(1,1)\) 對稱與超對稱夥伴結構）——代數可解性 = 隱藏對稱性，這是可解模型研究的指導原則（Bethe ansatz、可積系統）。

問：相干態「古典」在哪裡、不古典在哪裡？ 答：古典處：期望值遵循古典軌道、不彌散、大 \(|\alpha|\) 時光子數相對漲落 \(\to 0\) 。不古典處：光子數仍滿足 Poisson 分布（ \(\Delta N = \sqrt{\langle N\rangle}\) ，散粒噪聲）、單光子探測仍按 Born 機率、多個相干態之間非正交。相干態是「最古典的量子態」而非古典態——這個細分正是量子光學的起點，也是 10.2 節量子計算中「相干性」一詞的語源。

問：真空能 \(10^{120}\) 的矛盾告訴我們什麼？ 答：量子場論的零點能（每模式 \(\frac12\hbar\omega\) ，截止於某高能標度）與宇宙觀測的暗能量密度相差 120 個數量級——理論最成功的框架之一產生最離譜的數值失配。可能的出路：重力的零點能不簡單累積、全息原理、或人擇論證。它提醒我們：諧振子的最後一課還沒上完——1926 年的 \(\frac12\hbar\omega\) 至今仍在形塑基礎物理的邊疆。

（本節完）