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6.3 穿隧效應與掃描穿隧顯微鏡#

本章導言#

古典粒子撞牆必返；量子波撞牆，有一部分穿透。衰減解 \(e^{-\kappa x}\) （2.2 節 \(E < V_0\) 的解）在位壘內部非零，使有限寬度的位壘成為「可滲透」的。穿隧是量子力學最廣泛的工業應用：核融合（太陽發光）、掃描穿隧顯微鏡 STM（1981，諾獎 1986）、閃存與穿隧二極體、放射性 \(\alpha\) 衰變。本節計算透射係數，並以 STM 為例展示「數學衰減解如何變成原子級影像」。

方形位壘的透射係數#

位能 \(V(x) = V_0\) （ \(0 < x < a\) ），能量 \(E < V_0\) 。三區解：

\[ \psi_I = e^{ikx} + r\,e^{-ikx} \ (x < 0), \qquad \psi_{II} = Ae^{\kappa x} + Be^{-\kappa x} \ (0 < x < a), \qquad \psi_{III} = t\,e^{ikx} \ (x > a), \]

其中 \(k = \sqrt{2mE}/\hbar\) 、 \(\kappa = \sqrt{2m(V_0 - E)}/\hbar\) 。在 \(x = 0, a\) 連續 \(\psi\) 與 \(\psi'\) （四條方程），解出透射係數（機率流守恆，2.2 節練習 2）：

\[ T = \left[1 + \frac{V_0^2\sinh^2(\kappa a)}{4E(V_0 - E)}\right]^{-1}. \]

厚壘極限 \(\kappa a \gg 1\) ： \(\sinh^2 \approx \frac14e^{2\kappa a}\) ，得

\[ T \approx \frac{16E(V_0-E)}{V_0^2}\,e^{-2\kappa a} \propto e^{-2\kappa a}. \]

透射對寬度指數敏感：壘厚加倍，穿透率平方衰減。這個 \(e^{-2\kappa a}\) 是 STM 的一切： \(\kappa^{-1}\) （衰減長度）約 \(0.1\,\mathrm{nm}\) ，樣本與針尖間距變 \(0.1\,\mathrm{nm}\) （原子尺度），電流變化近一個數量級——天然的原子分辨率放大器。

WKB 近似：一般位壘的穿隧#

任意位壘 \(V(x)\) （ \(E\) 局部低於 \(V\) ）用 WKB（1.3 節進階的 Bohr–Sommerfeld 之現代形式）：

\[ T \approx \exp\left[-2\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{\frac{2m(V(x) - E)}{\hbar^2}}\,dx\right] = e^{-2G/\hbar}, \qquad G = \int\sqrt{2m(V-E)}\,dx. \]

積分分母中的 \(\hbar\) 說明本質：穿隧是 \(\hbar \to 0\) 時被壓死的效應——宏觀物體質量 \(m\) 大， \(G/\hbar \to \infty\) ，穿隧概率 \(e^{-\infty}\) 。這也解釋為何穿隧在微觀是常態：電子 \(m\) 小、壘薄，指數不夠大。

GAMOW、GURNEY 與 CONDON：α 衰變（1928）#

穿隧的第一個理論勝利。放射性核放出 \(\alpha\) 粒子，實驗發現 Geiger–Nuttall 定律（1911）：半衰期對能量極端敏感（能量增加 1 MeV，壽命縮短約 \(10^{5}\) 倍），古典物理完全無解——Coulomb 壘外的粒子為何「知道」壘內？1928 年 Gamow（哥廷根）與 Gurney–Condon（普林斯頓）獨立提出： \(\alpha\) 粒子在核內有能量 \(E\) ，面對 Coulomb 壘 \(V(r) = \frac{2Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 r}\) ，以 WKB 穿隧逃逸：

\[ T \sim e^{-2G/\hbar}, \qquad G = \int_R^{r_2}\sqrt{2m_\alpha\left(\frac{2Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 r} - E\right)}dr = \frac{2Ze^2}{\hbar v}\arccos\sqrt{\frac{E}{V(r_2)}} - \cdots \]

嘗試頻率 \(\times\) 穿隧率 = 衰變率，算出的半衰期橫跨 \(10^{24}\) 倍（ \(\mu\) s 到 \(10^{10}\) 年）的 Geiger–Nuttall 直線——一條指數公式涵蓋七個數量級以上的壽命。這是量子力學第一次解釋核現象，也是「純數學的衰減解 = 原子的壽命」的壯麗演示。

STM：穿隧成為顯微鏡#

1981 年 IBM 蘇黎世，Binnig 與 Rohrer 製成掃描穿隧顯微鏡：導電針尖（理想上單原子端）距樣本 \(d \sim 0.5\) – \(1\,\mathrm{nm}\) ，加偏壓 \(V\) ，電子經真空穿隧：

\[ I \propto V\,\rho_s(E_F)\,\rho_t(E_F)\,e^{-2\kappa d}, \qquad \kappa \approx \sqrt{\frac{2m\phi}{\hbar^2}} \approx 1\,\text{Å}^{-1}\ (\phi \approx 4\,\mathrm{eV}). \]

兩種操作模式：

  • 恆流模式：針尖掃描，反饋調整高度維持 \(I\) 恆定 → 高度輪廓即表面形貌，分辨率 \(0.01\,\mathrm{nm}\) 量級——直接「看見」原子。
  • 恆高模式：記錄電流起伏 → 局域電子態密度（DOS）資訊。

\(e^{-2\kappa d}\) 的指數敏感性使 \(d\) 變化 \(0.01\,\mathrm{nm}\) 即可辨別——這是壓電陶瓷（毫埃級控制）+ 指數放大器的天作之合。STM 的後繼者：原子力顯微鏡（AFM）、自旋極化 STM（磁域成像）、單分子操縱（Eigler 1989 用氙原子拼出 IBM）、以及與 8.2 節微擾理論結合的穿隧譜學（STS）。

例題#

例題 6.3.1：電子 \(E = 1\,\mathrm{eV}\) 撞 \(V_0 = 2\,\mathrm{eV}\) 、 \(a = 1\,\mathrm{nm}\) 的位壘。求 \(\kappa\) 與 \(T\) 。

解： \(\kappa = \sqrt{2m(V_0-E)}/\hbar = \frac{\sqrt{2\times9.11\times10^{-31}\times1.6\times10^{-19}}}{1.055\times10^{-34}} \approx 5.1\times10^9\,\mathrm{m}^{-1}\) ， \(\kappa a \approx 5.1\) 。厚壘公式： \(T \approx \frac{16\times1\times1}{4}e^{-2\times5.1} = 4\times3.6\times10^{-5} \approx 1.4\times10^{-4}\) 。千分之一量級——微觀尺度上穿隧是常見事件。若 \(a = 0.2\,\mathrm{nm}\) ： \(T \approx 4e^{-2.05} \approx 0.51\) ——奈米之下，牆近乎不存在。

例題 6.3.2：STM 電流的距離敏感度。設 \(\kappa = 1\,\text{Å}^{-1}\) ，間距從 \(d\) 減到 \(d - 0.1\,\mathrm{nm}\) ，電流變化幾倍？

解： \(\frac{I_{new}}{I_{old}} = e^{2\kappa\Delta d} = e^{2\times10\,\mathrm{nm}^{-1}\times0.1\,\mathrm{nm}} = e^{2} \approx 7.4\) 。間距縮 1 埃，電流增大 7 倍——反饋迴路因此能鎖定原子級高度。若 \(\Delta d = 0.01\,\mathrm{nm}\) ： \(e^{0.2} \approx 1.22\) ，22% 的電流變化仍遠超噪聲——原子分辨率的數學根基就是這條指數曲線的斜率。

歷史啟示#

  • 衰減解是「沒有放棄」的解： \(E < V_0\) 時數學不給零解，給衰減解——古典「不可能」在量子語言中只是「指數變小」。讓數學自由延伸，物理的例外就在延伸處。
  • 一條公式解釋七個數量級：Gamow 的 \(\alpha\) 衰變計算是理論物理「覆蓋範圍」的典範——不是預言一個數，而是統一一片現象。
  • 測量儀器反哺理論：STM 把穿隧從現象變成顯微鏡，反過來為表面物理、催化、量子材料提供原子級數據——基礎數學（衰減解）→ 物理（穿隧）→ 技術（STM）→ 新科學（表面態密度）的完整迴路。

與其他章節及領域的關聯#

  • 2.2 節： \(E < V_0\) 的衰減解是穿隧的種子。
  • 6.1 節：有限井的滲漏、束縛態的離散譜在有限深井中的修正。
  • 1.2 節：Compton/光電效應與穿隧共享「量子越過障礙」的直覺，但機制不同（吸收 vs. 滲透）。
  • 8.2 節：WKB 是微擾思想的漸近版本；隧道結的譜（STS）需微擾/散射理論。
  • 10.1 節：路徑積分中穿隧 = 虛時間的經典軌道（瞬子）， \(e^{-G/\hbar}\) 由穩相法自然湧出。
  • 微積分／分析：WKB 漸近展開、Airy 函數（轉折點 \(E = V\) 的精確連接公式）。
  • 核物理／化學：核融合的 Gamow 峰（太陽溫度遠低於 Coulomb 壘，穿隧使恒星發光）；質子轉移與酶催化（生物化學中的量子穿隧）。

練習#

  1. 完整推導方形位壘的 \(T\) （四條邊界條件線性方程組，可用 Cramer 法則）。
  2. 對 \(E > V_0\) ，證明 \(T < 1\) （部分反射）——古典完全透射的量子修正。
  3. 用 WKB 估算 \(\alpha\) 粒子（ \(E = 5\,\mathrm{MeV}\) ）穿出 \(Z = 92\) 核的 Coulomb 壘的 \(G/\hbar\) 量級，並估算半衰期的對數。
  4. 思考題：STM 的「影像」是形貌還是電子態？用 \(I \propto \rho_s e^{-2\kappa d}\) 說明：同一表面、不同偏壓，影像可能不同——這對「看見原子」這個說法意味著什麼？

進階研讀#

穿隧的邊疆：Josephson 效應（1962，諾獎 1973）——Cooper 對經絕緣層整體穿隧，電流–相位關係 \(I = I_c\sin\delta\) ，成為電壓標準（Josephson junction 陣列）與超導量子位元（transmon，10.2 節）的核心。單分子結的穿隧譜研究化學鍵在電流下的動力學；質子穿隧在酶催化與 DNA 突變中的角色是量子生物學的前沿；「穿隧時間」的定義之謎（Hartman 效應：厚壘穿隧時間飽和）至今爭論不休——最簡單的衰減解，仍藏著未決的詮釋問題。

名詞速查表#

  • 穿隧： \(E < V\) 的粒子以 \(e^{-2\kappa a}\) 機率穿透位壘。
  • 衰減長度： \(\kappa^{-1} = \hbar/\sqrt{2m(V_0-E)}\) 。
  • WKB 透射： \(T \approx e^{-2G/\hbar}\) ， \(G = \int\sqrt{2m(V-E)}dx\) 。
  • STM：掃描穿隧顯微鏡， \(I \propto e^{-2\kappa d}\) 。
  • Geiger–Nuttall 定律： \(\alpha\) 衰變壽命與能量的指數關係。
  • Josephson 效應：Cooper 對穿隧的宏觀量子現象。

年表速查#

  • 1928：Gamow、Gurney–Condon 穿隧理論解 \(\alpha\) 衰變。
  • 1931：Oppenheimer 場致發射（穿隧的早期應用）。
  • 1962：Josephson 效應預言。
  • 1981：Binnig、Rohrer 發明 STM。
  • 1986：STM 諾貝爾物理獎。
  • 1989：Eigler 單原子操縱。

深化問答三則#

問：穿隧「耗時多久」？粒子會「在壘中」被看到嗎？ 答：測量問題的微縮版。若在壘中間測位置，機率 \(|\psi_{II}|^2\) 非零——「在壘中」有實際機率（這正是 STM 的原理：探測器就在「壘內」讀電流）。但測量本身塌縮波函數、改變透射。Hartman 效應（透射時間不隨壘厚增長）引發「超光速穿隧？」的爭論——標準答案：群速度超光是相位重構效應，不可傳訊（2.1 節相速度之辨的重演）。

問：太陽為什麼能發光？ 答：太陽核心 \(1.5\times10^7\,\mathrm{K}\) 對應熱動能約 \(1\,\mathrm{keV}\) ，而質子間 Coulomb 壘峰值約 \(550\,\mathrm{keV}\) ——熱能遠不足以融合。Gamow 穿隧（ \(T \sim e^{-2G/\hbar} \sim 10^{-10}\) ）加上 Maxwell 高能尾巴使少數質子融合；兩個指數的乘積在 \(\sim 6\,\mathrm{keV}\) 處最大化（Gamow 峰）。沒有穿隧，太陽不發光——恒星壽命、核合成、我們的存在，都依賴一個衰減解。

問：STM 為什麼不能看絕緣體？ 答：STM 電流需要樣本導電（費米面上有態密度可穿隧）。絕緣體無電流通道，改用 AFM（力學力感測）。這個限制是物理的而非工程的：穿隧本質上是電子態的重疊，絕緣體的帶隙（6.1 節尺寸效應的固體版）阻斷了費米面附近的態。儀器的能力邊界由譜結構決定——能帶理論直接規定了顯微鏡的物種分化。

（本節完）