7.1 角動量算子與SU2#

本章導言#

角動量在量子力學中的角色遠超古典：它不是「轉動的量」，而是轉動對稱性的生成元，其譜結構由群論完全決定。1926–27 年，Heisenberg、Jordan 與 Wigner 用算子代數導出角動量的離散譜；Wigner 1931 年的群論教科書把它升格為系統理論。驚人的發現：量子力學的轉動群不是古典的 SO(3)，而是其雙覆蓋 SU(2)——自旋半整數、 \(4\pi\) 週期、以及日後整個粒子物理的分類系統，都從這裡湧出。本節以階梯算子（6.2 節的同構方法）講清這套代數。

角動量的對易代數#

轉動生成元 \(\hat L_i\) 滿足（由 \([\hat x_i, \hat p_j] = i\hbar\delta_{ij}\) 對 \(\hat L = \hat x\times\hat p\) 直接計算）：

\[ [\hat L_i, \hat L_j] = i\hbar\varepsilon_{ijk}\hat L_k. \]

三個分量互不對易（5.3 節例題 5.3.1）——角動量向量的三個分量不可同時確定。但兩個組合對角化：

\[ \hat L^2 = \hat L_x^2 + \hat L_y^2 + \hat L_z^2, \qquad [\hat L^2, \hat L_i] = 0 \ \forall i. \]

CSCO 取 \(\{\hat L^2, \hat L_z\}\) ：共同本徵態 \(|l,m\rangle\) （球座標分離變數的 \(Y_l^m\) ，2.2 節氫原子的角向部分）。代數方法的目標：不解微分方程，純由對易關係推出譜。

階梯算子與譜的推導#

定義升、降算子：

\[ \hat L_\pm = \hat L_x \pm i\hat L_y, \qquad [\hat L_z, \hat L_\pm] = \pm\hbar\hat L_\pm, \qquad [\hat L_+, \hat L_-] = 2\hbar\hat L_z. \]

與 \(\hat L^2\) 的組合：

\[ \hat L^2 = \hat L_+\hat L_- + \hat L_z^2 - \hbar\hat L_z = \hat L_-\hat L_+ + \hat L_z^2 + \hbar\hat L_z. \]

設 \(\hat L^2|l,m\rangle = \lambda|l,m\rangle\) 、 \(\hat L_z|l,m\rangle = m\hbar|l,m\rangle\) 。三步推出譜（與 6.2 節振子完全同構的邏輯）：

** \(\hat L_+\) 升 \(m\) 、 \(\hat L_-\) 降 \(m\) **，且不改變 \(\lambda\) （ \([\hat L^2, \hat L_\pm] = 0\) ）。
模長下界： \(\langle l,m|\hat L_-\hat L_+|l,m\rangle = \lambda - \hbar^2m(m+1) \ge 0\) 且 \(\langle l,m|\hat L_+\hat L_-|l,m\rangle = \lambda - \hbar^2m(m-1) \ge 0\) 。故 \(\lambda \ge \hbar^2m(m\pm1)\) —— \(m\) 有上界 \(m_{\max}\) 與下界 \(m_{\min}\) （階梯不能無限延伸，否則違反半正定性）。
邊界的自洽： \(m_{\max}\) 態被 \(\hat L_+\) 殺死： \(\hat L_+|l,m_{\max}\rangle = 0\) ，代回 \(\lambda = \hbar^2m_{\max}(m_{\max}+1)\) ；同法 \(\lambda = \hbar^2m_{\min}(m_{\min}-1)\) 。比較兩式： \(m_{\min} = -m_{\max}\) 。又 \(m\) 每步變 1，故 \(m_{\max} - m_{\min} = 2m_{\max}\) 是非負整數，記 \(2m_{\max} = 2l\) ：

\[ \boxed{\ \hat L^2|l,m\rangle = \hbar^2l(l+1)|l,m\rangle, \qquad m = -l, -l+1, \dots, l\ } \]

\(l = 0, \frac12, 1, \frac32, \dots\) ——半整數自動出現！軌道角動量（球諧函數）只有整數 \(l\) ，但代數允許半整數——它們對應什麼？答案是自旋（7.2 節）：一種不對應空間轉動的波函數、卻滿足同一代數的角動量。代數的半整數解在先，物理的身分確認在後。

SU(2) 與 \(4\pi\) 週期#

轉動算子 \(U(R) = e^{-i\theta\hat n\cdot\hat L/\hbar}\) 。對整數 \(l\) （如 \(l=1\) ）， \(2\pi\) 轉動回到原態；對半整數（ \(l = 1/2\) ），用 \(\sigma_z\) 本徵態驗證：

\[ e^{-i2\pi\sigma_z/2} = -\hat 1, \qquad e^{-i4\pi\sigma_z/2} = +\hat 1. \]

半整數態轉一圈變負號，轉兩圈才復原。這不是數學遊戲：自旋半整數的態若相位反轉，雙縫干涉條紋反轉（可測）。中子干涉儀（Rauch 1975、Werner 1975）實測了 \(4\pi\) 週期。數學上，SO(3) 的轉動由 SU(2) 的矩陣「雙覆蓋」表示：SU(2) → SO(3) 是二對一的群同態，半整數表示是 SU(2) 有而 SO(3) 沒有的表示——自旋的存在是拓撲的必然（三維轉動群的基本群 \(\pi_1(\mathrm{SO}(3)) = \mathbb Z_2\) ）。

例題#

例題 7.1.1：計算 \(l = 1\) 表態中 \(\hat L_x\) 的矩陣元與本徵值，並驗證 \(\Delta L_x\,\Delta L_z = \frac{\hbar^2|m|}{2}\sqrt{l(l+1)-m^2}\) 型的關係。

解：用 \(L_\pm|1,m\rangle = \hbar\sqrt{2 - m(m\pm1)}\,|1,m\pm1\rangle\) （一般公式 \(L_\pm|l,m\rangle = \hbar\sqrt{l(l+1)-m(m\pm1)}\,|l,m\pm1\rangle\) ）：

\[ L_x = \frac{L_+ + L_-}{2}: \quad \langle 1,m|L_x|1,m'\rangle = \frac{\hbar}{2}\left(\sqrt2\,\delta_{m,m'+1} + \sqrt2\,\delta_{m,m'-1}\right). \]

矩陣（基 \(\{|1,1\rangle,|1,0\rangle,|1,-1\rangle\}\) ）：

\[ L_x = \frac{\hbar}{\sqrt2}\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}, \]

本徵值 \(+\hbar, 0, -\hbar\) ✓（對稱性要求三個分量同譜）。在 \(|1,0\rangle\) 態： \(\langle L_z\rangle = 0\) 、 \(\Delta L_z = \hbar\) ； \(\langle L_x\rangle = 0\) 、 \(\Delta L_x = \hbar/\sqrt2\) （ \(\langle L_x^2\rangle = \hbar^2/2\) ）。不確定性是態依賴的（5.2 節），且 \(\hat L^2\) 的確定（ \(\hbar^2\cdot2\) ）「花費」在三分量的散布上： \(\Delta L_x^2 + \Delta L_y^2 + \Delta L_z^2 = \hbar^2l(l+1)\) ——角動量「長度」確定但方向彌散，這就是 Stern–Gerlach 只見離散斑點（7.3 節）的代數根源。

例題 7.1.2：證明 \(l = \frac12\) 的表示矩陣滿足 \([L_i, L_j] = i\hbar\varepsilon_{ijk}L_k\) 。

解： \(L_i = \frac{\hbar}{2}\sigma_i\) （Pauli 矩陣，7.2 節）。需要驗證 \([\sigma_i,\sigma_j] = 2i\varepsilon_{ijk}\sigma_k\) 。以 \(\sigma_x\sigma_y = i\sigma_z\) （Pauli 矩陣乘法，直接矩陣乘驗證）、 \(\sigma_y\sigma_x = -i\sigma_z\) ： \([\sigma_x,\sigma_y] = 2i\sigma_z\) ✓；其餘輪換同理。Pauli 矩陣是 su(2) 的最簡非平凡表示——兩能級系統（量子位元，10.2 節）與電子自旋共用這套數學。

歷史啟示#

代數先於幾何：半整數表示從對易關係「免費」出現，比自旋的物理發現（1922 Stern–Gerlach 實驗、1925 Pauli–Uhlenbeck–Goudsmit 詮釋）在數學上更早到位。表示論預留了物理尚未發現的座位。
Wigner 的綜合：1931 年 Wigner 把光譜學的經驗規則（選擇定則、強度比）統一為群論——對稱性決定譜結構，這個範式後來統治粒子物理（SU(3) 八重道、標準模型的規範群）。
拓撲進入物理： \(4\pi\) 週期、 \(\pi_1(\mathrm{SO}(3)) = \mathbb Z_2\) ——量子力學使拓撲不變量成為可測量。這條線通向 Berry 相位（1984）、拓撲絕緣體與今日的拓撲量子計算。

與其他章節及領域的關聯#

3.2 節：對易關係是角動量代數的模板。
6.2 節：階梯算子方法同構（ \(\hat N\) ↔ \(\hat L_z\) ， \(\hat a^\dagger\) ↔ \(\hat L_+\) ）。
7.2、7.3 節：自旋與 Stern–Gerlach——半整數表示的物理。
8.1 節：氫原子角向解 = 球諧函數 = SO(3) 的整數表示。
群論：SU(2)、不可約表示、Wigner–Eckart 定理、CG 係數（角動量耦合，8.2 節精細結構）。
拓撲學： \(\pi_1(\mathrm{SO}(3)) = \mathbb Z_2\) 、Berry 相位、纖維叢（規範理論的幾何）。

練習#

完整推導 \([L_i, L_j] = i\hbar\varepsilon_{ijk}L_k\) 與 \([L^2, L_i] = 0\) 。
用階梯算子證明 \(l(l+1)\) 的譜公式（三步法）。
對 \(l = 3/2\) ，寫出 \(\hat L_z\) 的矩陣與 \(\hat L_x\) 的矩陣，驗證對易關係。
思考題：為什麼軌道角動量（球諧函數）只有整數 \(l\) ？從「波函數單值性」（ \(\phi \to \phi + 2\pi\) ）出發，並說明為什麼這個論證不適用於自旋（自旋態不是空間座標的函數）。

進階研讀#

從 SU(2) 到標準模型：角動量的 SU(2) 是規範理論的原型——電弱理論的 \(\mathrm{SU}(2)_L\) （弱同位旋）、強作用的 \(\mathrm{SU}(3)\) 色，都是同一數學（Lie 代數、權圖、CG 係數）的推廣。粒子分類（八重道、誇克模型）就是「角動量耦合」的高維版本：CG 係數 = Clebsch–Gordan 係數的 SU(3) 表兄弟。數學上，表示論在 1930–70 年代因物理需求繁榮（Wigner、Weyl、Gelfand），反過來，物理的規範場論催生了現代數學的規範理論（Donaldson、Seiberg–Witten）——SO(3) 與 SU(2) 的一字之差，是二十世紀數學物理最富生產力的分岔點。

名詞速查表#

角動量代數： \([L_i,L_j] = i\hbar\varepsilon_{ijk}L_k\) 。
階梯算子： \(L_\pm = L_x \pm iL_y\) 。
量子數： \(l\) （表示標籤）、 \(m\) （ \(L_z\) 本徵值）。
SU(2)：SO(3) 的雙覆蓋群；半整數表示的宿主。
** \(4\pi\) 週期**：半整數自旋態轉兩圈復原。
CG 係數：兩個表示耦合為積表示的展開係數。

年表速查#

1922：Stern–Gerlach 實驗（7.3 節）。
1925：Uhlenbeck–Goudsmit 自旋假說。
1926–27：Heisenberg–Jordan、Wigner 角動量代數。
1931：Wigner《群論與量子力學》。
1975：中子干涉 \(4\pi\) 週期實測。
1964 起：SU(3) 八重道 → 標準模型。

深化問答三則#

問：自旋「轉動」什麼？ 答：不轉動空間中的東西。自旋是內稟自由度：態由 \(\mathbb C^2\) 的向量描述，轉動以 SU(2) 矩陣作用其上。物理上它是粒子的標籤（電子 \(1/2\) 、光子 1、Higgs 0），實驗表現為磁矩（7.3 節）。古典類比（旋轉的陀螺）誤導多於啟發——自旋是「滿足轉動代數的量子數」，這個定義純代數而無圖像，正是量子力學放棄古典圖像（3.1 節）的範例。

問：為什麼 \(l(l+1)\) 而不是 \(l^2\) ？ 答：這是不確定性原理的幾何表現： \(L^2 = \hbar^2l(l+1)\) 意味著 \(|\vec L| = \hbar\sqrt{l(l+1)} > \hbar l\) ——向量不可能完全沿 \(z\) 軸（否則 \(L_x = L_y = 0\) ，違反 \([L_x,L_y] = i\hbar L_z \ne 0\) ）。最大投影 \(m = l\) 時 \(\Delta L_x^2 + \Delta L_y^2 = \hbar^2l\) 仍非零——「沿軸排列」在量子世界中內在地不可能。

問：CG 係數有什麼用？ 答：耦合兩個角動量（自旋–軌道、兩粒子總自旋）需要把 \(|l_1m_1\rangle|l_2m_2\rangle\) 展開為 \(|LM\rangle\) ：展開係數即 CG 係數。應用：氫原子精細結構（8.2 節， \(j = l \pm 1/2\) ）、Zeeman 效應的能級、粒子衰變的角分布與選擇定則。它們是對稱群積表示分解的數據——每當兩個「轉動系統」合併，CG 係數就是翻譯辭典。

（本節完）