1.1 Fibonacci 與複利（1202）#

本章導言#

金融數學從一個看似幼稚的問題開始：「今天的 100 元，等於十年後的多少元？」 這條等號兩端的關係，在歐洲長期被法律與宗教判定為可疑——亞里斯多德以來的傳統主張貨幣本身不生育，對放款收取利息就是「讓貨幣生出貨幣」、違反自然；Thomas Aquinas 在《神學大全》（II-II, q.78）把這論證系統化，中世紀教會法遂禁止複利（usury 連本帶利的計算）。但十三世紀的地中海貿易早已走到十字路口：跨國匯兌、長期借貸、合夥清算都需要一套計算金錢隨時間成長的規則。把這套「新算術」寫進歐洲第一本商業算術書的，是比薩的 Leonardo Fibonacci（列奧納多．斐波那契，約 1170–1250） 與他 1202 年的《計算之書》（Liber Abaci）。本節沿著這本書，看複利如何從爭議變成公理，又如何逼出等比級數與指數增長這兩個本書反覆使用的工具。

從巴格達到比薩：一本為商人而寫的書#

Fibonacci 的父親是比薩的商務領事，隨父親在北非阿爾及利亞的 Béjaïa（中世紀文獻稱 Bugia）任職期間，Fibonacci 向當地學者學習了當時已相當精緻的阿拉伯算術與代數——包括 al-Khwārizmī（花拉子米，約 780–850）《還原與對消的書》（Kitāb al-jabr wa'l-muqābala，約 820 年）所代表的傳統。1202 年他完成《計算之書》，1228 年的修訂本獻給神聖羅馬帝國皇帝腓特烈二世。書名中的 abacus 指的不是今日的算珠，而是計算板（algorism 一詞亦源於 al-Khwārizmī 的名字）。書中前七章講印度—阿拉伯數字與計算技術，隨後的篇章全是商人真正需要的東西：貨幣換算、重量混合、利潤分配、時間加權、利息與貼現。這本書的革命性不在發明新數學，而在宣告：複雜的商業計算可以被寫成通用規則，而不是每個商人各自摸索的訣竅。

兔子問題：等比增長的第一次露面#

《計算之書》最著名的一題與金錢無關，卻是全書最具生成力的一題：

某人把一對新生兔放入封閉場地，已知每對兔子自第二個月起每月生一對新兔，且兔子永不死。一年後共有幾對？

設第 \(n\) 個月的對數為 \(F_n\) 。第 \(n\) 月的兔子由兩部分組成：上月已存在的 \(F_{n-1}\) 對，以及本月新生的對數——而新生的對數恰是兩個月前的對數 \(F_{n-2}\) （每對滿兩個月才開始生育）。於是有：

\[ F_n = F_{n-1} + F_{n-2}, \qquad F_1 = 1,\ F_2 = 1. \]

逐月展開即得下表（這就是後世的 Fibonacci 數列）：

月 \(n\)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
對數 \(F_n\)	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144

答案是 144 對。請注意這個題目的結構與複利完全同源：本期量 = 前期量 + 增量，而增量本身正比於前期的「已成熟部分」。差別在於兔子的「成熟期」造成遞迴，而金錢的立即再投入造成純等比增長：

\[ A_n = P(1+i)^n = P \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{(1+i) - 1} \cdot i \ \text{型的級數，其核心都是公比 } (1+i). \]

換言之，等比級數是「本期量由前期量按固定比例生成」的通用解，兔子序列是它的遲滯版本。這條思路將在 1.2 節的年金求和、2.1 節的遞延年金中反覆出現。

禁令之下：複利如何在夾縫中生存#

法律雖然禁止，商業卻從未停止借貸。羅馬《十二銅表法》（約公元前 450 年）曾規範利率上限，公元前 341 年的 Lex Genucia 一度全面禁止利息，拜占庭皇帝查士丁尼在六世紀也多次調整法定利率，但這些禁令在實務上一再被規避。中世紀商人發展出三類合法外衣：匯兌契約（表面上是外幣買賣，匯率差已內含利息）、合夥制（放款人身分轉為分享利潤的合夥人）與低地國家流行的三重契約（contractus tripertitus）。這些安排的共同特徵是：實質利率被藏在另一個名目之下，於是「算出真實利率」反而成為比「禁止利息」更急迫的技術問題。

與此同時，簡單利息與複利的分野開始造成真正的爭訟。中世紀法學所謂「收益不生收益」（non dricitur fructus fructum parere）指的正是：未領取的利息不應再計息。商人則理所當然地把未提領的收益再投入。哪一種才「公平」？這個問題無法用道德回答，只能用數學比較。

簡單利息與複利：一場三百年的公斷#

設本金 \(P\) 、年利率 \(i\) 、年數 \(n\) 。兩種計息方式分別是：

\[ \text{單利： } A = P(1 + in), \qquad \text{複利： } A = P(1+i)^n. \]

差額來自「利息的利息」：複利展開為二項式

\[ (1+i)^n = 1 + ni + \binom{n}{2}i^2 + \cdots + i^n, \]

其中 \(ni\) 一項對應單利，其餘各項全是「利上加利」的累積。當 \(i\) 不小、 \(n\) 長時，這些高階項會主導結果——這正是長天期借貸、養老儲蓄與主權債務爭議的數學本質。商人也發現一條速算訣竅：大約 \(72/i\) 年後本金翻倍（ \(i\) 以百分數計）。它的來源是 \(\ln 2 \approx 0.693\) 與 \(\ln(1+i) \approx i\) 的組合，詳見 1.3 節。

例題 1.1.1：某商人借出 10,000 元，年利率 6%，借期 10 年，利息不領取。分別按單利與複利計算到期金額，並計算商人的「額外所得」；再用 72 法則估算翻倍年數，與精確值比較。

解：單利：

\[ A = 10000 \times (1 + 0.06 \times 10) = 10000 \times 1.6 = 16{,}000 \text{ 元}. \]

複利：先算 \(1.06^{10}\) 。由 \(1.06^2 = 1.1236\) 、 \(1.06^4 = 1.262477\) 、 \(1.06^8 = 1.593848\) ，得

\[ 1.06^{10} = 1.06^8 \times 1.06^2 = 1.593848 \times 1.1236 = 1.790847, \]

\[ A = 10000 \times 1.790847 = 17{,}908.47 \text{ 元}. \]

兩者相差 \(17{,}908.47 - 16{,}000 = 1{,}908.47\) 元，這 1,908.47 元正是十年間「利息的利息」的總和，占複利總額的 \(1908.47/7908.47 \approx 24.1\%\) 。

72 法則： \(72/6 = 12\) 年；精確翻倍年數為

\[ n = \frac{\ln 2}{\ln 1.06} = \frac{0.693147}{0.058269} = 11.896 \text{ 年}, \]

誤差約 0.1 年，作為心算工具已經足夠精確。

歷史啟示#

禁令逼出技術：不是先有複利公式再有借貸，而是借貸被禁止，才迫使商人把利率藏進匯兌與合夥，進而需要「拆解真實利率」的算術。
一本書統一訣竅：Fibonacci 的貢獻是把各地商人的零散技巧整理為可傳授、可檢查的通用演算法——這是「金融工程」最早的雛形。
兩個增長模型的分工：等比增長（複利）與遲滯遞迴（兔子）是本書的兩大母型，前者走向 1.2–1.3 節，後者將在 6.2 節的馬可夫鏈與 8.1 節的生命表中回歸。

前因後果與驅動關係#

什麼問題逼出了這套技術？ 其一是複利爭訟：教會禁止「利上加利」、商人實際卻在計算利上加利，雙方對峙三百年的結果是法律改以「實際年利率」揭露消費信貸成本（今日各國信用卡法規要求同時公布名目與實際年利率）。其二是合夥與遺產清算：商隊出發時投入的本金，回航時要按時間加權分配利潤，等比級數是唯一可用的工具。其三是主權借款：義大利城邦與北歐國家發行長期債券，價格計算必須能把「未來分期收款」折回今日——這是 1.2 節現值與年金的直接動因。

理論成熟後如何回頭改變實務？ 複利一旦成為公理，同一條公式被反向使用：由已知未來金額反推今日價值，即折現；逐期套用即得年金公式（1.2 節、2.1 節）。折現成為債券定價（2.2 節）、存續期間（2.3 節）、精算現值（第 8 章）的共同語法，也成為會計上折舊攤提與租賃認列的基礎（《會計的數學》第 4 章折舊數列、第 3 章會計方程）。經濟學側，時間偏好與跨期選擇把折現率解釋為「人們寧願現在消費」的心理速率（《經濟的數學》第 1 章邊際革命與微分、第 2 章效用與選擇、第 8 章總體與成長），使利率同時是金融價格與行為參數。反過來，當折現率被用於百年養老金與氣候政策，「用哪一個折現率」成為公共政策爭議（第 8 章、第 10 章）——1202 年的算術書，最終決定了退休金的數字。

練習#

某人存款 5,000 元，年利率 8%，15 年不動用。分別以單利與複利計算到期金額，並算出複利多出的部分占單利的百分比。
證明 \(F_1 + F_2 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1\) ，並用兔子表驗證 \(n = 6\) 的情形。
某貸款名目利率 6%、按季複利。求實際年利率，並用 72 法則與精確公式分別估算翻倍年數。
中世紀商人以「一年後匯率差 4%」的匯兌契約代替 4% 的利息。若利息本該按季複利，這份合約的實際年利率是多少？誰佔了便宜？
思考題：若某國法律規定「禁止一切複利」，你認為商業會如何回應？請從本節三種規避手段中選一種，說明它如何在報表上「不叫利息卻是利息」，並指出稽核人員要用什麼數學工具才能拆穿它。

名詞速查表#

複利（compound interest）：每期利息加入本金再計息， \(A = P(1+i)^n\) 。
單利（simple interest）：僅按原始本金計息， \(A = P(1+in)\) 。
等比級數：公比固定為 \(q\) 的數列求和，複利與年金的共同骨架。
Fibonacci 數列： \(F_n = F_{n-1}+F_{n-2}\) ，源自《計算之書》的兔子問題。
usury（高利貸／有息放款）：中世紀歐洲對收取利息的統稱，法律與神學長期禁止的對象。
72 法則：本金約於 \(72/i\) 年翻倍的心算近似，源自 \(\ln 2 \approx 0.693\) 。
匯兌契約／三重契約：以匯差或複合契約包裝利息、規避禁令的中世紀法律工具。
折現（discounting）：把未來金額除以 \((1+i)^n\) 反推今日價值，複利的逆運算。
翻倍時間： \(n = \ln 2 / \ln(1+i)\) ，72 法則的精確版本。
利上加利： \((1+i)^n\) 展開式中高於一次的各项，單利與複利的全部差別所在。

年表速查#

約前 450：羅馬《十二銅表法》規範利率上限。
前 341：Lex Genucia 一度禁止羅馬人收取利息。
約 820：al-Khwārizmī《還原與對消的書》成書，代數與算術傳入阿拉伯世界。
六世紀：查士丁尼多次調整拜占庭法定利率。
1202：Fibonacci《計算之書》初版完成。
1228：《計算之書》修訂版獻給腓特烈二世，兔子問題與商業算術廣為流傳。
約 1250：Aquinas《神學大全》完成，系統化「利息違反自然法」的論證。
1494：Pacioli《摘要》刊行，歐洲商業算術教科書傳統確立（同時見《機率統計》1.1 節）。

（本節完）