1.2 現值、終值與年金#

本章導言#

1.1 節證明了「今天的 100 元」與「十年後的 100 元」不等價，卻留下一個更困難的問題：當未來有一串款項時，今日總值怎麼算？ 中世紀晚期的歐洲政府恰好製造了這種需求。荷蘭共和國在獨立戰爭中大量發行 losrenten（可贖回年金）與 lijfrenten（終身年金）：前者每年定額給付直到政府贖回，後者給付到受益人身故；英國也以類似方式籌措對法戰爭經費。1671 年，荷蘭大議長兼數學家 Johan de Witt（1625–1671）在《終身年金的價值》中正確指出：終身年金的價格應等於「各年給付 × 該年仍生存的機率」之總和——這是 1654 年 Pascal–Fermat 期望值思想（見《機率統計》1.1 節）第一次被用在真實市場上。本節先處理不含生存機率的版本：等額、等距、固定期數的現金流，即年金（annuity）。

三個基本量：現值、終值與貼現因子#

設年利率為 $i$ ，今日的 1 元放到 $n$ 年後的終值（future value）為 $(1+i)^n$ ；反過來， $n$ 年後的 1 元其現值（present value）為：

\[ v = \frac{1}{1+i}, \qquad \mathrm{PV} = \mathrm{FV} \cdot v^n, \qquad \mathrm{FV} = \mathrm{PV}(1+i)^n. \]

其中 $v$ 稱貼現因子（discount factor），是金融文獻中最高頻的符號之一：它把「未來」翻譯成「今日」。有了它，任何一筆未來款項都能折現，而「多筆款項」的問題就化為 1.1 節的等比級數求和。

年金：等額等距現金流的三件套#

普通年金（annuity immediate）指每期期末收款 $C$ 、共 $n$ 期的現金流，其現值為：

\[ a_{\overline{n}|} = C(v + v^2 + \cdots + v^n) = C \cdot \frac{1 - v^n}{i}. \]

先付年金（annuity due）在每期期初收款，每筆款項多賺一期利息，故：

\[ \ddot{a}_{\overline{n}|} = C(1 + v + \cdots + v^{n-1}) = a_{\overline{n}|}(1+i) = \frac{1-v^n}{d}, \qquad d = \frac{i}{1+i}. \]

永續年金（perpetuity）令 $n \to \infty$ ，因 $v^n \to 0$ 得：

\[ a_{\overline{\infty}|} = \frac{C}{i}. \]

這個式子把「無窮」收斂成一個有限價格，正是英國 consols（永久公債，1751 年整理發行）的定價公式，也是 2.1 節的主角。對應的終值因子只需再乘上 $(1+i)^n$ ：

\[ s_{\overline{n}|} = \frac{(1+i)^n - 1}{i} = a_{\overline{n}|}(1+i)^n. \]

把四種現金流整理成表：

類型	款項時點	現值	與普通年金的關係
普通年金	第 1, 2, …, n 期末	$C a_{\overline{n}	}$
先付年金	第 0, 1, …, n−1 期初	$C \ddot{a}_{\overline{n}	}$
遞延 $k$ 期的普通年金	第 $k+1, \ldots, k+n$ 期末	$C v^k a_{\overline{n}	}$
永續年金	永遠	$C/i$	$n \to \infty$ 的極限

正規化現金流：把契約拆成「本金＋年金」#

任何固定利率契約都可反向拆解。例如面額 100,000 元、票息 5%、十年期的債券，其現金流就是「十年期年金 5,000 元」加「十年後的本金 100,000 元」，故：

\[ P = 5000 \, a_{\overline{10}|} + 100{,}000 \, v^{10}. \]

這個拆解將貫穿第 2 章（債券定價、折溢價攤銷、存續期間）與第 6 章（期限結構），也是《會計的數學》中分期付款與應收帳款估值的同一種技術。

例題 1.2.1：某人自今年年底起每年年底存入 10,000 元，年利率 6%，共存 20 年。(1) 求第 20 年年底的帳戶餘額；(2) 求這串存款在今天的等值金額；(3) 驗證兩者相差 $(1.06)^{20}$ 倍。

解：先算 $1.06^{10} = 1.790847$ （1.1 節已算過），平方得 $1.06^{20} = 3.207135$ ，故 $v^{20} = 0.311807$ 。

(1) 終值因子：

\[ s_{\overline{20}|} = \frac{1.06^{20} - 1}{0.06} = \frac{2.207135}{0.06} = 36.78559, \qquad \mathrm{FV} = 10{,}000 \times 36.78559 = 367{,}856 \text{ 元}. \]

(2) 現值因子：

\[ a_{\overline{20}|} = \frac{1 - v^{20}}{0.06} = \frac{0.688193}{0.06} = 11.46992, \qquad \mathrm{PV} = 10{,}000 \times 11.46992 = 114{,}699 \text{ 元}. \]

(3) 驗證： $114{,}699 \times 3.207135 \approx 367{,}856$ ，與 (1) 相符；因子層面也成立： $s_{\overline{20}|} = a_{\overline{20}|} \times 3.207135$ 。

務實的解讀：二十年共存入 200,000 元，帳戶卻有 367,856 元，其中 167,856 元來自時間本身。反過來說，要讓退休後每年領 100,000 元、領 20 年（6%），今天只需備妥 114,699 元——這就是「現值」在退休規劃上的意義。

歷史啟示#

需求先於公式：年金市場運作數十年，正確定價才逐漸普及；de Witt 的短文說明「有市場、有糾紛，才有人認真算」。
同一條級數、三種應用：儲蓄是年金的存入面，債券是年金的領取面（2.2 節），房貸是年金的攤還面；會計上的分期收款與折舊攤銷也是同一條級數（《會計的數學》第 4 章折舊數列）。
無窮也能定價： $1/i$ 證明無窮序列的現金流可有有限價值——這條思想日後在 4.2 節的選擇權與 10.1 節的期限結構中以更難的形式重現。

前因後果與驅動關係#

什麼問題逼出了這套技術？ 其一是戰爭借款與退休給付：荷蘭、英國以年金向全民借錢，政府要回答「每年付多少不吃虧」，投資人要回答「這筆本金買到了什麼」。其二是保險與遺產安排：終身給付必須同時處理時間與生存兩種不確定，直接催生第 8 章的精算現值與生命表（Halley 1693，見 8.1 節）。其三是長期合約的會計：租賃、分期收款、保單價值準備金都要把未來現金流換算成今日的一個數字，這是《會計的數學》第 4、5 章與第 10 章的核心工具。

理論成熟後如何回頭改變實務？ 年金公式普及後，市場出現標準化的零息債券與折價票據、房貸等額本息攤還表（2.2 節）、養老金提撥率與企業淨現值法資本預算（把所有未來現金流折現後與投資額比較）。折現也從記帳工具變成政策工具：政府用貼現率比較十年與五十年的公共建設效益，經濟學家用時間偏好率解釋利率與消費（《經濟的數學》第 1 章邊際革命與微分、第 2 章效用與選擇、第 8 章總體與成長）。而年金的「無風險、等距、固定期數」假設一旦被利率變動打破，就必須改用隨機利率與期限結構模型（第 6 章）；當政府無力續付年金時，便進入 9.1 節所討論的債務結構崩潰。

練習#

某人希望在今後 15 年的每年年底各領 20,000 元，年利率 5%。求今日一次提存的金額（ $1.05^{15} = 2.078928$ ）。
承上，若改為每年年初領取，金額應為多少？兩者的差額是否恰為「多一期利息」的 5%？
某張永續債券每年付息 8,000 元。當市場殖利率為 5% 時其合理價格為多少？若價格跌到 90,000 元，殖利率變成多少？
某公司簽約將於第 5 年至第 10 年的每年年底各收到 50,000 元。請以「兩筆普通年金相減」的方式（ $a_{\overline{10}|} - a_{\overline{4}|}$ ）計算其現值，年利率 4%，並與「先遞延再乘 $v^4$ 」的結果比對。
思考題：de Witt 把終身年金價格寫成「給付 × 生存機率」的總和，本節卻把機率寫成 1。請說明差別何在——若受益人的平均餘命被低估，年金買方與賣方誰會吃虧？這個問題為什麼最終必須靠 8.1 節的生命表解決？

名詞速查表#

現值（PV）／終值（FV）：同一筆金額在今日與 $n$ 期後的等值換算，靠 $v$ 與 $(1+i)^n$ 互轉。
**貼現因子 $v$ **： $1/(1+i)$ ，把未來金額翻成今日價值的換算率。
**普通年金 $a_{\overline{n}|}$ **：期末收款、共 $n$ 期的等額現金流現值， $(1-v^n)/i$ 。
**先付年金 $\ddot{a}_{\overline{n}|}$ **：期初收款，等於普通年金乘 $(1+i)$ 。
永續年金：期數無窮的年金，現值 $C/i$ ，consol 債券的定價基礎。
貼現率／折現率：用於折現的利率，在會計上亦稱必要報酬率或有效利率。
losrenten／lijfrenten：荷蘭的可贖回年金與終身年金，十六至十七世紀政府的主要借款形式。

（本節完）