1.3 連續複利與自然對數#

本章導言#

1.1 與 1.2 節的公式都假設「一年複利一次」。但商人很快就會追問：若改為半年、按季、按月、按日複利，到期金額會如何變化？會無限增加嗎？這個極限問題在十七世紀末由荷蘭數學家 Jacob Bernoulli（雅各．伯努利，1654–1705） 首先認真處理：他計算 \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\) 隨 \(n\) 增大的行為，發現它收斂到一個約 2.71828 的神祕常數。1748 年 Leonhard Euler（歐拉，1707–1783） 在《無限分析引論》中正式命名這個常數為 \(e\) ，並算出十八位小數。與此平行，1614 年蘇格蘭數學家 John Napier（納皮爾，1550–1617） 發表對數表，把乘除降級為加減，Keppler 等天文學家用它處理第谷的龐大觀測資料。這兩條線在金融匯流：連續複利給出 \(Pe^{rt}\) ，對數把乘法變加法——前者是 4.2 節 Black–Scholes 公式的骨架，後者是今日一切報酬率與風險量測的基礎。

從按月到連續：極限出現了#

設年利率為 \(r\) ，一年複利 \(m\) 次，每次利率為 \(r/m\) ，一年後的金額為：

\[ A = P\left(1 + \frac{r}{m}\right)^{m}. \]

取 \(r = 5\%\) ，逐步增加複利頻率：

複利頻率 \(m\)	\(A/P = (1+0.05/m)^m\)	實際年利率
1（年）	1.050000	5.0000%
4（季）	1.050945	5.0945%
12（月）	1.051162	5.1162%
365（日）	1.051267	5.1267%
\(m \to \infty\)	1.051271	5.1271%

金額不會無限增加，而是收斂到一個極限。一般地，對 \(T\) 年期：

\[ \lim_{m \to \infty} P\left(1 + \frac{r}{m}\right)^{mT} = P e^{rT}. \]

其中 \(e = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = 2.718281828459\ldots\) 。連續複利（continuous compounding）的定價式因此是：

\[ A = P e^{rT}, \qquad \text{反向折現： } \mathrm{PV} = F e^{-rT}. \]

對應的連續複利實際年利率為 \(i_{\text{eff}} = e^{r} - 1\) ；上表末行正是 \(e^{0.05} - 1 = 5.1271\%\) 。值得注意的是：5% 連續複利「比」5% 年複利更有價值，但兩者描述的往往是同一種商業報價的兩種說法——這也是各國法規要求以實際年利率揭露信貸成本的原因（1.1 節）。

對數：把乘法降級成加法#

Napier 的對數滿足 \(\log(ab) = \log a + \log b\) ，把長天期的連乘變成連加。在金融上，這個性質使對數報酬可加：

\[ \ln\frac{P_t}{P_0} = \sum_{k=1}^{t} \ln\frac{P_k}{P_{k-1}}. \]

一年的總報酬等於各期報酬的對數和，這在 3.1 節的報酬變異數與 7.1 節的風險值（VaR）中是標準作法。對連續複利取對數，關係更為整潔：

\[ A = Pe^{rT} \iff \ln A = \ln P + rT, \qquad \text{即 } r = \frac{\ln(A/P)}{T}. \]

自然對數與複利本來就是同一枚硬幣的兩面： \(\frac{d}{dx}e^x = e^x\) 使得「增長率正比於現有量」的微分方程 \(\frac{dP}{dt} = rP\) 的解恰是 \(Pe^{rt}\) 。1.1 節的等比增長在連續時間下的語言就是這條微分方程。

72 法則的正式誕生#

由 \(Pe^{rT} = 2P\) 得翻倍時間

\[ T = \frac{\ln 2}{r} = \frac{0.6931}{r}. \]

分子 0.6931 與分母的搭配是速算法的來源：常用利率區間內 \(\ln(1+i) \approx i - i^2/2\) 與 \(i\) 的偏差，被 \(\ln 2 = 0.6931\) 與「方便除法的整數」之間的取捨抵銷，於是商人挑了 \(69\) （精確）或 \(72\) （可被 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12 整除）作為分子。以 1.1 節的 6% 為例： \(72/6 = 12\) 年，精確值 \(\ln 2/\ln 1.06 = 11.896\) 年，誤差約 1%。

例題 1.3.1：本金 10,000 元、年利率 5%、投資 4 年，分別以 (a) 年複利、(b) 按季複利、(c) 連續複利計算到期金額，並算出三者的實際年利率與對數總報酬。

解：

(a) 年複利： \(A = 10{,}000 \times 1.05^4 = 10{,}000 \times 1.215506 = 12{,}155.06\) 元，實際年利率 5%。

(b) 按季複利：每期利率 \(0.05/4 = 0.0125\) ，共 16 期。 \(\ln 1.0125 = 0.0124225\) ，故 \(1.0125^{16} = e^{0.198760} = 1.219890\) ，

\[ A = 10{,}000 \times 1.219890 = 12{,}198.90 \text{ 元}, \qquad i_{\text{eff}} = 1.219890^{1/4} - 1 = 5.0945\%. \]

(c) 連續複利： \(e^{0.05 \times 4} = e^{0.2} = 1.221403\) ，

\[ A = 10{,}000 \times 1.221403 = 12{,}214.03 \text{ 元}, \qquad i_{\text{eff}} = e^{0.05} - 1 = 5.1271\%. \]

三者的對數總報酬：

\[ \ln 1.215506 = 0.195, \quad \ln 1.219890 = 0.19876, \quad \ln 1.221403 = 0.2. \]

只有連續複利使「對數總報酬 ÷ 年數 = 名目利率」恰好成立（ \(0.2/4 = 5\%\) ）——這是模型建構者偏愛連續複利的真正原因：它讓報酬率與時間呈嚴格線性，隨機模型才能乾淨地寫成 \(dP/P = \mu\,dt + \sigma\,dW\) （5.2 節）。

歷史啟示#

極限來自實務的追問：「按日複利會怎樣」不是純數學家的興趣，而是放款人與存款人討價還價的產物；Bernoulli 的計算把這場討價還價變成一個常數。
工具決定模型的形狀：有了對數，報酬可加、變異數隨時間線性累積，風險才能用統計量管理（《機率統計》第 2 章變異數、7.1 節 VaR）。
符號是歷史的化石： \(e\) 、 \(\log\) 、 \(v\) 、 \(r\) 這幾個符號各自來自 Euler、Napier、精算學與商業傳統，同一篇論文裡同時出現四種時間觀。

前因後果與驅動關係#

什麼問題逼出了這套技術？ 其一是長期與高頻借貸的比價：當市場同時存在年複利、按季複利與按日複利的報價，交易員需要一個不隨計息頻率改變的比較基準，實際年利率與連續複利應運而生。其二是長天期債券與年金的精確折現：1.2 節的 \(v^n\) 在連續時間下變成 \(e^{-rt}\) ，第 2 章的債券定價與 2.3 節的利率敏感度都要在這套語言下計算。其三是統計處理海量報酬資料：Napier 的對數把天文觀測的連乘化為連加，三百年後同樣的性質讓日報酬、月報酬得以累加成年報酬。

理論成熟後如何回頭改變實務？ 連續貼現成為衍生品定價的預設語言：Black–Scholes 公式中的 \(Ke^{-rT}\) （4.2 節）、風險中立期望值的折現（5.3 節）、零息債券的貼現函數（6.1 節）全部使用 \(e^{-rt}\) 。對數報酬則成為報酬率的業界標準：變異數與共變異數在對數報酬上計算（3.1 節、《機率統計》第 2 章）、VaR 以對數報酬的分位數估計（7.1 節）、波動度以對數報酬的標準差表示（4.3 節）。經濟學側，連續時間的跨期最適化讓消費與投資的微分方程得以求解，總體成長模型的現值與資本存量計算皆用連續貼現（《經濟的數學》第 1 章邊際革命與微分、第 8 章總體與成長）。而「同一個名目利率在不同複利頻率下價值不同」這個事實，正是 9.1 節討論債務快速膨脹時最關鍵的代數。

練習#

計算 \((1 + 0.06/12)^{12}\) 與 \(e^{0.06}\) ，求兩者的差距（元／每 100 元本金），並解釋為何按月複利已相當接近連續複利。
某債券以連續複利 4% 計價，五年後一次收付 100,000 元。求其今日價值；再把它換算成「年複利」下的等效利率。
用 72 法則與精確公式分別估算 3% 與 10% 利率下的翻倍年數，並比較兩者的相對誤差，說明利率越高時 72 法則是否仍可靠。
若某投資的對數報酬逐年為 \(0.08, -0.05, 0.11\) ，求三年的累積總報酬（一般報酬率）與對數總報酬，並說明兩者為何不相等。
思考題：法官與立法者曾長期爭論「按日複利是否算高利貸」。請用本節的極限式說明：當名目利率固定，僅把複利頻率提高到極限，最多能讓實際年利率增加多少百分點？這對「以名目利率設上限」的法令有何啟示？

名詞速查表#

連續複利：複利頻率趨於無窮的極限， \(A = Pe^{rT}\) ，折現為 \(Fe^{-rT}\) 。
**自然常數 \(e\) **： \(\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^n = 2.71828\ldots\) ，由 Bernoulli 計算、Euler 命名。
**實際年利率 \(i_{\text{eff}}\) **：把複利頻率納入後的真實年增率，連續複利時為 \(e^r - 1\) 。
**自然對數 \(\ln\) **：以 \(e\) 為底的對數，把連乘化為連加， \(e^x\) 的反函數。
對數報酬： \(\ln(P_t/P_{k})\) ，可跨期相加，報酬統計的標準形式。
72 法則：翻倍時間 \(\approx 72/r\) （ \(r\) 為百分數），由 \(\ln 2 \approx 0.693\) 導出。
Napier 對數：1614 年發表的計算工具，把乘除化為加減，後由 Briggs 改造成常用對數（底 10）。

年表速查#

1614：Napier 發表《奇妙的對數表說明》。
1617：Briggs 出版常用對數表（底 10）。
1683 前後：Jacob Bernoulli 計算 \(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\) 的極限。
1697：Jacob Bernoulli 完成《猜測的藝術》（1713 年身後出版），收入極限相關討論。
1713：《猜測的藝術》出版，與 1654 年期望值思想同書並列（見《機率統計》1.1 節）。
1748：Euler 在《無限分析引論》中命名 \(e\) 並給出十八位小數。
1748：同一著作確立指數函數與對數函數互為反函數的完整理論。

（本節完）