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2.1 普通年金與遞延年金#

本章導言#

1.2 節建立了年金的三件套公式，但真實契約幾乎不會剛好從「第一年年底」開始。保險給付常在繳費多年後才啟動，學貸有寬限期，退休金要到六十歲才開始領，零息債券則在到期前完全不付息——這些都是遞延年金（deferred annuity）。另一端，某些契約要求期初付款（房租、保費、先付年金），某些則永遠付下去（consols 的永續年金）。本節把年金從「教科書的等距現金流」推廣成可以任意平移、組合與取極限的工具，並引入「以代數符號表達時間結構」的習慣：所有公式都能用算子 \(v^k\) 與 \(a_{\overline{n}|}\) 以一行寫完。

六種年金的統一語言#

設貼現因子 \(v = 1/(1+i)\) ，名目年利率 \(i\) 。以下把常見年金的現值一次列全（時點以「第 \(k\) 期期末」為界）：

類型 款項時點 現值
普通年金 $a_{\overline{n} }$ 第 \(1, \ldots, n\) 期末
先付年金 $\ddot{a}_{\overline{n} }$ 第 \(0, \ldots, n-1\) 期初
遞延 \(k\) 期的普通年金 第 \(k+1, \ldots, k+n\) 期末 $C v^k a_{\overline{n}
遞延 \(k\) 期的先付年金 第 \(k, \ldots, k+n-1\) 期初 $C v^k \ddot{a}_{\overline{n}
永續年金 第 \(1, 2, \ldots\) 期末 \(C/i\)
遞增年金（每期增 \(g\) ） 第 \(1, \ldots, n\) 期末 \(C\dfrac{1 - \left(\frac{1+g}{1+i}\right)^n}{i-g}\)

兩個恆等式值得背起來，因為它們說明「先付只不過是普通年金往前推一格」：

\[ \ddot{a}_{\overline{n}|} = a_{\overline{n}|}(1+i) = 1 + a_{\overline{n-1}|}, \qquad s_{\overline{n}|} = a_{\overline{n}|}(1+i)^n. \]

遞延公式的推導只有一行：第 \(k+1\) 期末的 1 元等於今日的 \(v^{k+1}\) ，整串款項就是普通年金的每一項都多乘一個 \(v^k\) ：

\[ v^{k+1} + v^{k+2} + \cdots + v^{k+n} = v^k \cdot \frac{1-v^n}{i}. \]

永續年金與「1/i 的世界」#

令 \(n \to \infty\) 即得 \(a_{\overline{\infty}|} = 1/i\) （乘每期金額 \(C\) ）。1751 年英國把零散的公債統一成 consols，這種債券只付票息、永不還本，價格理論上就是「票息 ÷ 殖利率」。這個公式的兩種讀法都很有用：

\[ P = \frac{C}{i} \iff i = \frac{C}{P}. \]

前者說「價格是未來無窮票息的現值」，後者說「殖利率就是按今日價格計算的當期收益率」。當市場利率上升， \(1/i\) 下降——永續債券沒有本金可保護，價格波動反而最大，這是 2.3 節存續期間討論的極端案例；而當發行方（政府、保險公司）承諾永續或終身給付卻難以為繼，9.1 節的 Ponzi 型債務結構便會出現。

例題 2.1.1：某壽險保單約定：自第 5 年年底起，連續 10 年每年給付 100,000 元；折現率 5%。(1) 求保單的給付現值；(2) 若改為自第 5 年年初起連付 10 年，現值為多少？(3) 驗證兩者的比值恰為 \(1+i\) 。

解：(1) 款項落在第 5 至第 14 年年底，屬「遞延 4 期的普通年金」：

\[ v^4 = 1.05^{-4} = \frac{1}{1.215506} = 0.822702, \qquad a_{\overline{10}|} = \frac{1 - 1.05^{-10}}{0.05}. \]

由 \(1.05^{10} = 1.628895\) 得 \(1.05^{-10} = 0.613913\) ，故

\[ a_{\overline{10}|} = \frac{0.386087}{0.05} = 7.721735, \qquad \mathrm{PV} = 100{,}000 \times 0.822702 \times 7.721735 = 635{,}270 \text{ 元}. \]

(2) 款項落在第 5 至第 14 年年初，也就是時點 \(t = 4, 5, \ldots, 13\) ，屬「遞延 4 期的先付年金」：

\[ \mathrm{PV} = 100{,}000 \times v^4 \ddot{a}_{\overline{10}|} = 100{,}000 \times 0.822702 \times 8.107822 = 667{,}033 \text{ 元}, \]

其中 \(\ddot{a}_{\overline{10}|} = a_{\overline{10}|} \times 1.05 = 7.721735 \times 1.05 = 8.107822\) 。

(3) 比值： \(667{,}033 / 635{,}270 = 1.0500 = 1+i\) ，完全吻合——因為每筆款項都整整提早了一年。

一個實務提醒：本例只處理「確定的給付」。若給付期間長度取決於受益人是否生存，就必須把每年的給付乘上生存機率再折現，這正是 de Witt 的方法與第 8 章生命表的位置（8.1、8.2 節）。

歷史啟示#

  • 時間可以平移：遞延與先付只是 \(v^k\) 的乘法，這讓複雜契約能在一行內表達——金融數學的「算子化」從這裡開始。
  • 無窮需要約束： \(1/i\) 收斂的前提是 \(i > 0\) ；當利率逼近零（21 世紀初的歐洲與日本），永續債券價格發散，這個純數學條件立刻變成市場問題（第 6 章）。
  • 契約結構決定數學結構：繳費期與給付期錯開，就必須用兩段年金相減或相乘來處理。

前因後果與驅動關係#

什麼問題逼出了這套技術？ 其一是壽險與年金市場的標準化：十七世紀荷蘭與英國政府的終身年金、十九世紀互助會與壽險公司的保單，都需要「保費現值 = 給付現值」的等式，而給付幾乎總是遞延的（退休後才領、身故後才付）。其二是學貸與房貸的寬限期：寬限期內不還本、之後才開始攤還，本質就是遞延年金加普通年金的串接。其三是企業的資本支出與續租決策：設備在第 \(t\) 年才產生效益、租約到期後才調漲租金，淨現值計算必須能隨意平移現金流（《會計的數學》第 4 章折舊數列、第 6 章本量利）。

理論成熟後如何回頭改變實務？ 遞延與永續年金使保費率與退休金提撥率成為可計算的監管項目：保險公司必須證明其負債準備金足以覆蓋保單現值（《會計的數學》第 10 章現代會計的精算負債揭露）。零息債券與分拆債券（stripped bonds）把普通債券拆成一串單筆現金流逐筆定價，正是把「任意現金流 = 年金的線性組合」直接賣給投資人。利率期限結構的觀察（6.1 節）也建立在「不同到期日的貼現因子」之上，而貼現因子的推導起點就是本節的 \(v^k\) 。反面案例同樣深刻：當保險公司用過於樂觀的利率計算永續或終身給付的現值，準備金會被系統性低估——2008 年後多國保險業的困境正是這個算式的現實版（第 9 章）。

練習#

  1. 某獎學金自第 3 年年底起每年發放 50,000 元、共 8 年，折現率 6%。求所需基金規模（先算 \(a_{\overline{8}|}\) 與 \(v^2\) ）。
  2. 房屋租約為「前兩年免租、第三年起每年年初付租金 120,000 元、共 10 年」，折現率 3%。求此租約的總現值。
  3. 某永續債券每年付息 12,000 元，價格 150,000 元。求殖利率；再求若市場要求 7%，價格應為多少、跌幅百分之幾。
  4. 每年年初存款，第 1 年存 10,000 元，此後每年多存 5%，共 30 年，年利率 4%（ \(g = 5\% > i\) 不成立時公式仍有效嗎？請用 \(g = 3\%\) 計算，再討論 \(g = i\) 的極限情形）。
  5. 思考題：某政府發行「十年不付息、第十一年起每年付息直到永遠」的債券。請用本節符號寫出它的價格公式，並說明：當殖利率由 5% 升至 6% 時，它的跌幅會比一張普通十年期債券大還是小？為什麼「免付息期」反而放大了利率風險（連結 2.3 節的直覺）？

名詞速查表#

  • 遞延年金：隔 \(k\) 期才開始的年金，現值為 \(C v^k a_{\overline{n}|}\) 。
  • 先付年金／普通年金：期初收款與期末收款的差別，比值為 \(1+i\) 。
  • 永續年金：無窮期的普通年金，現值 \(C/i\) ，consol 債券的定價式。
  • 遞增年金：每期按 \(g\) 成長的年金， \((1+g)/(1+i)\) 為有效公比。
  • **貼現因子算子 \(v^k\) **：把第 \(k\) 期的金額搬到今日的平移工具。
  • 寬限期：貸款僅付息或免付期間，等價於一段遞延普通年金。
  • consol（永久公債）：只付票息不還本的永續債券，1751 年英國統一整理。

（本節完）