2.2 債券價格與折溢價攤銷#
本章導言#
政府與企業的長期借款一旦被切成「定期付息、到期還本」的標準規格，就產生了現代意義的債券（bond）。義大利城邦在中世紀發行的 prestiti、荷蘭共和國與英國在戰爭期間的公債，都屬於同一類契約；1751 年英國把多種零散公債統一整理為 consols，更把「債券價格」變成每日見報的公共數字。債券的數學只有一句話：價格 = 未來所有現金流的現值之和（1.2 節）。但這句話會產生一個會計與投資人必須共同面對的後果：當市場殖利率與票面利率不同，債券就不再按面額交易，而差額必須在剩餘期間內逐年「攤銷」回面額。本節把定價公式、殖利率（內部報酬率）與折溢價攤銷表串成一套完整的計算，並為 2.3 節的利率敏感度準備好記號。
定價公式與三種身分#
設面額 \(F\) 、票面利率 \(c\) （每年付息 \(m\) 次，每期票息 \(C = Fc/m\) ）、剩餘 \(n\) 期、每期市場殖利率 \(y\) 。則價格：
若 \(y > c\) ，折現因子壓低了票息的價值， \(P < F\) ：折價發行（at a discount）；若 \(y < c\) ， \(P > F\) ：溢價發行（at a premium）；相等則平價。這條規則的直覺是：投資人只在意自己實際賺到的殖利率，票面利率只決定現金流的形狀，殖利率才決定價格。三者關係如下：
| 比較 | 價格 | 別稱 | 會計處理 |
|---|---|---|---|
| \(y = c\) | \(P = F\) | 平價（par） | 無折溢價 |
| \(y > c\) | \(P < F\) | 折價（discount） | 折價逐年攤銷為利息收入 |
| \(y < c\) | \(P > F\) | 溢價（premium） | 溢價逐年攤銷、抵減利息費用 |
殖利率（yield to maturity）在數學上就是使價格等於現金流現值的那個 \(y\) ，等價於把債券視為一系列現金流後求得的內部報酬率（IRR）。一般沒有封閉解，需用試誤或 Newton-Raphson 迭代——這是計算機普及前債券交易員的基本功，也是《會計的數學》第 9 章機率估計中「以模型反推參數」的同型問題。
折溢價攤銷：有效利率法#
會計上要把折價或溢價轉回面額，標準作法是有效利率法（effective interest method）：每期的利息收入（或費用）按「期初帳面價值 × 殖利率」計算，與實際現金收付之差即為該期攤銷額：
折價債券的帳面價值逐期上升、溢價債券逐期下降，最終都回到面額。注意這個方法與直線攤銷的差別：有效利率法使每期的「帳面價值 × 殖利率」恰好等於現金流的現值貢獻，因此在會計上被多數準則要求採用（《會計的數學》第 4 章折舊數列討論的是資產、第 10 章討論現代會計對估計值的揭露）。
例題 2.2.1：面額 100,000 元、票面利率 6%（每半年付息一次）的債券，剩餘期限 5 年，市場殖利率 8%（年名目、每半年複利）。(1) 計算價格並判斷折溢價；(2) 編製前兩期的攤銷表；(3) 驗證期末帳面價值回歸面額。
解：(1) 每期票息 \(C = 100{,}000 \times 0.06/2 = 3{,}000\) 元，每期殖利率 \(y = 0.08/2 = 4\%\) ，共 \(n = 10\) 期。由 \(1.04^{10} = 1.480244\) 得 \(v^{10} = 0.675564\) ，
\(P = 91{,}889 < 100{,}000\) ，故為折價債券（因為 6% < 8%），折價 8,110.89 元。
(2) 攤銷表前兩期（單位：元）：
| 期別 | 期初帳面 | 利息（×4%） | 現金票息 | 攤銷額 | 期末帳面 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 91,889.11 | 3,675.56 | 3,000.00 | 675.56 | 92,564.67 |
| 2 | 92,564.67 | 3,702.59 | 3,000.00 | 702.59 | 93,267.26 |
| 3 | 93,267.26 | 3,730.69 | 3,000.00 | 730.69 | 93,997.95 |
(3) 同理逐期推進，第 10 期期末帳面價值收斂為 100,000 元。驗算：最後一期的利息 =（第 9 期期末帳面）× 4%，攤銷後恰為 100,000。另一個快速驗證是看「未攤銷折價」：起始 8,110.89 元，每期攤銷額恰好是「當期利息 × 6/8」（因為現金票息 = 利息 × 6/8），十期累積必為 8,110.89 元。
殖利率怎麼解出來：試誤與插值#
把例題 2.2.1 反過來看：若不知道殖利率、只知道價格，就必須解 \(P(y) = \sum_t CF_t (1+y)^{-t}\) 使 \(y\) 。這個方程除特殊情形外沒有根式解，標準作法是：
- 先試一個使價格「偏高」的 \(y\) （因價格與殖利率反向）；
- 再試一個使價格「偏低」的 \(y\) ；
- 在兩者之間線性插值。
以例題 2.2.1 的債券為例，假設市場報價為 88,000 元：
| 殖利率（年） | 價格 |
|---|---|
| 8% | 91,889.11 |
| 9% | 88,131.20 |
| 10% | 84,556.64 |
9% 的價格 88,131.20 已略高於 88,000，殖利率必稍高於 9%。線性插值：
價格函數是凸的（凸性，見 2.3 節），所以線性插值通常略微低估殖利率，工程上會再迭代一次。今日的報價系統以 Newton-Raphson 每秒完成上千次此類求解——債券報價的本質是一個反函數問題，這也是 7.1 節由報酬率分位數反推 VaR 的同型思路。
歷史啟示#
- 戰爭決定債券市場：荷蘭、英國、法國與美國的長期公債市場幾乎都由戰爭融資催生，債券的「標準化規格」是財政部為了讓民眾容易理解而發明的產品設計。
- 從面額到價格：只要殖利率脫離票面利率，債券就會離開面額交易，「帳面價值」與「市價」從此必須分開記錄——這是會計與金融分工的起點之一。
- 攤銷是時間的分配問題：折價總額必須分攤到各期，而「怎麼分」（直線、加速、有效利率）會改變各期損益，因此攤銷方法本身成為監管與審計的焦點（《經濟的數學》第 1 章的分攤與邊際概念在此有直接應用）。
前因後果與驅動關係#
什麼問題逼出了這套技術？ 其一是主權債務的重整與比價：十七至十八世紀歐洲各國以不同票息、不同期限借款，投資人需要一個可比的報酬率指標——殖利率應運而生。其二是折溢價的會計處理：當債券不按面額成交，發行公司與投資人的帳上都出現「與面額的差額」，監管要求這筆差額必須有系統地轉入各期損益，否則利潤可被任意操縱——這正是《會計的數學》第 7 章預算差異與第 8 章比率分析所關注的「估計值如何影響報導數字」。其三是保險與退休金資產的評價：這些機構持債至到期，必須定期以市價重估，逼出對利率變動的敏感度分析（2.3 節）。
理論成熟後如何回頭改變實務？ 殖利率曲線成為整個固定收益市場的報價語言：同一債券在不同期限的殖利率連起來就是即期利率曲線，它是 6.1 節即期、遠期與貼現函數的起點，也是 6.2、6.3 節利率模型要再現的對象。折溢價攤銷表被寫進會計軟體與債券持有人的成本基礎（cost basis）計算，稅制也依賴它來認定所得實現時點。而「價格 = 現金流 × 折現」的框架一旦確立，下一步自然是追問「折現率該怎麼決定、它本身如何波動」——這就是 2.3 節的存續期間與第 6 章的整章。信用違約時，同一套折現公式改用更高的風險貼水，遂成為第 7 章信用模型的骨架（7.3 節 Merton 模型直接把債券看成公司資產的選擇權）。
練習#
- 面額 100,000 元、票面 5%、每半年付息、尚有 8 年到期的債券，市場殖利率 4%（年名目）。計算價格並判斷折溢價，說明為什麼債券「貴」而投資人仍會買。
- 面額 10,000 元、票面 8%、年付息一次、3 年到期、折現率 6% 的債券，求價格與第一年的利息與攤銷額（ \(v = 1/1.06\) ）。
- 某債券價格 96,000 元、面額 100,000 元、票面 4%、年付息、2 年到期。求殖利率（提示：以 6% 試算，再用 5% 試算，取兩者之間的插值）。
- 若把例題 2.2.1 的債券改為「到期一次還本付息」的零息債券（面額 100,000、5 年、殖利率 8% 半年複利），價格為多少？與 91,889.11 比較，並說明兩者差額的經濟意義。
- 思考題：一家公司同時有「折價發行的債券」與「溢價發行的債券」在流通，在有效利率法下兩者對利息費用的方向相反。若公司想在某一年「平滑」報導的利息費用，它可以如何操作（例如挑選到期日或提前償還）？這說明為什麼會計準則必須規定攤銷方法（連結《會計的數學》第 7、8 章）。
名詞速查表#
- 債券價格公式： \(P = C\,a_{\overline{n}|} + F v^n\) ，票息年金加本金折現。
- 殖利率（YTM）：使現金流現值等於市價的折現率，等價於債券的 IRR。
- 折價／溢價： \(y > c\) 時 \(P < F\) ； \(y < c\) 時 \(P > F\) 。
- 有效利率法攤銷：利息 = 期初帳面 × 殖利率，差額攤銷，帳面最終回歸面額。
- **票面利率 \(c\) vs 殖利率 \(y\) **：前者決定現金流，後者決定價格。
- 零息債券：不付票息、僅到期還本的債券，價格恆為折價。
- prestiti／consols：義大利城邦長期公債與英國 1751 年整理的永久公債。
（本節完）