2.3 存續期間與利率敏感度#
本章導言#
1970 年代是固定收益市場的分水嶺。1971 年美元停止兌換黃金、1973 與 1979 年兩次石油危機使通膨與利率劇烈波動，此前「利率幾乎不變」的隱含假設崩解，金融機構突然必須回答一個從未被認真問過的問題：利率變動 1%，我的債券、保險負債與退休金組合會損失多少？ 1938 年，紐約聯邦準備銀行的經濟學家 Frederick Macaulay（麥考利） 在研究 1856 年以來美國利率史時，就已提出用加權平均到期時間來衡量債券對利率的「平均久期」，其著作《論美國利率、債券收益率與股價變動的一些理論問題》由 NBER 出版；但這指標在利率平穩的年代並未普及。1970 年代的動盪讓它成為銀行、保險與退休金管理的核心工具，法國銀行等監管機構更直接以它要求資本提存。本節從 Macaulay 存續期間出發，推導修正存續期間與凸性，並用真正的數字展示近似與實值的差距。
從「平均收回時間」到「價格彈性」#
Macaulay 的原始定義是把每一期現金流的現值當作權重，對時間加權平均：
它的直覺是「債券的平均收回時間」。但真正有用的是把它轉成價格對殖利率的彈性。對定價式 \(P(y) = \sum_t CF_t (1+y)^{-t}\) 微分：
於是修正存續期間（modified duration）定義為：
這是全金融最常用的一行式：存續期間就是「殖利率每上升 1%，價格下跌的百分比」。其後的二階項稱為凸性（convexity）：
凸性恆為正，因此「一階近似」總是低估債券漲價、高估跌價——利率波動越大，凸性越有價值。
例題 2.3.1：續用 2.2 節的債券（面額 100,000、票面 6% 半年付息、5 年、殖利率 8% 年名目，價格 91,889.11 元）。(1) 計算 Macaulay 存續期間（年）；(2) 計算修正存續期間，並估計殖利率升至 9% 時的新價格；(3) 以實際重算比較一階近似的誤差，並用凸性修正。
解：(1) 先算各期現金流現值與時間加權（單位：元，期數以半年計）：
| 期 \(t\) | 現金流 | \(v^t\) （4%） | 現值 | \(t \times\) 現值 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3,000 | 0.961538 | 2,884.62 | 2,884.6 |
| 2 | 3,000 | 0.924556 | 2,773.67 | 5,547.3 |
| 3 | 3,000 | 0.888996 | 2,666.99 | 8,001.0 |
| 4 | 3,000 | 0.854804 | 2,564.41 | 10,257.6 |
| 5 | 3,000 | 0.821927 | 2,465.78 | 12,328.9 |
| 6 | 3,000 | 0.790315 | 2,370.94 | 14,225.7 |
| 7 | 3,000 | 0.759918 | 2,279.75 | 15,958.3 |
| 8 | 3,000 | 0.730690 | 2,192.07 | 17,536.6 |
| 9 | 3,000 | 0.702587 | 2,107.76 | 18,969.8 |
| 10 | 103,000 | 0.675564 | 69,583.09 | 695,830.9 |
| 合計 | 91,889.11 | 801,540.7 |
(2) 修正存續期間（半年期單位）：
殖利率由 8% 升至 9%， \(\Delta y = +0.01\) ：
(3) 實際重算：新每期殖利率 4.5%， \(1.045^{10} = 1.552969\) ， \(v^{10} = 0.643934\) ， \(a_{\overline{10}|} = 0.356066/0.045 = 7.91258\) ，
實際跌幅 \(-3{,}757.9\) 元（ \(-4.09\%\) ），一階近似給 \(-3{,}853.6\) 元，高估跌幅約 96 元。代入凸性修正：本債券 \(\mathrm{Conv} \approx 20.9\) （年單位），
與誤差幾乎完全抵銷——一階近似系統性偏保守，凸性把它補回來。
免疫與資負債管理#
由存續期間可得經典的免疫（immunization）條件：只要資產的存續期間等於負債的存續期間，利率小幅變動時兩者價格變動互相抵銷，淨值即受保護。這由英國精算師 Frank Redington 於 1952 年正式提出，是壽險與退休金資負債管理（ALM）的基石。進一步的推論：
- 零息債券的存續期間 = 到期年限（只有單一現金流），因此用零息債券匹配負債是最乾淨的免疫方式；
- 永續債券的存續期間 = \((1+y)/y\) ，5% 殖利率時高達 21 年，利率風險極大（連結 2.1 節的練習 5）；
- 存續期間缺口（asset duration − liability duration）是銀行與保險監管的核心欄位（第 7 章、第 9 章）。
歷史啟示#
- 工具的壽命取決於環境：Macaulay 1938 年就寫出存續期間，卻要等到 1970 年代利率自由化才成為業界標準——理論常在等待一個劇烈的實務問題。
- 近似必須被校準：一階近似在 1% 內尚可，在 200 個基點的跳動中就會失真，凸性的補正在 1987 年與 2008 年的劇烈波動中反覆被驗證（第 9 章）。
- 時間的加權就是風險的加權：以現值為權重的時間平均，是「以經濟重要性而非日曆時間衡量事物」的典型手法（《管理的數學》第 5 章存貨管理、《經濟的數學》第 4 章生產成本中亦有同型概念）。
前因後果與驅動關係#
什麼問題逼出了這套技術？ 其一是1970 年代的利率暴動：持有長天期債券的銀行與保險公司若不知自身暴露程度，就無法在升息環境中生存，存續期間把「我們怕利率」轉成可量化、可比較的單一數字。其二是退休金與保險的資負債匹配：Redington 1952 年的免疫理論要求資產與負債的時間結構一致，這是精算與金融的交會點（第 8 章）。其三是監管需要可比的風險量測：監管機構不能審查每家機構的內部模型，於是把存續期間與類似指標寫進資本規定。
理論成熟後如何回頭改變實務？ 存續期間衍生出存續期間缺口管理、組合免疫與指數化債券投資（用平均存續期間追蹤某段利率曲線），也成為利率交換、期貨等避險工具的換算基礎（避險比率 = 需求存續期間 ÷ 工具存續期間）。當市場發現一階近似不夠，凸性調整與曲率交易成為獨立的獲利策略。更深刻的改變是：一旦「利率風險可以被一個數字概括」成為共識，機構便大膽擴大槓桿——而當利率的變動幅度超出模型假設，風險會在同方向集中釋放，這正是 9.2 節要討論的順反饋問題。往前看，存續期間假設殖利率曲線平行移動，但真實世界是長短端各自變動，因此需要 6.1 節的貼現函數、6.2 節的隨機利率模型與主成分分析型的利率風險因子，第 7 章的 VaR 則把這一切納入統一的分位數框架。
練習#
- 面額 100,000 元、票面 4%（半年付息）、尚有 3 年到期的債券，市場殖利率 5%（年名目）。計算價格、Macaulay 存續期間（年）與修正存續期間（提示： \(v^{6} = 1.025^{-6} = 0.86230\) ）。
- 某退休基金負債的存續期間為 12 年，資產組合的存續期間為 9 年。若利率上升 0.5%，估算淨值變動百分比；應如何調整資產使缺口歸零（考慮可用的 5 年期與 20 年期債券工具）？
- 零息債券的存續期間等於到期年限。請用定義證明（此時只有一個現金流），並說明為何它被稱為「最乾淨的免疫工具」。
- 承例題 2.3.1，若殖利率降至 7%，請用一階近似估計價格，再實際重算，比較誤差方向是否與升息時相反（即凸性對投資人永遠有利）。
- 思考題：一位交易員說「我賣出 5 年期債券、買進 5 年期公司債，兩者存續期間相同，所以我對利率沒有暴露」。這句話忽略了什麼？請從本節的定義出發，指出至少兩個可能的風險來源（提示：利差與流動性、凸性差異），並連結第 7 章的風險量測。
名詞速查表#
- Macaulay 存續期間：以現值為權重的平均收回時間， \(\sum t\cdot \mathrm{PV}(CF_t)/P\) 。
- 修正存續期間： \(D_{\text{Mac}}/(1+y)\) ，即價格對殖利率的一階彈性。
- 凸性：價格曲線的二階曲率，恆為正，補正一階近似的保守偏差。
- PVBP／DV01：殖利率變動 1 基點的價格變動金額，存續期間的金額版。
- 免疫（immunization）：使資產與負債的存續期間相等以抵銷利率風險，Redington 1952。
- 存續期間缺口：資產與負債存續期間之差，銀行與保險監管的核心指標。
- 平行移動假設：存續期間僅在殖利率曲線整條平移時準確，實際市場常違反此假設。
（本節完）