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3.1 Markowitz 均值－變異數（1952）#

本章導言#

「不要把雞蛋放在同一個籃子裡」是每個人都聽過的俗諺，但直到 1952 年，沒有人能把這句話寫成數學。1952 年 3 月，芝加哥大學的博士生 Harry Markowitz（馬可維茲，1927–） 在《金融學期刊》（Journal of Finance）發表〈投資組合選擇〉（Portfolio Selection），提出一個簡單到近乎粗暴的主張：描述一個投資組合，只需要兩個數字——預期報酬（均值）與報酬的不確定性（變異數）；而所有理性的選擇，都可以在這兩個數字的平面上完成。這篇論文把「分散化」從經驗俗諺變成可計算的優化問題，Markowitz 因此與 William Sharpe、Robert Merton 共同獲得 1990 年諾貝爾經濟學獎。本節重建這個概念的來源：它如何從「股價的統計描述」與「投資人的選擇問題」兩條線匯流，以及均值－變異數框架的數學內容。

問題的由來：戰後的機構投資人與一本 1938 年的書#

1950 年代，共同基金、退休金與壽險資金快速成長，機構投資人面對的不再是「買哪一檔股票」，而是「一組股票該各佔多少比例」。分散化已經是業界常識，卻沒有一套語言說明分散化「好在哪裡、好多少」。Markowitz 後來回憶，關鍵啟發之一是 John Burr Williams 1938 年的《投資價值理論》（The Theory of Investment Value）：Williams 主張股票價值等於未來股利的現值，並坦白承認——未來股利是隨機變數，其分布的「分散程度」才是風險。Markowitz 的洞見是把 Williams 留下的尾巴接到另一套工具上：既然要描述一個隨機變數的分布，機率論已經準備好了均值與變異數（《機率統計》第 2 章）。

另一個常被忽略的動機是證券交易所本身的關注：1950 年代紐約證券交易所研究報告試圖解釋為何股票的所有權如此廣泛、為何投資人持有數檔而非單檔——Markowitz 想給出一個理論回答「分散化為何是理性的」，而不只是經驗觀察。

核心定義：均值、共變異數與組合變異數#

設有 \(n\) 種資產，報酬率隨機向量 \(R = (R_1, \ldots, R_n)^\top\) ，期望值向量 \(\mu = \mathbb{E}[R]\) ，變異數－共變異數矩陣 \(\Sigma = \operatorname{Cov}(R)\) （對稱、正定）。投資權重 \(w = (w_1, \ldots, w_n)^\top\) 、 \(\sum w_i = 1\) ，則組合報酬 \(R_p = w^\top R\) ：

\[ \mathbb{E}[R_p] = w^\top \mu, \qquad \sigma_p^2 = \operatorname{Var}(w^\top R) = w^\top \Sigma w. \]

兩資產時可展開成所有人都該背的式子：

\[ \sigma_p^2 = w_1^2\sigma_1^2 + w_2^2\sigma_2^2 + 2w_1 w_2 \rho_{12} \sigma_1 \sigma_2. \]

關鍵就在最後一項的相關係數 \(\rho_{12}\) ：只要 \(\rho_{12} < 1\) ，組合變異數就小於各資產變異數的加權平均，而當 \(w\) 可自由選擇時甚至能遠低於此。這就是「1＋1＜2」的變異數版，也是分散化的全部數學。當 \(n\) 很大且兩兩相關係數相同為 \(\bar{\rho}\) 時，

\[ \sigma_p^2 = \frac{\sigma^2}{n}\,(1-\bar{\rho}) + \bar{\rho}\,\sigma^2 \ \xrightarrow{\ n \to \infty\ }\ \bar{\rho}\,\sigma^2. \]

非系統性風險（可分散部分）以 \(1/n\) 消失，但系統性風險（相關性部分）永不分散——這條分界將在 3.3 節的 CAPM 中被升格為「只有系統性風險值得補償」的定價原理，也是 7.1 節風險值與第 4 章對沖策略共同的出發點。

例題 3.1.1：兩檔股票， \(\mu_1 = 10\%\) 、 \(\sigma_1 = 20\%\) ； \(\mu_2 = 6\%\) 、 \(\sigma_2 = 10\%\) 。取等權重 \(w_1 = w_2 = 0.5\) ，分別在 \(\rho_{12} = 0.3\) 與 \(\rho_{12} = 0\) 的情形計算組合的期望報酬與標準差，並與「直接平均兩檔的標準差」比較。

解：期望報酬與權重、相關性無關：

\[ \mathbb{E}[R_p] = 0.5 \times 10\% + 0.5 \times 6\% = 8\%. \]

\(\rho = 0.3\) 時：

\[ \sigma_p^2 = 0.25(0.04) + 0.25(0.01) + 2(0.5)(0.5)(0.3)(0.2)(0.1) = 0.0100 + 0.0025 + 0.0030 = 0.0155, \]
\[ \sigma_p = \sqrt{0.0155} = 12.45\%. \]

\(\rho = 0\) 時 \(\sigma_p^2 = 0.0125\) ， \(\sigma_p = 11.18\%\) 。作為對照，「直接平均」 \(\sigma\) 得 \((20\%+10\%)/2 = 15\%\) 。可見：即使只是等權且相關性高達 0.3，組合風險仍比平均個股風險低 2.5 個百分點；相關性降到 0 更低了 3.8 個百分點。差額完全來自 \(2w_1w_2\rho\sigma_1\sigma_2\) 這一項的大小。

以矩陣語言重述：可行集合是一個凸集#

組合的全部可能（ \(\mu_p, \sigma_p^2\) ）稱為可行集合。因為 \(\mathbb{E}[R_p]\) 對 \(w\) 是線性的、 \(\sigma_p^2\) 是 \(w\) 的二次型，可行集合具有凸性：任意兩個可行組合的加權混合仍然可行。這個凸性是後續一切結果的幾何基礎——3.2 節的有效前緣是這個凸集的右上邊界，分離定理則說明整片凸集可以被「一條直線代表」。求「給定期望報酬下變異數最小」的權重是一個標準的限制式二次規劃：

\[ \min_w \tfrac{1}{2} w^\top \Sigma w \quad \text{s.t.} \quad w^\top \mu = m,\ \mathbf{1}^\top w = 1, \]

其解為 \(w^* = \Sigma^{-1}(\lambda_1 \mu + \lambda_2 \mathbf{1})\) ， \(\lambda\) 由兩個限制式決定。Markowitz 因此把投資組合問題變成線性代數問題——這正是《會計的數學》第 2 章線性代數與會計所強調的「同一套矩陣工具、不同領域的應用」。

歷史啟示#

  • 俗諺需要被形式化才有力量：「別放在同一個籃子」描述了現象，均值－變異數給出了該怎麼放的最優解。
  • 風險的定義是被選擇的，不是被發現的：Markowitz 決定用變異數代表風險，等於決定「對稱地懲賞好與壞的偏差」；這選擇帶來可解性，也帶來 3.3、4.2、7.1 節的種種修正。
  • 一篇 1952 年的論文開出三條主線：有效前緣（3.2 節）、市場均衡定價（3.3 節）與「以對沖取代選擇」的衍生品定價（第 4 章）。

前因後果與驅動關係#

什麼問題逼出了這套技術？ 其一是機構投資人的組合決策：戰後退休金、壽險與共同基金持有數百檔資產，必須有方法同時描述「預期賺多少」與「可能偏離多少」。其二是證券監管與市場結構研究：紐交所希望解釋廣泛持股與分散化的合理性，需要一套可檢驗的理論語言。其三是報酬資料的統計現實：股價報酬可用均值、變異數、共變異數穩定估計（相較於高階矩），這讓均值－變異數在實務上「算得出來」（《機率統計》第 2、4 章的估計理論）。

理論成熟後如何回頭改變實務？ 最直接的產物是現代組合管理產業：基金經理以「報酬／變異數」報告績效，退休金以組合方式提撥資產，風險預算取代憑感覺的選股。其次，均值－變異數的優化輸出過於依賴輸入參數（ \(\mu\) 的微小誤差會導致權重劇烈翻轉），實務遂發展出收縮估計、平穩化與限制權重等技術，並間接催生指數化投資——既然估計很難打敗市場，不如持有市場（3.3 節、3.2 節分離定理的直接推論）。第三，「變異數作為風險」的假設被一再挑戰：投資人其實在意下尾損失，於是出現半變異數、CVaR 等替代品（7.1、7.2 節）；而當組合中含選擇權時，變異數甚至不能描述其分布形狀（第 4 章）。向前連結，均值－變異數的「二因子描述」在連續時間擴展為隨機過程的漂移與波動（5.2 節），在無套利框架下又會被證明「其實只需要波動度，不需要均值」（5.3 節）——這是本書後半部最重要的轉折。

練習#

  1. 某組合由 A、B 兩檔構成， \(\mu_A = 12\%\) 、 \(\sigma_A = 25\%\) ， \(\mu_B = 5\%\) 、 \(\sigma_B = 10\%\) ， \(\rho = 0.2\) 。求使期望報酬為 9% 的權重，並計算該組合的變異數與標準差。
  2. 設 \(n\) 檔資產的變異數皆為 \(\sigma^2\) 、兩兩相關係數皆為 0.1。請就 \(n = 5, 20, 100\) 計算等權組合的變異數，並與 \(n \to \infty\) 的極限比較，說明「多買幾檔」的邊際效益如何遞減。
  3. 證明：若 \(\rho_{12} = -1\) ，則存在權重使組合變異數為 0，並求出該權重（用兩資產公式配方）。
  4. 已知 \(\Sigma = \begin{pmatrix} 0.04 & 0.006 \\ 0.006 & 0.01 \end{pmatrix}\) ， \(\mu = (10\%, 6\%)^\top\) ， \(\mathbf{1}^\top w = 1\) 。取 \(w = (0.8, 0.2)\) 與 \(w = (0.4, 0.6)\) 分別計算 \((\sigma_p, \mathbb{E}R_p)\) ，並判斷哪一個「每單位風險的超額報酬」較好（設無風險利率 3%）。
  5. 思考題：Markowitz 用變異數衡量風險，等於同時懲罰意外的「暴利」與「慘賠」。請舉一個投資人的實際情境，說明他可能根本不介意暴利，並討論若改用下偏風險（下半變異數），3.1 節的組合公式會變得複雜在哪裡（提示：對稱性被破壞後，哪些項不能再簡化）。

名詞速查表#

  • 均值－變異數框架：用 \(\mathbb{E}[R_p]\) 與 \(\sigma_p^2\) 兩個數字完整描述組合決策的模型。
  • **變異數－共變異數矩陣 \(\Sigma\) **：對稱正定矩陣， \(w^\top \Sigma w\) 即組合變異數。
  • 分散化：利用 \(\rho < 1\) 使組合變異數低於加權平均變異數的效應。
  • 系統性／非系統性風險：前者隨相關性殘留，後者以 \(1/n\) 消失。
  • 限制式二次規劃：給定報酬求最小變異數的優化問題，解為 \(\Sigma^{-1}\) 的線性組合。
  • 可行集合：所有 \((\sigma_p, \mu_p)\) 的可能組成，為凸集。

年表速查#

  • 1938：John Burr Williams《投資價值理論》出版，提出股利現值與風險分布問題。
  • 1952：Markowitz〈投資組合選擇〉發表於 Journal of Finance（3 月號）。
  • 1959：Markowitz《投資組合選擇：投資的有效分散化》出版（Cowles Foundation 專著第 16 號）。
  • 1964：Sharpe 在均值－變異數之上建立 CAPM（3.3 節）。
  • 1970：Fama 提出多因子與有效市場假說，擴展組合選擇的評估框架。
  • 1990：Markowitz 與 Sharpe、Merton 共獲諾貝爾經濟學獎。

（本節完）