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3.3 CAPM 與市場均衡（1964）#

本章導言#

3.2 節的分離定理留下一個懸而未決的問題：如果每個人都應持有同一個切點組合，那麼這個組合是什麼？ 1964 年，史丹佛大學的 William Sharpe（夏普，1934–） 在《金融學期刊》發表〈風險情況下的資產市場均衡〉（Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk），獨立地與 Harvard 的 John Lintner（林特納，1916–1983）（1965）、Berkeley 的 Jan Mossin（莫辛，1936–1987）（1966）先後完成回答：在 Markowitz 組合選擇與無風險借貸的基礎上，加上同質預期、價格接受者等均衡假設，可得資本資產定價模型（Capital Asset Pricing Model, CAPM）。它宣稱：均衡時那唯一的切點組合就是市場組合，而任何資產的預期報酬只由它的 beta（ \(\beta\) ，市場敏感度） 決定。這篇論文把「風險有多大」與「風險值不值得被補償」分開，成為半個世紀以來證券評價、資金成本、基金績效與金融監管共同的座標系。

從組合選擇到市場均衡：多了什麼？#

Markowitz 是個人最適化理論，CAPM 是市場均衡理論，中間補上的推論鏈是：

  1. 由分離定理（3.2 節），每位投資人持有的風險組合都正比於 \(\Sigma^{-1}(\mu - r_f\mathbf{1})\) ；
  2. 若所有人有同樣的 \(\mu, \Sigma, r_f\) （同質預期），這個組合對每個人都是同一個；
  3. 每個人持有的是同一組風險資產的不同比例，加總起來——市場組合 \(M\) 恰是所有風險資產按市值加權的組合；
  4. 於是均衡時人人持有 \(M\) 加上各自的借貸， \(M\) 就是切點組合，其 Sharpe 比率是市場能提供的最大值。

由「 \(M\) 是切點」這個條件反解，可得 Sharpe 比率相等的一階條件：

\[ \frac{\mathbb{E}[R_i] - r_f}{\operatorname{Cov}(R_i, R_M)} = \frac{\mathbb{E}[R_M] - r_f}{\operatorname{Var}(R_M)} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\ \mathbb{E}[R_i] = r_f + \beta_i\big(\mathbb{E}[R_M] - r_f\big)\ } \]
\[ \beta_i = \frac{\operatorname{Cov}(R_i, R_M)}{\sigma_M^2}. \]

這就是證券市場線（security market line, SML）。它包含兩大宣稱：

  • 只有 \(\beta\) 值得被補償：資產的個別波動（殘差風險）可以被分散消除，因此不獲補償（3.1 節的 \(\sigma^2/n\) 論證）；
  • 線性權衡：報酬是 \(\beta\) 的仿射函數，斜率為市場風險溢酬 \(\mathbb{E}[R_M] - r_f\) 。

系統性風險與非系統性風險的分解：任何資產的變異數可寫成

\[ \sigma_i^2 = \beta_i^2\,\sigma_M^2 + \sigma_{\varepsilon_i}^2, \]

前項是被市場解釋的部分（系統性），後項是公司特有部分（非系統性）。CAPM 的核心命題是：市場只為前項付錢。

歷史與實務的檢驗#

CAPM 是最早被大量計量檢驗的資產定價模型。1972 年 Black、Jensen 與 Scholes，以及 1973 年 Fama 與 MacBeth 的截面回歸研究，初期結果大致支持 SML；此後的檢驗陸續發現異常：低 \(\beta\) 股報酬偏高（Banz, 1981）、規模效果與帳面市值比效果（Fama–French, 1993 三因子）、動能效果（Jegadeesh–Titman, 1993），以及 Roll（1977）的尖銳批評：「市場組合」不可觀測，任何檢驗實際上只是對某個代理組合的檢驗，CAPM 在原理上就不可被完全證偽。這些並未取消 CAPM 的地位，而是把它變成了比較基準：經理人的超額報酬以「相對市場組合的 \(\beta\) 調整後」衡量，即 **Jensen 指數 \(\alpha\) **（1968）。

例題 3.3.1：市場無風險利率 4%，市場組合的預期報酬 10%、標準差 16%。某股票與市場的相關係數 0.55、自身標準差 32%。(1) 計算其 \(\beta\) 與 CAPM 預期報酬；(2) 分解其變異數為系統性與非系統性；(3) 若該股票目前報酬率的歷史估計為 12%，其 Jensen \(\alpha\) 為多少？如何解讀？

解：(1)

\[ \beta = \frac{\rho_{iM}\,\sigma_i\,\sigma_M}{\sigma_M^2} = \frac{0.55 \times 0.32 \times 0.16}{0.16^2} = \frac{0.02816}{0.0256} = 1.10, \]
\[ \mathbb{E}[R_i] = 4\% + 1.10 \times (10\% - 4\%) = 4\% + 6.6\% = 10.6\%. \]

(2) 變異數分解：

\[ \underbrace{1.10^2 \times 0.16^2}_{\text{系統性}} = 1.21 \times 0.0256 = 0.030976, \qquad \underbrace{\sigma_i^2 - 0.030976}_{\text{非系統性}} = 0.1024 - 0.030976 = 0.071424. \]

轉成標準差：系統性 \(\sqrt{0.030976} = 17.6\%\) ，非系統性 \(\sqrt{0.071424} = 26.7\%\) 。這檔股票大部分的波動是公司特有的（26.7% > 17.6%），但 CAPM 說這部分不領任何補償——投資人若只買這一檔，承擔了大量不獲報酬的風險；若充分分散，這部分就會消失（3.1 節的 \(1/n\) 論證）。

(3) Jensen \(\alpha = 12\% - 10.6\% = +1.4\%\) 。正的 \(\alpha\) 表示經風險調整後跑贏 SML；但單一期間的 \(\alpha\) 可能只是運氣，實務上需以長樣本與統計檢定確認（《機率統計》第 5 章假設檢定），並確認 \(\beta\) 的估計穩定。

歷史啟示#

  • 均衡思想承襲 1654 年：Pascal–Fermat 的「公平價格＝機率加權」（《機率統計》1.1 節）說的是單一賭局的公平，CAPM 說的是整個市場的公平——兩者都用期望值作為「合理」的錨，相隔三百年。
  • 一個不可觀測的量成了業界語言：市場組合永遠只是近似（Roll 批評），但 \(\beta\) 、SML、指數基準仍支配了實務，顯示有用的近似比無法證偽的精確更長壽。
  • 假設越多，反饋越強：同質預期、單期、無稅、無交易成本一一被放寬，每次放寬都長出新的研究分支（多因子、稅盾、流動性）。

前因後果與驅動關係#

什麼問題逼出了這套技術？ 其一是基金績效評價：1960 年代共同基金快速成長，投資人需要判斷經理人是「選股厲害」還是「只是多承擔市場風險」，SML 與 \(\alpha\) 提供了扣除市場風險後的比較基準。其二是公司資本成本的估算：企業以股票籌資時，投資人要求的報酬率就是 SML 給的數字，它成為投資案淨現值（1.2 節）的折現率來源。其三是監管與退休金規範：受託人的「適當性」判斷需要一個描述系統性風險的標準量測， \(\beta\) 成為法規與契約中的常用語。

理論成熟後如何回頭改變實務？ 首先是被動投資的正當化：若市場組合是最優風險組合，追蹤指數便是理性選擇，1976 年後指數基金大量出現。其次是風險管理的分類學：系統性與非系統性的區分直接進入銀行資本框架與投資組合風險報告（7.1 節的市場風險與特定風險、7.3 節 Merton 模型把公司價值視為市場暴露的延伸）。第三， \(\beta\) 與 \(\alpha\) 被寫進績效費用、投信廣告與學術評審，也衍生出對「 \(\beta\) 不穩定、 \(\alpha\) 難持續」的持續反省。向前銜接：CAPM 的單期、靜態世界無法處理利率與波動度的變動，於是 4.2 節改用無套利與動態對沖定價、6 章引入隨機利率、7 章用分位數取代方差來概括風險；向旁邊連結， \(\beta\) 的估計本身就是共變異數的估計問題（《機率統計》第 4 章），而 SML 的「均衡價格會讓超額報酬為零」與《經濟的數學》第 3 章供給需求均衡、第 5 章一般均衡與福利屬同一思想傳統。

練習#

  1. 已知 \(r_f = 3\%\) 、 \(\mathbb{E}[R_M] = 9\%\) 、某股票 \(\beta = 0.7\) 。求其 CAPM 預期報酬；若其價格已使預期報酬為 8%，它相對 SML 是高估還是低估？請用 \(\alpha\) 說明並指出調整方向。
  2. 某資產 \(\beta = 1.5\) 、 \(\sigma_i = 40\%\) 、 \(\sigma_M = 20\%\) 。求它與市場的相關係數，並算出非系統性標準差。
  3. 三檔資產的 \(\beta\) 分別為 0.4、1.0、1.8，市場風險溢酬 6%、無風險利率 2%。畫出（或列出）SML 並計算三者預期報酬；再問： \(\beta = 0\) 的資產報酬應為多少？
  4. 若市場組合的預期報酬 11%、標準差 18%，某基金的報酬 13%、與市場相關係數 0.6、自身標準差 25%，請計算其 Sharpe 比率並與市場組合比較，討論「超越市場」與「超越 SML」是否等價。
  5. 思考題：Roll（1977）指出市場組合不可觀測，因此 CAPM 無法被真正檢驗。請以一場法庭辯論的形式，各用兩句話替「控方」（CAPM 可用代理指數檢驗、結果大致支持）與「辯方」（代理不等於市場、結論不成立）辯護，並寫出你認為實務界為何仍選擇使用它。

名詞速查表#

  • CAPM： \(\mathbb{E}[R_i] = r_f + \beta_i(\mathbb{E}[R_M]-r_f)\) ，Sharpe 1964、Lintner 1965、Mossin 1966。
  • beta（ \(\beta\) ）： \(\operatorname{Cov}(R_i,R_M)/\sigma_M^2\) ，資產對市場變動的敏感度。
  • 證券市場線（SML）：CAPM 的圖形，橫軸為 \(\beta\) 的直線。
  • **市場組合 \(M\) **：按市值加權的全體風險資產組合，分離定理下的切點組合。
  • 系統性／非系統性風險：前者獲補償，後者可分散且不獲補償。
  • **Jensen \(\alpha\) **：實際報酬減去 CAPM 預期報酬，風險調整後的超額表現。
  • 同質預期：所有投資人對 \(\mu, \Sigma, r_f\) 有相同看法的均衡假設。

年表速查#

  • 1952：Markowitz 建立均值－變異數框架（3.1 節）。
  • 1958：Tobin 分離定理，為 CAPM 鋪路（3.2 節）。
  • 1964：Sharpe 發表 CAPM。
  • 1965：Lintner 獨立完成資產定價的均衡推導。
  • 1966：Mossin 以更簡潔的方式重述均衡條件。
  • 1968：Jensen 提出以 \(\alpha\) 評價基金績效。
  • 1972：Black、Jensen、Scholes 進行大規模截面檢驗。
  • 1973：Fama–MacBeth 兩階段回歸檢驗。
  • 1976：Roll 提出市場組合不可觀測的批評。
  • 1976：第一檔大規模指數基金成立，分離定理的實務化。
  • 1981／1993：Banz 規模效果、Fama–French 三因子，CAPM 進入多因子時代。

（本節完）