4.1 選擇權的起源與 Put–Call 平價#
本章導言#
選擇權（option）的邏輯比股票古老。相傳公元前六世紀，米利都的 Thales（泰利斯） 預測橄欖會豐收，於是用少量訂金包下當地所有的榨油機，豐收時再轉租給農夫賺取暴利——亞里斯多德在《政治學》中記載此事，並把它視為「有知識的人即使無資本也能獲利」的範例。用今天的語言，Thales 買的是看漲選擇權（call）：支付有限的權利金，換取以約定價格使用資產的權利而非義務。到了十七世紀的阿姆斯特丹，選擇權成為公開交易的商品：荷蘭商人 Joseph de la Vega（德拉維加） 在 1688 年的《困惑之困惑》（Confusion de Confusiones）中描述了荷蘭東印度公司（VOC）股票的 puts、calls 與跨式（straddle） 交易，並感嘆投機者的暴富與破產同樣驚人。本節的目的有二：為選擇權建立報酬圖與術語，然後證明整個選擇權世界的第一條恆等式——Put–Call 平價，它說看漲、看跌、股票與現金四者之間存在嚴格的代數約束，任何偏離都是可被鎖定的套利。
術語：到期報酬與兩種行使方式#
最單純的歐式選擇權只能在到期日 \(T\) 行使，標的資產價格 \(S_T\) ，履約價 \(K\) ：
美式選擇權可在到期前任一時刻行使（美國場內選擇權多為美式）。買方支付權利金（premium）取得權利，賣方收權利金、承擔義務——因此選擇權是非對稱契約：收益與損失的形狀天生不對稱，這正是它比股票困難的地方。關鍵直覺：看漲是「賭上漲、下行有限」，看跌是「賭下跌、上行有限」，兩者加上股票與現金，可以互相合成。
Put–Call 平價：把兩條路走到底#
考慮兩個到期組合（ \(T\) 時刻、歐式、無股利股票）：
- 組合 A：一份看漲選擇權 \(c\) ＋ 一筆到期值 \(K\) 的零息債券（今日成本 \(Ke^{-rT}\) ，用 1.3 節的連續貼現）；
- 組合 B：一份看跌選擇權 \(p\) ＋ 一股股票 \(S\) 。
兩者在到期日的報酬逐情況核對：
| 到期股價 | 組合 A： \(\max(S_T-K,0) + K\) | 組合 B： \(\max(K-S_T,0) + S_T\) |
|---|---|---|
| \(S_T \ge K\) | \((S_T - K) + K = S_T\) | \(0 + S_T = S_T\) |
| \(S_T < K\) | \(0 + K = K\) | \((K - S_T) + S_T = K\) |
兩行完全相同，故由無套利原理（5.3 節將嚴格化），今日價值必須相等：
這個式子就是 Put–Call 平價（put–call parity）。它的意義極大：四個工具中只要知道三個，第四個就被完全決定；「合成看漲」＝「看跌 ＋ 股票 － 債券」等種種變形，讓任何一種選擇權都能被複製——這是 4.2 節 Black–Scholes 定價與 5.3 節馬丁格爾測度的共同起點。若平價被違反，套利者會立刻把偏離吃平。
例題 4.1.1：某股票 \(S = 100\) 元，履約價 \(K = 100\) 元、一年期歐式選擇權，市場報價看漲 \(c = 8\) 元、看跌 \(p = 1\) 元，無風險利率 \(r = 4\%\) （連續複利）。(1) 計算平價關係兩邊，判斷是否平衡；(2) 若真的失衡，寫出完整的套利組合與利潤；(3) 說明套利會如何把價格拉回平價。
解：(1) 左邊： \(c + Ke^{-rT} = 8 + 100 \times e^{-0.04} = 8 + 100 \times 0.960789 = 104.0789\) ；右邊： \(p + S = 1 + 100 = 101\) 。左邊比右邊高 3.0789 元，平價不成立。
(2) 套利：賣出偏貴的一邊、買入便宜的一邊——
- 賣出看漲（收 8 元）、借入 \(Ke^{-rT} = 96.0789\) 元（一年後還 100 元），合計流入 \(104.0789\) 元；
- 買進看跌（付 1 元）與股票（付 100 元），合計流出 \(101\) 元；
- 今日淨得 \(104.0789 - 101 = 3.0789\) 元。
到期日驗算：無論股價如何，持有的「股票 ＋ 看跌」保障淨值恰為 100 元，正好償還借款；而賣出的看漲若被履約，交割股票所需的部位已包含在上述保障之中。逐情況核對：
| \(S_T\) | 賣出看漲 | 借款 | 買進看跌＋股票 | 淨額 |
|---|---|---|---|---|
| \(\ge 100\) | \(-(S_T-100)\) | \(-100\) | \(+S_T\) | 0 |
| \(< 100\) | \(0\) | \(-100\) | \(100\) | 0 |
今日淨賺 3.0789 元、到期零風險，這是無風險套利。
(3) 套利者的賣壓會壓低 \(c\) 或抬高 \(p\) （或同時），直到 \(c + Ke^{-rT} = p + S\) 為止；在高度競爭的市場中，平價的偏離通常在秒級內被消除，剩餘的小偏離往往反映交易成本、借貸利率差與現金股利等因素。
歷史啟示#
- 權利與義務的分離是古代就懂的商業技術：Thales 的訂金、十七世紀的股權與今日的場內選擇權，本質都是「付小錢買保險式選擇權」。
- 從場外到標準化：de la Vega 描述的選擇權是議定契約，1848 年芝加哥商品交易所（CBOT）成立後逐步標準化，1973 年芝加哥選擇權交易所（CBOE）開業，才讓「同一個選擇權有很多報價」成為可能（4.2 節）。
- 平價先於定價公式：Put–Call 平價不需要知道股價的機率分布就能成立，這告訴我們：有些金融恆等式只靠無套利就足夠，這正是第 5 章馬丁格爾方法的精神（其思想源頭可回溯到 1654 年的「公平價格＝期望值」，見《機率統計》1.1 節）。
前因後果與驅動關係#
什麼問題逼出了這套技術？ 其一是農業與貿易的價格風險：農夫與商人需要「保證最低賣價」或「保證最高買價」，選擇權是天然的保險（8.3 節討論保險與再保險時會看到同一結構）。其二是股票投機與避險的實務：VOC 股價劇烈波動，puts 與 calls 讓不持有股票的人也能建立方向性部位，也讓持有者不必賣股即可避險。其三是定價的迫切需求：1960–70 年代場外選擇權市場擴大，買賣雙方各自亂喊價，市場需要一個公認公式——這直接催生 4.2 節。
理論成熟後如何回頭改變實務？ Put–Call 平價使合成部位成為標準操作：基金用「股票＋看跌」複製保本產品（portfolio insurance，其動態版本將在 9.2 節造成 1987 年的風暴），企業用「賣出看漲」替代現金增資的替代方案，銀行用平價檢查報價是否自相矛盾。平價也把股利、借貸利率、提前行使等現實因素逐一逼出來討論：存在股利時平價需扣除股利現值，美式選擇權則出現提前行使的判斷問題——這些正是 4.2 節模型必須處理的偏離。而在會計與法規上，「選擇權是資產還是負債」「何時認列損益」的爭論，也連到《會計的數學》第 10 章現代會計對衍生性商品的揭露規範。
練習#
- 某股票 \(S = 50\) 元，履約價 \(K = 52\) 元、一年期選擇權， \(r = 5\%\) （連續複利），市場看跌 \(p = 3.5\) 元。利用平價求看漲的無套利價格 \(c\) 。
- 繼上題，若看漲實際報價 5.5 元，請寫出套利組合（買誰、賣誰、借貸多少）並計算今日利潤。
- 請畫出（或用表列出）「買進看跌 ＋ 買進股票」的到期淨報酬，並說明它在形狀上等同於哪一個組合（提示：與買進看漲加現金比較）。
- 若某公司打算發行「上限債券」（capped bond，利率有上限），管理當局本質上是在賣出一種選擇權。請用 put–call 的語言說明投資人與發行人的角色各是買方還是賣方，並指出哪一方收益有限。
- 思考題：Thales 的榨油機可以重複使用、選擇權卻是一次性的契約。若同一批榨油機的「使用權選擇權」可以在市場上自由轉手，請說明這會如何改變它的價格與今天的選擇權交易所要解決的問題（流動性、標準化、結算），並連結 4.2 節的模型為何需要「可交易、可連續調整」的假設。
名詞速查表#
- 看漲選擇權（call）：以履約價買進標的的權利，到期報酬 \(\max(S_T-K,0)\) 。
- 看跌選擇權（put）：以履約價賣出標的的權利，到期報酬 \(\max(K-S_T,0)\) 。
- 權利金：買方支付、賣方收取的價格，是選擇權的「市價」。
- Put–Call 平價： \(c + Ke^{-rT} = p + S\) ，無套利下的恆等式。
- 合成部位：以股票、現金與選擇權互相複製的組合，平價的直接推論。
- 美式／歐式：到期前任一時刻行使與僅到期日行使的差別。
- 跨式（straddle）：同時買進同履約價的看漲與看跌，賭波動而非方向。
（本節完）