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5.1 Bachelier 與布朗運動（1900）#

本章導言#

1900 年 3 月 29 日，Louis Bachelier（巴舍利耶，1870–1946） 在巴黎索邦大學答辩他的博士論文《投機理論》（Théorie de la spéculation）。指導教授是大數學家 Henri Poincaré（龐加萊）。這篇論文比愛因斯坦 1905 年對布朗運動的物理研究早了五年，比 Wiener 給布朗運動嚴格數學基礎（1923）早了二十三年，比 Markowitz（1952，3.1 節）早了半世紀。論文中誕生的隨機過程，後來被稱為布朗運動（Brownian motion）或維納過程（Wiener process），是今日整個金融數學的原子。然而 Bachelier 生前寂寂無名，死後數年才被經濟學界「重新發現」。本節追溯這段歷史，並建立布朗運動的數學定義與基本性質。

問題的由來：巴黎交易所的債券投機#

Bachelier 不是學院派。他父母早亡，曾在巴黎證券交易所（Bourse）做過職員，親眼看到黃金現貨與國庫券的投機交易。當時的實務難題是：法國國庫券（rentes）的報價隨時波動，依選擇權的行情如何說理？ 交易所每天都有人買賣「定價選擇權」（/options à prime/），但沒有理論能回答「這個溢價公不公平」。Bachelier 的動機正是 4.1 節的同一個問題，但他選擇了一條全新的路：直接為「價格的隨機演化」建立數學模型。

他的出發點是一條樸素的假設：

「在任一時刻，市場無法分辨價格上漲與下跌哪個更可能。」

這就是效率市場假說與隨機漫步的最早表述。由此他推論：價格增量 \(S_{t+\Delta} - S_t\) 的期望值為零（不計漂移），且其分布隨時間區間越長越「寬」——寬的法則就是後來的常態方差律 \(\operatorname{Var} \propto \Delta t\) 。

布朗運動的定義#

現代定義（由 Wiener 1923 年嚴格化）：標準布朗運動 \(\{W_t\}_{t \geq 0}\) 滿足

  1. \(W_0 = 0\) ；
  2. 獨立增量：對不重疊的時間區間，增量互相獨立；
  3. 平穩常態增量： \(W_t - W_s \sim N(0,\, t-s)\) 對所有 \(0 \le s < t\) ；
  4. 連續樣本路徑： \(t \mapsto W_t\) 的軌跡連續（但處處不可微）。

性質 3 蘊含期望值與變異數的線性律：

\[ \mathbb{E}[W_t] = 0, \qquad \operatorname{Var}(W_t) = t, \qquad \operatorname{Cov}(W_s, W_t) = \min(s, t). \]

Bachelier 得到的價格模型（今稱算術布朗運動）是

\[ S_t = S_0 + \mu t + \sigma W_t, \]

即價格增量服從常態： \(S_T - S_0 \sim N(\mu T,\; \sigma^2 T)\) 。他據此推出選擇權溢價公式——形式上已與七十多年後 Black–Scholes 公式的骨架幾乎相同，只差「常態」應換成「對數常態」（5.2 節）這一步。

Bachelier 的選擇權公式與「期望值 \(\to\) 機率」的思想#

Bachelier 計算到期買權的期望內含價值：

\[ \mathbb{E}[(S_T - K)^+] = \sigma\sqrt{T}\; \varphi(d) + (S_0 + \mu T - K)\, N(d), \qquad d = \frac{S_0 + \mu T - K}{\sigma\sqrt{T}}, \]

其中 \(\varphi\) 、 \(N\) 是標準常態的密度與分布函數。取 \(\mu = 0\) 、貼現不計時，這已是 Black–Scholes 公式在算術模型下的版本。更深刻的是，他自覺地使用了無套利的論證：公平的溢價應使買賣雙方都沒有確定的獲利機會——這個思想後來在 5.3 節以「馬丁格爾測度」的形式成為全部衍生品定價的公理，其最早的精神源頭可上溯至 1654 年 Pascal–Fermat 的「公平價格」（《機率統計》第 1 章）。

布朗運動的驚人性質#

布朗運動雖然軌跡連續，卻處處不可微，且在任意區間上的總變差為無窮大。這不是病態，而是金融現實的忠實寫照：價格在任何小區間內都有無數次來回，不允許「放大鏡下變平滑」。由此可推出定量的二次變差：

\[ \sum_i (W_{t_{i+1}} - W_{t_i})^2 \;\xrightarrow{\ \text{分割加細}\ }\; t, \]

即布朗運動在 \([0,t]\) 上的二次變差恆等於 \(t\) 。這個常數正是 5.2 節 Itô 微積分中 \(\mathrm{d}W_t\,\mathrm{d}W_t = \mathrm{d}t\) 這條「奇怪乘法規則」的來源，也是 Black–Scholes 偏微分方程與普通微積分分道揚鑣之處。

例題 5.1.1#

例題 5.1.1：某債券價格以算術布朗運動演化： \(S_0 = 100\) 、漂移 \(\mu = 0\) 、 \(\sigma = 2\) （元／√年）。求一個月（ \(T = 1/12\) 年）後價格落於 94 至 106 元之間的機率，以及此期間價格變動的 95% 信賴區間。

解： \(S_T - 100 \sim N(0,\; \sigma^2 T) = N(0,\; 4/12) = N(0,\, 1/3)\) ，標準差為 \(\sigma\sqrt{T} = 2\sqrt{1/12} \approx 0.5774\) 元。

\[ P(94 \le S_T \le 106) = P\!\left(-6 \le S_T - 100 \le 6\right) = N\!\left(\frac{6}{0.5774}\right) - N\!\left(-\frac{6}{0.5774}\right) = N(10.39) - N(-10.39) \approx 1. \]

一個月的波動只有 0.58 元，六元的區間幾乎必然涵蓋價格。若改問一年後（ \(T=1\) ，標準差 2 元）：

\[ P(|S_1 - 100| \le 3.92) = N(1.96) - N(-1.96) \approx 0.95. \]

95% 信賴區間為 \(100 \pm 1.96 \times 2 = [96.08,\; 103.92]\) 。注意變異數與時間成正比、標準差只與 \(\sqrt{T}\) 成正比——「時間加倍，風險只增 \(\sqrt{2}\) 倍」，這條平方根律是所有隨機漫步型風險度量的基礎，7.1 節風險值的時間縮放即直接引用它。

Bachelier 的身世與身後#

Bachelier 一生坎坷：父母早亡、中斷學業服役、以旁聽與教職維生，博士論文僅得「 honorable」評語，終身未獲巴黎學界正職，1946 年在法國西部小鎮去世。重新發現他的是兩條線：1950 年代 L. J. Savage 在圖書館偶然翻到《投機理論》，撰文呼籲經濟學界重視；Paul Samuelson 讀後驚為天人，把隨機漫步思想帶入 1960 年代的效率市場研究（3.3 節的背景）。Samuelson 曾說：Bachelier 的論文是「金融數學的創世紀」。如果 Bachelier 在 1900 年就被聽見，金融數學的歷史可能提前六十年。

前因後果與驅動關係#

驅動：巴黎交易所的選擇權交易需要一個「公平溢價」的計算方法；Bachelier 以物理學的擴散模型（隨後 1905 年愛因斯坦用同一套數學描述花粉的布朗運動）回答了它。這是「實務問題 \(\to\) 新數學」的典範：賭桌催生機率（1654），交易所催生隨機過程（1900）。

回饋：布朗運動成熟後，(1) 物理學得到愛因斯坦的擴散理論與 Perrin 的分子實證；(2) 數學得到 Wiener 測度與後來的 Itô 隨機微積分（5.2 節）；(3) 金融得到效率市場假說（3.3 節）、Black–Scholes（4.2 節）與現代風險管理（第 7 章）。1923 年 Wiener 的構造性證明使「無窮維空間上的機率測度」成為可操作的數學物件，直接孕育了 5.3 節的馬丁格爾測度與第 6 章的隨機利率模型。今日高頻交易的價格過程建模、做市商的庫存風險模型，本質上仍是 Bachelier 框架的精細化。

跨書連結：布朗運動是《機率統計》常態分布、獨立增量與中央極限定理的動態化身——大量微小隨機衝擊疊加，短期增量趨於常態，正是 CLT 的敘事版；其擴散方程與《經濟的數學》第 9 章不確定性下的決策共用「狀態隨時間隨機演化」的世界觀；兄弟書《機率統計》第 1 章的期望值思想是 Bachelier 無套利論證的哲學先聲。

練習#

  1. 設 \(W_t\) 為標準布朗運動，證明 \(\operatorname{Cov}(W_s, W_t) = \min(s,t)\) 。（提示：寫 \(W_t = W_s + (W_t - W_s)\) ，利用獨立增量。）
  2. 承例題 5.1.1，若 \(\sigma = 4\) 而其他不變，求一年後價格低於 96 元的機率。
  3. 用平方根律估算：若日波動率（以標準差計）為 1.5 元，則一年（250 個交易日）的價格標準差約為多少元？這與「日標準差 × 250」的錯誤算法差多少？
  4. 證明算術布朗運動 \(S_t = S_0 + \mu t + \sigma W_t\) 之下，價格可能變成負值，並以此說明為何債券價格建模勉強可行、而股價建模必須改用幾何布朗運動（5.2 節）。
  5. 思考題：Bachelier 假設「市場無法分辨漲跌」，但長期股價有正的期望報酬。這兩者矛盾嗎？試從「漂移項 \(\mu\) 與風險溢酬」的角度，討論隨機漫步與效率市場的關係。

年表速查（本節涉及的關鍵年份）#

  • 1827：Robert Brown 觀察懸浮花粉的無規運動。
  • 1900：Bachelier 博士論文《投機理論》，金融隨機過程誕生。
  • 1905：Einstein 以擴散理論解釋布朗運動（獨立於 Bachelier）。
  • 1923：Wiener 給布朗運動嚴格的測度論構造。
  • 1942–1951：Itô 隨機微積分建立（5.2 節）。
  • 1956：Savage 重新發現 Bachelier；Samuelson 隨後引入經濟學。
  • 1965：Samuelson〈合理投機價格的證明〉提出幾何布朗運動模型。
  • 1973：Black–Scholes–Merton 定價理論，布朗運動成為業界標準語言。

名詞速查表（本節出現的核心術語）#

  • 布朗運動／維納過程：獨立、平穩常態增量、連續路徑的隨機過程。
  • 算術布朗運動： \(S_t = S_0 + \mu t + \sigma W_t\) ，增量常態、價格可為負。
  • 平方根律：標準差與 \(\sqrt{T}\) 成正比、變異數與 \(T\) 成正比。
  • 二次變差：布朗運動在 \([0,t]\) 上的二階路徑變量，恆等於 \(t\) 。
  • 隨機漫步假說：價格增量不可預測，是效率市場的隨機表述。
  • 處處不可微：布朗軌跡連續但任何點上都沒有切線。

（本節完）