5.3 馬丁格爾測度與無套利定價#

本章導言#

Black–Scholes–Merton（1973，4.2 節）以偏微分方程定價，但證明依賴「連續對沖」這個理想化假設。1979 年，Harrison 與 Kreps 發表〈鞅與套利的多期證券市場〉，1981 年 Harrison 與 Pliska 續之，把定價的根基換成一個更普遍、也更抽象的原則：市場無套利，當且僅當存在某種等價的機率測度，使（貼現後的）資產價格過程是馬丁格爾（martingale）。在這個「風險中性測度」之下，任何衍生品的公平價格就是其支付函數的期望貼現值——不必解偏微分方程、不必真的對沖，只要換一副「機率的眼鏡」。本節從最簡單的一期二項市場出發，重建這條現代金融數學的第一原理，並回頭看它與 1654 年公平價格思想的血緣。

名詞先行：什麼是馬丁格爾#

隨機過程 \(\{M_t\}\) 稱為（相對於資訊流 \(\mathcal{F}_t\) 的）馬丁格爾，若對所有 \(s \le t\) ：

\[ \mathbb{E}[M_t \mid \mathcal{F}_s] = M_s. \]

直覺：以今天全部已知資訊為條件，未來的期望值就是今天的值——「明天的最佳預測是今天的值」，賭徒期望財富在公平賭局中不增不減。這個詞來自十九世紀法國的賭博策略「馬丁格爾」（輸後加倍下注），該策略在公平賭局中期望不變、卻有破產風險——正是期望不變性（馬丁格爾性質）與路徑風險的對比。馬丁格爾的理論地位在《機率統計》第 6 章有專節展開；本節聚焦它的金融用法。

例題 5.3.1：一期二項市場的完全解#

例題 5.3.1：現值 \(S_0 = 100\) 元的股票，一年後只可能漲到 \(S^u = 120\) 或跌到 \(S^d = 80\) 。無風險利率 \(r = 5\%\) （一年複利）。求履約價 \(K = 100\) 的一年期歐式買權的無套利價格。

解：

第一步：排除真實機率。 設真實上漲機率為 \(p\) （不論是多少），買權支付的期望貼現值為 \(\frac{1}{1.05}[p \cdot 20 + (1-p) \cdot 0]\) ，隨 \(p\) 變動——但套利定價不容許「價格依賴個人口味」，必須找出與 \(p\) 無關的答案。

第二步：構造風險中性機率。 要求「股票的期望報酬等於無風險利率」：

\[ q \cdot 120 + (1-q)\cdot 80 = 105 \;\Longrightarrow\; 40q = 25 \;\Longrightarrow\; q = 0.625. \]

第三步：等價馬丁格爾定價。 買權支付為 \(\max(S_1 - 100, 0)\) ，即上漲時 20 元、下跌時 0 元，故

\[ C_0 = \frac{1}{1.05}\left( 0.625 \times 20 + 0.375 \times 0 \right) = \frac{12.5}{1.05} \approx 11.90 \text{ 元}. \]

第四步：以複製檢驗。 買 \(\Delta\) 股、借入 \(B\) 元複製支付： \(120\Delta - 1.05B = 20\) 、 \(80\Delta - 1.05B = 0\) ，解得 \(\Delta = 0.5\) 、 \(B = 40/1.05 \approx 38.10\) ，成本 \(100 \times 0.5 - 38.10 = 11.90\) 元。與第三步完全一致。

三個要點：(1) 答案與真實機率 \(p\) 無關——風險態度被「換測度」吸收了；(2) \(q = 0.625\) 落在 \((0,1)\) 之間當且僅當 \(80 < 105 < 120\) ，即 \(d < 1+r < u\) ——這正是「無套利」的代數條件；(3) 定價與複製是一體兩面：能定價是因為能複製（市場完全性）。

無套利與等價馬丁格爾測度：第一基本定理#

把例題一般化。設市場有 \(n\) 種資產、狀態空間 \(\Omega\) ，記貼現價格 \(\tilde{S}_t = S_t / (1+r)^t\) 。資產定價第一基本定理（Harrison–Kreps–Pliska）：

\[ \text{市場無套利} \;\Longleftrightarrow\; \text{存在與真實測度等價的機率測度 } \mathbb{Q}, \text{ 使所有 } \tilde{S}_t \text{ 為 } \mathbb{Q}\text{-馬丁格爾}. \]

「等價」指 \(\mathbb{Q}\) 與真實測度 \(\mathbb{P}\) 對「哪些狀態可能發生」看法一致（零機率集合相同），只是給這些狀態不同的權重。在 \(\mathbb{Q}\) 下，投資人彷彿都是風險中性的（所有資產期望報酬皆為 \(r\) ），故 \(\mathbb{Q}\) 稱風險中性測度；但這只是計量技巧——投資人實際上依然厭惡風險，風險溢酬被藏進了 \(\mathbb{Q}\) 與 \(\mathbb{P}\) 的權重差異裡。第二基本定理補充：若市場完全，則 \(\mathbb{Q}\) 唯一，所有衍生品都有唯一無套利價格。

對連續時間 GBM（5.2 節），換測度由 Girsanov 定理執行：效果恰好是把漂移從 \(\mu\) 換成 \(r\) ，波動率 \(\sigma\) 不變——這就是 4.2 節 Black–Scholes 公式

\[ C_0 = S_0 N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2) \]

中「 \(S_0 N(d_1)\) 是 \(S_T\) 在 \(\mathbb{Q}\) 下的期望貼現、 \(K e^{-rT} N(d_2)\) 是支付門檻的期望貼現」的深層意義：公式本來就是一個期望值的兩個部分。

馬丁格爾定價與 Merton 複製：兩條路的匯合#

1973 年的 PDE 路線與 1979 年的馬丁格爾路線結論相同，但分工不同：

比較項	PDE／複製路線（Merton）	馬丁格爾／期望路線（Harrison–Kreps）
核心操作	動態對沖消隨機項	換測度後直接取期望
所需假設	連續交易、可對沖	無套利（更弱、更一般）
計算工具	偏微分方程	條件期望與貼現
適用範圍	有封閉解的少數模型	高維、路徑相依、跳躍模型
現代角色	理論直覺與對沖實務	蒙地卡羅定價的理論根據

實務的分水嶺在此：凡是「支付只看到期價格」的商品，馬丁格爾定價＋蒙地卡羅模擬即可計算；凡是「需中途行使或對沖」的條款（美式選擇權），則需回到二項樹或最小平方蒙地卡羅。5.2 節的二項樹在此扮演雙重角色：它既是 GBM 的離散近似，又是馬丁格爾定價最透明的展示場。

無套利的思想源頭：從 1654 年到 1979 年#

「公平價格＝未來支付的機率加權」可以一路追溯到 Pascal 與 Fermat 1654 年的賭金分配問題（《機率統計》第 1 章）：公平份額按未來獲勝機率加權，與過去無關。Bachelier（1900，5.1 節）把這個思想第一次用在證券上；Cowles 與 1930–40 年代的計量經濟學家發展出「隨機漫步」的實證傳統；Harrison–Kreps–Pliska 則把「公平」嚴格化為「無套利＋等價測度」。三百二十五年的線索：賭桌上的公平 \(\to\) 交易所的無套利 \(\to\) 抽象測度論上的馬丁格爾。

前因後果與驅動關係#

驅動：1970 年代末衍生品市場爆炸式成長（CBOE 1973 年開幕、利率與外匯選擇權隨之上市），實務遇到的商品日益複雜：路徑相依、多標的、美式條款——PDE 路線逐一失效。理論需要一個不依賴特定模型的定價原則，Harrison–Kreps–Pliska 的無套利框架正是回答。

回饋：馬丁格爾定價成熟後，(1) 定價與風控分家：定價在 \(\mathbb{Q}\) 下做期望，風險管理回到 \(\mathbb{P}\) 下做分布（7.1 節風險值必須用真實測度）——「兩個測度」成為現代金融從業者的基本素養；(2) 蒙地卡羅定價成為行業標準工具，其合法性完全建立在「價格＝ \(\mathbb{Q}\) 下的期望貼現」上；(3) 第 6 章的利率期限結構模型（6.2、6.3 節）與第 10 章的模型，全部以「校準到市場價格的 \(\mathbb{Q}\) 動態」為組織原則；(4) 監管上，無套利檢驗成為交易所審核新契約、稽核異常報價的理論工具。它也埋下危機的伏筆：2008 年次貸定價中 CDO 各層券的相關性參數被當成「風險中性」參數誤用，正是混淆兩個測度的代價（9.3 節）。

跨書連結：等價測度變換是《機率統計》條件期望與 Radon–Nikodym 導數思想的應用；無套利與均衡的關係連到《經濟的數學》第 5 章一般均衡（無套利是一般均衡的極簡特例：兩商品、線性偏好）與第 6 章賽局論（套利者是「策略性缺席者」的排除條件）；複製組合的資金流兩面平衡，可對照《會計的數學》第 1 章複式簿記。

練習#

承例題 5.3.1，把 \(K\) 改為 110，重求買權無套利價格，並驗證賣權價格滿足 put–call 平價 \(C - P = S_0 - K/(1+r) = 100 - 110/1.05 \approx -4.76\) 。
某股票 \(S_0 = 50\) ，一期後 \(u = 1.3\) 、 \(d = 0.7\) ， \(r = 10\%\) （單期）。判斷此市場是否有套利機會（檢查 \(q = (1.1 - 0.7)/(1.3-0.7)\) 是否落在 \((0,1)\) ），並計算 \(K = 50\) 買權的價格。
證明：在一期二項模型中，若 \(1 + r > u\) ，則「賣空股票、全數存入銀行」構成套利；並寫出 \(d > 1+r\) 時的套利組合。
兩期二項樹（每期 \(u = 1.2\) 、 \(d = 0.8\) 、 \(r = 5\%\) 、 \(S_0 = 100\) ）：用倒向歸納求 \(K = 100\) 歐式買權價格，並說明每一步的「換測度」與一期情形有何相同、何不同。
思考題：第一基本定理說無套利保證風險中性測度存在，但 2008 年 CDO 定價顯示，「存在 \(\mathbb{Q}\) 」不等於「 \(\mathbb{Q}\) 可信」。請討論：當複製不可行（市場不完全）時，無套利只給出價格的區間而非唯一值——這對模型風險與監管有何含義？

名詞速查表（本節出現的核心術語）#

馬丁格爾： \(\mathbb{E}[M_t \mid \mathcal{F}_s] = M_s\) ，未來條件期望等於現值。
**風險中性測度 \(\mathbb{Q}\) **：與真實測度等價、使貼現價格成馬丁格爾的測度。
等價測度：零機率集合相同的兩個測度，權重不同。
無套利：不存在零成本、非負支付、正機率正收益的組合。
完全市場：所有支付皆可複製的市場，此時 \(\mathbb{Q}\) 唯一。
複製組合：以標的與無風險資產重現衍生品支付的動態策略。
Girsanov 定理：連續時間下換測度的工具，效果為改漂移、不改波動率。
兩個測度的分工：定價用 \(\mathbb{Q}\) 、風險管理用 \(\mathbb{P}\) 。

（本節完）