6.1 即期遠期與貼現函數#

本章導言#

利率不是一個數字，而是一條曲線。前五章討論時間價值時習慣用一個固定的 \(i\) 貫穿始終；但市場上 1 年期與 10 年期貸款的利率從來不同，這條隨期限而變的關係稱為利率期限結構（term structure）。1970 年代兩次石油危機引爆的通膨，使美國 10 年期公債殖利率從約 7% 一路升到 1981 年的 15% 以上，持有長年期債券與房貸的機構蒙受數十年未見的損失；銀行、保險與公司財務部門第一次體會到：利率必須拆成一條曲線來管理，而且這條曲線本身會動。本節建立描述這條曲線的三個互相等價的座標——即期利率、遠期利率、貼現函數——以及串起它們的微分與求和公式。

即期利率與貼現函數#

即期利率 \(s(0,T)\) 是今天（時點 0）鎖定、到期日 \(T\) 一次性領取的年化報酬率。若以連續複利計（1.3 節），投資 1 元在 \(T\) 年後變成 \(e^{s(0,T)T}\) ，反過來說， \(T\) 年後的 1 元今天只值：

\[ P(0,T) = e^{-s(0,T)\,T}. \]

\(P(0,T)\) 稱為貼現函數（discount function）， \(P(0,0)=1\) ，對無違約風險的債券而言必隨 \(T\) 遞減。實務若用年複利報價（如公債年殖利率 \(z_T\) ），則 \(P(0,T)=(1+z_T)^{-T}\) ，兩種報價系統可互換，差別只在複利頻率。

遠期利率：由無套利倒推的「今天約定價」#

遠期利率 \(f(0,T)\) 是今天簽約、指定「從 \(T\) 開始」的那一小段期間所適用的利率。它不是預測，而是由現今曲線倒推、使套利不可能成立的價格。關鍵恆等式來自「兩條等價路徑」：

\[ P(0,T_2) = P(0,T_1)\cdot e^{-\int_{T_1}^{T_2} f(0,u)\,du}. \]

取對數後對 \(T\) 微分即得最常用的公式：

\[ f(0,T) = -\frac{\partial}{\partial T}\ln P(0,T), \qquad P(0,T) = \exp\!\left(-\int_0^T f(0,u)\,du\right). \]

離散（年複利）版本就是 \((1+z_2)^2=(1+z_1)(1+f_{1,1})\) ：先按 1 年期利率放一年、再按 1 年期遠期利率放一年，結果必須等於直接買 2 年期零息債，否則資金會單邊套利。遠期利率的定義是用無套利條件寫出來的，這正是 5.3 節馬丁格爾定價思想的第一次具體登場。

把曲線從市場報價中剝出來：引導法#

市場直接報價的通常是平價利率（par yield）：使債券票面利率等於殖利率、價格恰為面額的那個利率；但定價要用的是零息的 \(P(0,T)\) 。兩者的轉換稱為引導法（bootstrapping）：先用 1 年期平價債得 \(P(0,1)\) ，代入 2 年期平價債的現金流方程式解出 \(P(0,2)\) ，依序推進，本質是一組遞迴的線性方程。今天每家交易台、每套估值系統開盤前都會跑一次。

例題 6.1.1#

例題 6.1.1：市場 1、2、3 年期即期年利率（年複利）為 \(z_1=2.0\%\) 、 \(z_2=2.5\%\) 、 \(z_3=3.0\%\) 。求貼現函數 \(P(0,1),P(0,2),P(0,3)\) ，以及「1 年後起算的 1 年期」「1 年後起算的 2 年期」「2 年後起算的 1 年期」遠期利率，並驗證一致性。

解：

\[ P(0,1)=\tfrac{1}{1.02}=0.98039,\quad P(0,2)=\tfrac{1}{1.025^2}=\tfrac{1}{1.050625}=0.95181,\quad P(0,3)=\tfrac{1}{1.03^3}=\tfrac{1}{1.092727}=0.91514. \]

1 年後起算的 1 年期遠期利率：

\[ f_{1,2}=\frac{P(0,1)}{P(0,2)}-1=\frac{0.98039}{0.95181}-1=3.00\%. \]

1 年後起算的 2 年期遠期利率（年化）：

\[ f_{1,3}=\left(\frac{P(0,1)}{P(0,3)}\right)^{1/2}-1=\left(\frac{0.98039}{0.91514}\right)^{1/2}-1=(1.07131)^{1/2}-1=3.50\%. \]

2 年後起算的 1 年期遠期利率：

\[ f_{2,3}=\frac{P(0,2)}{P(0,3)}-1=\frac{0.95181}{0.91514}-1=4.01\%. \]

一致性檢驗： \(1.025^2\times1.0401=1.050625\times1.0401=1.09276\approx1.03^3\) （尾差來自四捨五入），可見「先放 2 年、再放 1 年遠期」與「直接放 3 年」結果相同——這就是無套利。

遠期利率協定（FRA）的結算：設 1 年後起算的一年期 FRA 約定利率 \(K=3.5\%\) 、名目本金 10,000,000 元，到期時市場 1 年期利率為 4.0%，則收固定方的結算金額為

\[ \frac{(0.04-0.035)\times10\,000\,000}{1.04}=\frac{50\,000}{1.04}=48\,077 \text{ 元}, \]

即差額以期初折現一次付清。

曲線形狀會說話#

期限結構的三種典型形狀各有敘事：正斜率（長債利率高於短債）最常見，可解讀為資金的機會成本與期限溢酬；平坦常出現在政策轉折期；倒掛（短高長低）歷史上常出現在景氣擴張末段，因為市場預期央行將降息——這正是純預期理論（Fisher 1896; Hicks 1939）的主張：遠期利率等於未來即期利率的預期值。但實證顯示長期利率系統性地高於遠期利率的預測，差額稱為流動性（期限）溢酬。這個爭論牽涉 3.3 節的市場均衡與 7.1 節的風險度量：長債多承擔了利率波動風險，要求額外補償並不違反無套利。

術語	符號	意義	定義方式
即期利率	\(s(0,T)\)	今天鎖定到 \(T\) 的年化報酬	\(P=e^{-sT}\)
貼現函數	\(P(0,T)\)	\(T\) 年後 1 元的現值	市場零息曲線
遠期利率	\(f(0,T)\)	「從 \(T\) 開始」的瞬時利率	\(f=-\partial_T\ln P\)
平價利率	\(y(T)\)	使債券價格等於面額的票息率	解 \(P=y\sum P(0,t_k)+P(0,T)\)

前因後果與驅動關係#

實務如何逼出數學：1970–1981 年的利率風暴使「單一利率」假設全面失效，銀行資產負債表出現嚴重的期限錯配；交換交易與遠期利率協定在 1980 年代快速擴張，交易雙方必須對同一條零息曲線報價，否則立刻出現單向套利。於是「三者等價」與引導法從學術附錄變成交易台的日常工序。貼現函數本質上是把 1.2 節的現值公式函數化，把「一個 \(i\) 」升級為「一族 \(P(0,\cdot)\) 」。

理論成熟後如何改變市場：曲線一旦形式化，2.3 節的存續期間、第 4 章的選擇權定價、6.2 節的隨機利率模型都有了共同的初始條件；2008 年後市場發現用 LIBOR 貼現交換交易會高估無風險利率，ISDA 推動改用 OIS 利率貼現，美元並逐步改以 SOFR 為基準、2023 年後 LIBOR 退場——選哪一條貼現函數本身就是制度決策。這條曲線同時是 10.1 節無套利模型必須精確重現的初始條件。

1.3 節：連續複利與自然對數是 \(f=-\partial_T\ln P\) 的計算基礎。
2.2 節、2.3 節：債券價格與存續期間都以 \(P(0,t_k)\) 為原料；引導法就是把 2.2 節的價格方程反解成零息曲線。
6.2 節、6.3 節：隨機利率模型必須先重現今日的 \(P(0,\cdot)\) ，才能談明日的變動。
《經濟的數學》第 3 章：利率是資金的價格，期限結構可視為不同期限資金的供求均衡結果。
《管理的數學》第 2 章：曲線外推與成長預測同樣面臨「用歷史估未來」的偏差問題。

名詞速查表#

期限結構：同一信用等級下，利率隨到期期限的函數關係。
**貼現函數 \(P(0,T)\) **：未來 1 元在今天的價值， \(P(0,0)=1\) 、隨 \(T\) 遞減。
遠期利率：使兩條投資路徑報酬相等的「平衡利率」，由無套利定義。
引導法（bootstrapping）：由平價債報價遞迴解出零息貼現函數的程序。
純預期理論：遠期利率等於未來即期利率之期望值的假說。
流動性溢酬：長期債券高於預期理論預測的額外補償。

練習#

已知 \(P(0,1)=0.970\) 、 \(P(0,2)=0.935\) ，求 1 年後起算的 1 年期遠期利率與兩年的平價利率（年複利）。
某 2 年期債券每年付息 3 元、面額 100 元，價格 99.50 元。用引導法（已知 1 年期即期利率 2.8%）求 2 年期即期利率。
設 \(f(0,u)=0.03+0.002u\) （連續複利），用積分求 \(P(0,5)\) 與 \(s(0,5)\) 。
1 年後起算的一年期 FRA，約定利率 3.0%、名目 5,000,000 元；到期市場利率為 2.4%，求結算金額（買固定方）。
思考題：若長債利率高於遠期利率的預測（正期限溢酬），這算不算套利機會？請分別以「純預期理論」與「風險補償」兩種立場各寫一段辯論，並指出哪一種說法可以被資料否證。

（本節完）