6.2 Vasicek與CIR隨機利率模型#

本章導言#

要把利率當成隨機變數，先得接受一個不舒服的事實：利率沒有理由永遠為正的確定數字，它會動、有均值回復傾向，而且在特定制度下還會跌到零以下。1970 年代的通膨迫使央行以剧烈升降的利率對抗物價，1979 年美國聯準會改以貨幣總量為政策目標後，聯邦資金利率在短時間內可以跳動數百個基本點；壽險與退休金帳戶握有數十年的負債，卻不知道未來二十年的折現率會長什麼樣子。1973 年 Black–Scholes–Merton 把股票價格寫成幾何布朗運動之後，市場自然要問：短端利率 \(r_t\) 的隨機微分方程該怎麼寫？ 本節介紹兩位奠基者的答案：Vasicek（1977）的均值回復常態模型，以及 Cox–Ingersoll–Ross（1985）把利率關在正半軸的平方根擴散。

短端利率的三個建模要求#

一個「能用」的短率模型至少要滿足三件事：（一）均值回復——利率若長期停在某一水準之上，投資與存蓄行為會改變資金供求，把利率拉回；（二）機率分配可處理——要能算出債券價格的封閉式，否則每次估值都要蒙地卡羅；（三）非負性——名目利率為負在理論上可以（借出者付錢），但在 1980–2000 年間幾乎不可能，模型若常產生負利率就會脫離實務。Vasicek 滿足前兩項、放棄第三項；CIR 三項全要，代價是失去常態分配的簡單性。

Vasicek（1977）：Ornstein–Uhlenbeck 過程#

Vasicek 模型（Vasicek, An equilibrium characterization of the term structure, 1977）定義：

\[ dr_t = a\,(b-r_t)\,dt + \sigma\,dW_t. \]

\(b\) 是長期均衡水準、 \(a>0\) 是回復速度、 \(\sigma\) 是波動。當 \(r_t>b\) 時漂移項為負、 \(r_t<b\) 時為正，因此 \(r\) 被拉向 \(b\) 。這是一維 Ornstein–Uhlenbeck（OU）過程，其條件分配為常態，因此：

\[ \mathbb{E}[r_\tau]=b+(r_0-b)e^{-a\tau},\qquad \operatorname{Var}(r_\tau)=\frac{\sigma^2}{2a}\left(1-e^{-2a\tau}\right). \]

第二式說明方差會收斂到 \(\sigma^2/(2a)\) ：波動有上界，不會像隨機漫步那樣無限累積——這是「均值回復」在數學上的紅利。半衰期 \(t_{1/2}=\ln 2/a\) 是實務校準的直覺參數： \(a=0.10\) 表示偏離後約 6.9 年回到一半。

CIR（1985）：平方根擴散守住零邊界#

CIR 模型（Cox, Ingersoll & Ross, A theory of the term structure of interest rates, 1985）把擴散係數改為 \(\sqrt{r}\) ：

\[ dr_t = a\,(b-r_t)\,dt + \sigma\sqrt{r_t}\,dW_t. \]

當 \(r_t\to 0^+\) 時波動也趨近 0，漂移項 \(ab>0\) 把過程從邊界推回內部，因此 \(r\) 幾乎必然非負。其經典充分條件是 Feller 條件

\[ 2ab \ge \sigma^2, \]

此時 0 是不可達的反射邊界；若 \(2ab<\sigma^2\) ，過程雖仍非負，卻會碰到 0 再反彈。CIR 的美中不足是分配不再是常態（非中心卡方），零息債價格仍有封閉式 \(P=A e^{-B r}\) ，但 \(A,B\) 形式較繁。

兩個模型的債券定價公式#

Vasicek 下 \(T\) 年期零息債價格為 \(P(t,T)=A(t,T)e^{-B(t,T)r_t}\) ，其中

\[ B(t,T)=\frac{1-e^{-a(T-t)}}{a},\qquad A(t,T)=\exp\!\left\{\bigl(B-(T-t)\bigr)\Bigl(b-\frac{\sigma^2}{2a^2}\Bigr)-\frac{\sigma^2B^2}{4a}\right\}. \]

（以上以 \(t=0\) 、 \(T-t=\tau\) 寫出。）注意 \(B\) 的意義：它衡量債券對當下短率的敏感度——期限越長、回復越慢， \(B\) 越大。

例題 6.2.1#

例題 6.2.1：Vasicek 參數取 \(a=0.10\) 、 \(b=0.05\) 、 \(\sigma=0.01\) ，當前 \(r_0=0.03\) 。求（i）5 年後短率的期望值與標準差；（ii）5 年期零息債價格與到期殖利率。

解：（i） \(\tau=5\) ， \(e^{-a\tau}=e^{-0.5}=0.60653\) ：

\[ \mathbb{E}[r_5]=0.05+(0.03-0.05)(0.60653)=0.05-0.012131=0.03787\;(3.79\%). \]

\[ \operatorname{Var}(r_5)=\frac{0.0001}{0.2}\left(1-e^{-1}\right)=0.0005\times0.63212=0.000316,\quad \mathrm{sd}=0.0178\;(1.78\text{ 個百分點}). \]

（ii） \(B=(1-0.60653)/0.10=3.93469\) 。指數中的兩項：

\[ (B-\tau)\Bigl(b-\tfrac{\sigma^2}{2a^2}\Bigr)=(3.93469-5)\times(0.05-0.005)=-1.06531\times0.045=-0.04794, \]

\[ -\frac{\sigma^2B^2}{4a}=-\frac{0.0001\times15.4818}{0.4}=-0.00387. \]

故 \(A=e^{-0.05181}=0.9495\) ， \(P=Ae^{-Br_0}=0.9495\times e^{-0.11804}=0.9495\times0.88867=0.8438\) 。

\[ y=-\frac{\ln 0.8438}{5}=\frac{0.16986}{5}=0.0340=3.40\%. \]

可見：短率 3%、長期均衡 5%，但模型下的 5 年殖利率為 3.40%——殖利率不等於任何一個時點的短率，而是整條預期路徑的加權平均。

模型	擴散項	分配	負利率	封閉式債券價
Vasicek (1977)	\(\sigma\)	常態	可能	有
CIR (1985)	\(\sigma\sqrt{r}\)	非中心卡方	幾乎不可能	有
Ho–Lee (1986)	\(\sigma\)	常態	可能	有（見 10.1 節）

前因後果與驅動關係#

實務如何逼出數學：驅動力是利率的劇烈波動與長期負債的錯配。1970–1981 年利率暴漲使美國儲貸機構出現「借短放長」的虧損；壽險公司收 30 年保費、付 30 年死亡給付，必須知道折現率的隨機性如何影響負債現值。均值回復不是為了數學優雅，而是對「央行會干預、通膨會被治理」這個制度事實的建模；擴散係數的形式（常態 vs 平方根）則由「能不能容忍負利率」這個當時的市場共識決定。整段推導大量使用 5.2 節的 Itô 引理與 5.3 節的等價鞅測度：債券價格先在真實測度下寫 SDE，再換到計價單位（money market）測度求無套利漂移。

理論成熟後如何改變市場：Vasicek 與 CIR 讓利率衍生性商品第一次有可算的封閉式，利率交換選擇權、可轉債與壽險負債的精算評價（第 8 章）隨之標準化；模型也訓練出一代會「校準參數使模型重現今日曲線」的量化分析師。但 2010 年代歐洲與日本的負利率戳破了 Vasicek 的常態尾巴，市場改用位移對數常態、SABR 波動度模型與多因子 HJM（6.3 節、10.1 節）來容許負值；「模型選擇本身成為風險來源」則催生了巴塞爾的模型風險監管要求。均衡模型的教訓也進入 7.3 節：能算出價格不等於能描述尾部。

5.2 節、5.3 節：Itô 引理與無套利測度變換是本節兩條公式推導的技術底層。
6.1 節： \(P(t,T)\) 必須先重現 6.1 節的初始曲線，參數才有意義。
6.3 節、10.1 節：HJM 框架指出「漂移不是自由參數」，這正是均衡模型留給後人的課題。
第 2 章：存續期間是 \(P\) 對殖利率的敏感度，本節的 \(B(t,T)\) 是隨機版的同一件事。
《機率統計》第 6 章：OU 過程是馬可夫過程的連續時間原型，條件分配為常態。
《經濟的數學》第 8 章：均衡水準 \(b\) 與真實利率的長期決定，接總體與成長理論。

名詞速查表#

均值回復（mean reversion）：漂移項與偏離量成比例、使過程被拉回均衡的性質。
OU 過程： \(dr=a(b-r)dt+\sigma dW\) ，條件分配為常態的高斯擴散。
Feller 條件： \(2ab\ge\sigma^2\) ，保證 CIR 過程不觸及零邊界。
平方根擴散：波動與 \(\sqrt{r}\) 成正比的 SDE 形式。
均衡模型：從代表性經濟個體最適化導出、參數有經濟含意的模型（對應 10.1 節的無套利模型）。
負利率：名目利率跌破零，使常態型模型失真的制度現象。

練習#

Vasicek 參數 \(a=0.5\) 、 \(b=0.03\) 、 \(\sigma=0.008\) 、 \(r_0=0.06\) ，求 \(\mathbb{E}[r_1]\) 、 \(\operatorname{Var}(r_1)\) 與半衰期。
承上，判斷 Feller 條件在同參數的 CIR 模型（ \(a=0.5,b=0.03,\sigma=0.008\) ）是否成立：計算 \(2ab\) 與 \(\sigma^2\) 。
用 6.2.1 的參數計算 1 年期零息債價格，並與 5 年期的 3.40% 比較，說明為何短期殖利率較低。
在 CIR 中若 \(r_t\) 增加 1 個百分點，波動項的增量是 Vasicek 的幾倍？設 \(r_t=4\%\) 、 \(\sigma=0.01\) ，分別算出兩者的擴散係數 \(\sigma\) 與 \(\sigma\sqrt{r}\) 。
思考題：2015–2021 年歐洲多國公債殖利率為負。若你負責校準模型，會保留 Vasicek（接受小機率負值）還是改用位移模型？請從「模型簡單度」「尾部正確性」「監管接受度」三方面各寫一段，並指出此選擇會影響本書哪一章的計算。

（本節完）