6.3 HJM框架與期限結構動態#
本章導言#
6.2 節的短率模型有一個結構性缺陷：它只寫 \(r_t\) 一條 SDE，再讓整條曲線透過積分被動導出，模型參數（長期均衡 \(b\) 、回復速度 \(a\) ）是從經濟直覺選的，未必能重現今天市場上的零息曲線；更麻煩的是，長短期利率之間的共動關係是模型「碰巧」算出來的，而非直接管理的對象。但利率衍生性商品的價格恰恰取決於曲線各點如何一起動：一支 10 年期換 2 年期的交換選擇權，賭的是曲線形狀而非單一短率。1992 年，David Heath、Andrew Jarrow 與 Paul Morton 在《Journal of Finance》發表以他們姓氏縮寫的 HJM 框架，把整條瞬時遠期利率曲線當成一個隨機場來寫，並證明：一旦你選定波動結構，漂移項就被無套利條件完全鎖死，不再是自由參數。這是利率建模史上一次徹底的觀念翻轉。
從一條曲線到一個隨機場#
定義瞬時遠期利率 \(f(t,T)\) （與 6.1 節同義）：在時點 \(t\) 觀察、指定「從 \(T\) 開始」的瞬時利率，於是
HJM 直接假設每個期限 \(T\) 的遠期利率都有自己的隨機演化：
這裡 \(\sigma(t,T)\) 是一個波動結構（期限越長波動通常越大）， \(\mu(t,T)\) 是待決定的漂移。
HJM 漂移約束：波動決定漂移#
在計價單位為貨幣市場帳戶（利率 \(r_t\) ）的等價鞅測度 \(\mathbb{Q}\) 下，把 \(P(t,T)\) 代入 Itô 公式，要求 \(e^{-\int r\,ds}P\) 為鞅，逐項整理後得到著名的漂移約束：
等價地，這條式子是說：對任意 \(t<T\) ，
右端恰好是貼現債價格對數的變異數。訊息在於結構而非符號： \(\mu\) 中不含任何可自由選擇的經濟參數，只要 \(\sigma\) 定案， \(\mu\) 立即定案。反過來說，若有人宣稱他的模型同時「自由指定漂移」又「對所有選擇權無套利」，HJM 證明那是不可能的。
與 6.2 節的分工：均衡模型與無套利模型#
| 立場 | 代表 | 今日曲線 | 漂移 | 主要風險 |
|---|---|---|---|---|
| 均衡模型 | Vasicek (1977)、CIR (1985) | 不必然重現 | 由效用與供求導出、含自由參數 | 初始條件偏差 |
| 無套利模型 | HJM (1992)、Ho–Lee (1986) | 精確重現（作為初始條件輸入） | 由波動結構與無套利鎖死 | 波動結構設定錯誤 |
兩者不是對錯關係而是分工：均衡模型回答「利率長期該在哪裡」，無套利模型回答「在給定今日曲線下，明天的分布長什麼樣」。10.1 節將看到這兩條路如何在同一批模型中合流。
例題 6.3.1#
例題 6.3.1：設單因子高斯 HJM，波動結構為常數 \(\sigma(t,T)=\sigma=0.01\) ，初始遠期曲線 \(f(0,T)=0.03+0.001T\) 。求（i） \(t=2\) 、 \(T=10\) 處的漂移 \(\mu(2,10)\) ；（ii）1 年後 \(f(1,10)\) 在 \(\mathbb{Q}\) 下的期望值；（iii）對應 Ho–Lee 模型的確定性漂移函數 \(\theta(t)\) 在 \(t=3\) 的值；（iv）驗證漂移約束的積分形式。
解：（i）代入漂移約束：
（ii）因 \(\sigma\) 為常數， \(f(t,T)\) 的期望為初始值加累積漂移：
取 \(t=1,T=10\) ： \(f(0,10)=0.04\) ， \(\sigma^2(10-0.5)=0.00095\) ，故 \(\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[f(1,10)]=0.04095\) ，即 4.095%（上升 9.5 個基點）。遠期曲線在風險中立測度下系統性上移，是高斯 HJM 漂移為正的直接後果。
（iii）此設定等價於 Ho–Lee 短率模型 \(dr_t=\theta(t)dt+\sigma dW_t\) ，其中
（iv）驗證： \(\int_2^{10}\mu(2,s)\,ds=\int_2^{10}0.0001(s-2)\,ds=0.0001\cdot\tfrac{8^2}{2}=0.0032\) ；另一邊 \(\tfrac12\left(\int_2^{10}0.01\,ds\right)^2=\tfrac12(0.08)^2=0.0032\) 。兩者相等，漂移約束成立。
後續發展：非馬可夫性與市場模型#
HJM 的代價是：當 \(\sigma(t,T)\) 依賴期限時，短率過程 \(r_t=f(t,t)\) 不再是馬可夫過程（其未來分布取決於整條曲線形狀），校準與樹狀圖變得困難。1997–2000 年間，Brace–Gatarek–Musiela、Jamshidian、Miltersen–Sandmann–Sondermann 等人提出市場模型（LIBOR forward market model, LMM/BGM），直接對「市場上真的有交易的」遠期利率（如 6 個月期 LIBOR）設定對數常態演化，並逐期強制滿足 HJM 漂移約束，既保留無套利又恢復可校準性。此後 LIBOR 退場（6.1 節），同一批方法被移植到 SOFR 遠期利率的擇期利率模型（term rate models）。
前因後果與驅動關係#
實務如何逼出數學：驅動力是曲線型衍生性商品的爆發。1980 年代利率交換選擇權、可調整利率房貸的選擇權、壽險公司對利率波動的避險需求同時成長，交易台發現短率模型給出的「10 年對 2 年」波動相關性與市場成交價對不上——因為相關性是模型的副產品而非輸入。HJM 把波動結構 \(\sigma(t,T)\) 提升為可直接校準的對象，讓使用者以市場價格反推相關性（例如主成分分析得到的「水平、斜率、曲率」三因子）。
理論成熟後如何改變市場：漂移約束把「無套利」從一句口號變成一行可驗算的等式，此後任何新利率產品上線前都必須通過這項檢驗；它也解釋了 6.2 節均衡模型的參數為何總要「校準」——那是因為它們的漂移沒有被約束。另一方面，HJM 與均衡模型的對照，確立了 10.1 節的分類框架，並成為監管機關檢驗交易帳簿利率模型（巴塞爾市場風險與 IRRBB）時的共同語言。
- 6.1 節： \(f(t,T)\) 的定義、 \(P\) 與 \(f\) 的互換公式全部沿用 6.1 節，只是把「今天的曲線」推廣到「任意時刻的曲線」。
- 6.2 節：Vasicek/CIR 的漂移含自由參數 \(b\) ，HJM 漂移約束正是對此的批判與補完。
- 5.3 節：計價單位變換與鞅條件是漂移約束的推導工具。
- 10.1 節：無套利期限結構模型的完整譜系（Ho–Lee、Hull–White、BDT、HJM、LMM）在該節匯整比較。
- 《機率統計》第 7 章：多變數 Wiener 過程與常態擴散是 \(\sigma(t,T)\) 多因子化的機率基礎。
- 《管理的數學》第 2 章：波動結構的主成分提取與「用少數因子概括整條曲線」，與趨勢預測的降維思路相通。
名詞速查表#
- **瞬時遠期利率 \(f(t,T)\) **：時點 \(t\) 看、從 \(T\) 起算的瞬時利率， \(r_t=f(t,t)\) 。
- HJM 漂移約束： \(\mu(t,T)=\sigma(t,T)\int_t^T\sigma(t,s)ds\) ，漂移由波動唯一決定。
- 波動結構： \(\sigma(t,T)\) 對期限的函數，決定曲線各點的波動與共動性。
- 非馬可夫性：過程的未來分布需完整曲線資訊才能決定，短率本身不足以描述。
- 市場模型（LMM/BGM）：直接對市場可觀測遠期利率建模、逐期套用漂移約束的框架。
- 均衡模型 vs 無套利模型：前者由經濟直覺導出漂移，後者由今日曲線與無套利導出漂移。
練習#
- 設 \(\sigma(t,T)=0.015\) （常數），求 \(t=0,T=5\) 與 \(T=30\) 處的漂移 \(\mu(0,T)\) ，並解釋為何長期限的漂移較大。
- 承上，計算 \(\int_0^{10}\mu(0,s)\,ds\) 與 \(\tfrac12\left(\int_0^{10}\sigma\,ds\right)^2\) ，驗證兩者相等。
- 設波動隨期限線性增加 \(\sigma(t,T)=0.0005\,(T-t+1)\) ，求 \(t=0,T=10\) 的漂移 \(\mu(0,10)\) （提示：先寫出 \(\int_0^{10}\) 再微分）。
- 在單因子高斯 HJM 下，若 \(\sigma\) 加倍為 0.02，例題 6.3.1(ii) 中 \(\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[f(1,10)]\) 的上升幅度會變成幾倍？
- 思考題：HJM 能重現今日曲線卻不保證「曲線形狀的長期分布」正確；均衡模型反之。若你是央行的金融穩定部門，會用哪一類模型做利率壓力測試？請說明理由，並指出你的選擇如何影響 7.2 節尾部損失的估計。
（本節完）