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7.1 VaR與風險值的三種估計#

本章導言#

「我們今天最多會賠多少？」——這個看似簡單的問題，直到 1990 年代才有一個統一的數學答案。第 3 章的 Markowitz 用變異數衡量風險，但變異數對稱地計算上下波動，對只想知道「下行會多慘」的交易台與銀行股東毫無直覺；1987 年 10 月 19 日美股單日崩跌 22.6% 之後（9.2 節），監管機關更發現舊有的資本計算無法描述「一天之內」的極端損失。J.P. Morgan 在 1994 年發表 RiskMetrics 技術文件，把「給定信賴水準與持有期間，損失不會超過的金額」定義為風險值（Value at Risk, VaR），並在 1996 年寫入巴塞爾協定的市場風險資本框架。本節建立 VaR 的定義、三種估計方法，以及它與期望短缺（expected shortfall）的關係——後者將在 7.2 節的尾部視角中成為主角。

定義：一個分位數#

設持有期間內的損益隨機變數為 \(X\) （賺為正、賠為負），信賴水準 \(c\in(0,1)\) ，則

\[ \mathrm{VaR}_c = -\,q_{1-c}(X),\qquad \text{其中 } \Pr(X\le -\mathrm{VaR}_c)=1-c. \]

口語說法：「99% 的日子裡，損失不會超過 VaR」。注意三個容易出錯的地方：（一） VaR 是分位數而非期望值，它不回答「超過之後會賠多少」；（二） 持有期間必須指定（巴塞爾用 10 個營業日）；（三） 信賴水準與期間改變，數字就改變，報 VaR 不報參數等於沒報。在損失 \(L=-X\) 的寫法下， \(\Pr(L\le \mathrm{VaR}_c)=c\) 。

三種估計方法#

方法 核心假設 計算 優點 弱點
參數法（變異數共變異數） 損益服從常態（或 \(t\) ） \(\mathrm{VaR}=z_c\,\sigma\) 快、可分解到因子 尾部太薄、相關性固定
歷史模擬法 歷史會重演 對歷史損益排序取分位數 不需分配假設 尾端樣本少、體制變動
蒙地卡羅模擬 指定隨機過程 抽樣數萬條路徑取分位數 靈活、可處理非線性 慢、模型風險高

參數法：若組合價值 \(V\) 、日波動率 \(\sigma\) ，則 \(\mathrm{VaR}_c = V\,\sigma\, z_c\) ，其中 \(z_c\) 是標準常態的第 \(c\) 分位數（ \(c=0.99\) 時 \(z_c=2.326\) ）。跨期間用 \(\sqrt{t}\) 規則： \(\mathrm{VaR}_{10\text{日}}=\sqrt{10}\,\mathrm{VaR}_{1\text{日}}\) （假設獨立，這項假設在危機中特別脆弱）。

歷史模擬法：取過去 \(N\) 天的實際損益，排序後取第 \(\lceil (1-c)(N+1)\rceil\) 個最大損失。分位數的「資料位置」公式 \(\ell=\lceil (1-c)(N+1)\rceil\) 是順序統計的標準作法，避免 \(N\) 太小時無法估極端分位。

蒙地卡羅：依假設的隨機過程（含相關性）抽樣，如抽 \(M=10{,}000\) 條路徑、取第 100 大的損失。4.2 節的 Black–Scholes、6.2 節的利率模型都能作為生成器。

例題 7.1.1#

例題 7.1.1：某部位價值 100,000,000 元，日波動率 1.5%。（i）用參數法算 1 日 99% VaR；（ii）算 10 日 99% VaR；（iii）過去 500 個交易日的歷史損益中，第 6 大虧損為 3,300,000 元，用歷史模擬法求 1 日 99% VaR；（iv）求常態假設下的 99% 期望短缺 ES。

解：（i）日標準差 \(\sigma_\$=100{,}000{,}000\times0.015=1{,}500{,}000\) 元，故

\[ \mathrm{VaR}_{0.99}=2.326\times1{,}500{,}000=3{,}489{,}000\text{ 元}. \]

（ii） \(\sqrt{t}\) 規則：

\[ \mathrm{VaR}_{10\text{日}}=\sqrt{10}\times3{,}489{,}000=3.1623\times3{,}489{,}000\approx11{,}032{,}000\text{ 元}. \]

（iii）資料位置 \(\ell=\lceil(1-0.99)(500+1)\rceil=\lceil5.01\rceil=6\) ，取第 6 大虧損，得 \(\mathrm{VaR}_{0.99}=3{,}300{,}000\) 元。兩法結果接近（3.49M vs 3.30M）代表常態假設尚可；若差異達數百萬元，就要懷疑尾部形狀（見 7.2 節）。

（iv）常態下超過 VaR 的條件期望：

\[ \mathrm{ES}_{0.99}=\sigma_\$\,\frac{\varphi(z_c)}{1-c}=1{,}500{,}000\times\frac{0.02661}{0.01}=3{,}992{,}000\text{ 元}, \]

其中 \(\varphi(2.326)=\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-2.326^2/2}=0.02661\) 。亦即 \(\mathrm{ES}=1.144\times\mathrm{VaR}\) ：一旦越過 VaR，平均還要再賠 14.4%。

VaR 的兩個陷阱#

其一，VaR 尾端資訊為零：它對「第 1% 的損失是 3.5M 還是 30M」完全不敏感，而這正是 1987 與 2008 兩次危機傷人的地方。其二，VaR 不具次可加性：兩分散部位合併後的 VaR 有可能大於分開之和，違反「分散化應降低風險」的直覺；Artzner、Delbaen、Eber–Heath（1999）用公理化方法證明一致性風險度量（coherent risk measure）需滿足次可加性，而期望短缺滿足、VaR 不滿足。這就是 7.2 節與巴塞爾 FRTB 改用 ES 的理論根源。

前因後果與驅動關係#

實務如何逼出數學：三股力量同時推擠——（一） 1987 年股災暴露「一天之內」的風險無法用年度變異數描述；（二） 1990 年代衍生性商品與複雜部位成長，交易台需要把全公司風險壓成一個可上呈董事會的數字；（三） 銀行想用自家內部模型計提資本，需要一個可比較的共同語言。VaR 正好是「一個數字、一個信賴水準、一個期間」的最小公分母，RiskMetrics 將其免費公開，1996 年巴塞爾市場風險修正案正式採用 99%、10 日 VaR。它把 3.1 節均值變異數的二階敘述，換成分位數敘述。

理論成熟後如何改變市場：VaR 反過來決定了交易行為——限額依 VaR 設、紅利依 VaR 計、資本依 VaR 撥，於是「VaR 上升 → 降部位 → 賣壓 → 波動上升」成為 9.2 節將完整展開的順反饋；2008 年後監管部門發現 99% VaR 對危機尾部太寬鬆，巴塞爾 2009 年與 FRTB 改以 97.5% ES 為準。風險度量從統計量升格為制度參數，這是金融計量與監管第一次深度糾纏。

  • 3.1 節、3.2 節：變異數與有效前緣是 VaR 的前身；參數法 VaR 本質是變異數的分位數版本。
  • 7.2 節：分位數估計的尾部不穩定性，正是極端值理論要處理的問題。
  • 9.2 節：VaR 作為限額觸發器造成的順反饋，將以具體遞推式計算。
  • 第 4 章：非線性部位（選擇權）的 VaR 不能用 \(\sigma\) 線性放大，需用蒙地卡羅與 Greeks 修正。
  • 《經濟的數學》第 9 章：VaR 與期望效用是處理不確定性的兩條路線——前者給門檻、後者給排序，兩者的衝突是行為金融與監管設計的核心議題。
  • 《機率統計》第 3 章：常態、 \(t\) 與厚尾分配的比較，直接決定參數法是否可用。

名詞速查表#

  • VaR（風險值）：在指定信賴水準與持有期間下，損失的分位數。
  • ES／CVaR（期望短缺）：超過 VaR 之後的條件平均損失，一致且具次可加性。
  • 參數法：假設分配、以 \(z_c\sigma\) 直接計算的快速估計法。
  • 歷史模擬法：以過去實際損益的順序統計量估分位數。
  • 蒙地卡羅模擬：由指定隨機過程大量抽樣後取分位數。
  • 一致性風險度量：滿足單調性、正齊次性、平移不變性與次可加性的風險度量公理。
  • ** \(\sqrt{t}\) 規則**：在獨立假設下，VaR 隨期間平方根放大。

練習#

  1. 某組合日波動率 2.0%，價值 50,000,000 元，求 1 日 95% VaR（ \(z_{0.95}=1.645\) ）與 1 日 99% VaR。
  2. 承上，用 \(\sqrt{t}\) 規則求 20 日 99% VaR；再說明若日損益之間存在正自相關，此估計會偏高或偏低。
  3. 歷史模擬中 \(N=200\) 天、 \(c=0.975\) ，分位數應取第幾大損失？（用 \(\lceil(1-c)(N+1)\rceil\) ）
  4. 計算常態假設下 95% 的 \(\mathrm{ES}/\mathrm{VaR}\) 比值（ \(z_{0.95}=1.645\) ， \(\varphi(1.645)=0.1031\) ），並與例題 7.1.1 的 99% 比值比較，說明信賴水準越高、兩者差距如何變化。
  5. 思考題：有人主張「用 VaR 訂限額很危險，因為它不告訴你超過後會怎樣」，也有人主張「ES 更危險，因為它鼓勵賭尾部」。請各寫一段辯護詞，並連結《經濟的數學》第 9 章的期望效用理論，說明兩者分別放棄了效用理論的哪一條性質。

進階研讀：VaR 的三個深化場景#

場景一：三種估計法的同一組數字。設 250 日損益、常態假設 \(\sigma = 1.5\%\) 、組合 1 億元。參數法 95% VaR \(= 1.645 \times 0.015 \times 10^8 = 246.8\) 萬元。歷史模擬取第 13 大損失（ \(\lceil 0.05 \times 251 \rceil = 13\) ），若實際分布左尾偏厚，這個數字會系統性高於參數法——兩法之差本身就是厚尾的檢定量。蒙地卡羅則把 4.2 節的 Greeks 塞進抽樣：非線性部位的損益 \(\Delta V \approx \Delta \cdot \delta S + \frac{1}{2} \Gamma (\delta S)^2\) ，Gamma 項使負向跳動放大左尾。三法給三個答案，交易台內部規則通常是：取最保守者為限額基準，其餘為診斷資訊。

場景二：次可加性為何重要——一個兩資產反例。取損失分布：各 4% 機率損失 100 元（信賴水準 95% 下 VaR \(= 0\) ，因為損失機率低於 5%）。兩個「部位」合併後，單一事件損失 200 元的機率仍為 4%——等等，若兩資產完全同步（同一事件），合併 VaR \(= 200 > 0 + 0\) ，VaR 次可加性被打破。Artzner 等人 1999 年的一致性公理化，正是從這類反例出發：一個會懲罰分散、獎勵集中的度量，會誘導機構用「合併部位」規避資本要求。ES 在連續分布下恆滿足次可加性，這是巴塞爾改用 ES 的數學理由。

場景三：回溯測試——讓模型可以被處罰。巴塞爾交通燈制度：過去 250 天中 99% VaR 被突破的次數落在綠區（0–4 次）則資本乘數 3、黃區（5–9 次）加乘、紅區（10 次以上）強制回歸標準法。統計上，若模型正確，突破次數是 Binomial(250, 0.01)，期望 2.5 次；紅區機率不足 0.1%——監管把假設檢定寫進了資本公式。這使 VaR 成為第一個「錯了會被罰錢」的金融模型，也解釋了銀行為何寧可保守校準：突破的期望成本高於保守的資本成本。

深化問答三則#

問：VaR 是機率還是管理工具？ 答：兩者，而混同正是誤用之源。作為機率量，它是損失分布的分位數，可檢定、可比較；作為管理工具，它定義限額、資本與紅利，於是被管理的對象會對它做最佳化（Goodhart 定律）。7.2 節的極端值理論修的是前者（分布尾部），9.2 節的順反饋修的是後者（最佳化後的行為反饋）——一個好的風險體系需要兩種修正同時在場。

問：為什麼 10 日 VaR 而不是 1 日或 1 季？ 答：巴塞爾選 10 日是折衷：1 日太貼近交易雜訊，管理行動（減倉、增資）在市場壓力下約需一至兩週完成； \(\sqrt{10}\) 約 3.16 倍的放大也使數字大到足以約束槓桿。這是「風險度量」中期間參數的選擇反映管理可動性的範例——VaR 的三個參數（水準、期間、資產集合）全是管理決策，不是統計必然。

問：ES 會不會讓機構「賭尾部」？ 答：內部限額若只設 ES，理論上存在「把超出分位後的損失做小、把分位內損失做大」的重組空間；但巴塞爾同時要求壓力測試與情景資本，加上 ES 對整個左尾平均，操縱空間遠小於 VaR 對「剛好一點」的操縱。實務上較穩的組合是：ES 定資本、VaR 定日限額、極端值模型定壓力情景——三層度量互相牽制，如同三權分立。

（本節完）