8.1 生命表與 Halley（1693）#
本章導言#
人壽保險在十七世紀之前是「論件議價」的生意：一張保單賣多少錢，取決於承保者對個人的主觀判斷，而非任何系統性的死亡率知識。同一時期，英國政府出售的終身年金更荒謬——不論購買者是五歲孩童還是七十歲老翁，價格一律相同。這在財政上等於把最划算的商品賣給最不需要補貼的人。要把「一條命」變成可以定價的資產，需要的不是更精明的談判，而是一個新物件：生命表——把人口按年齡排列、記錄每年死亡人數、推算存活機率的表格。1693 年，Edmond Halley（哈雷，1656–1742，即後來以名字命名彗星的天文學家）在《倫敦皇家學會哲學彙報》發表人類第一張系統性生命表，並示範如何用它為終身年金定價。本節重走這段路：一個布勒斯勞（Breslau）教區的死亡紀錄，如何逼出精算數學的第一組公式。
史料從哪裡來：布勒斯勞的教區登記#
1680 年代，布勒斯勞（今波蘭弗羅茨瓦夫）的牧師 Caspar Neumann 為反駁一個占星迷信（「人生有每隔七年的危險週期」）而整理了該市 1687–1691 年間的出生與死亡紀錄。這份資料經 Leibniz 轉寄到倫敦皇家學會。Halley 檢視後發現它罕見地適合統計分析：布勒斯勞人口流動少（進出人口大致平衡）、五年間紀錄完整，比倫敦（受瘟疫與大量移民干擾）乾淨得多。這是歷史上第一次，有人明確以「資料品質決定統計結論的有效性」為理由選擇樣本。
Halley 的生命表#
Halley 將五年觀察期內共 6,193 次出生、5,869 次死亡逐年分齡，推得一張從出生到 84 歲的存活表。表中 \(l_x\) 表示「 \(x\) 歲尚存活的人數」， \(d_x = l_x - l_{x+1}\) 為 \(x\) 歲當年死亡人數。節錄幾個關鍵年齡（Halley 的原始數字，出生總數 1,238）：
| 年齡 \(x\) | 1 | 7 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(l_x\) | 1000 | 705 | 634 | 527 | 472 | 417 | 292 | 181 | 78 | 20 |
從表中可以直接讀出任何條件存活機率。設 \(p_x = l_{x+1}/l_x\) 為 \(x\) 歲者再活一年的機率，則 \(x\) 歲者再活 \(n\) 年的機率為
Halley 自己的發現：表中 \(l_1 = 1000\) 之後逐年下降、到青春期後死亡曲線出現「谷底」——20 歲上下的人最不可能在隔年死亡，嬰幼兒與老人死亡率最高。這直接反駁了 Neumann 想挑戰的「七年危機週期」，也第一次讓「人的死亡風險隨年齡呈 U 形」成為可量化的事實。Halley 還據此推算布勒斯勞的總人口約 34,000 人——用死亡紀錄反推人口規模，是現代人口統計學的起點。
從生命表到年金定價#
Halley 的論文下半部才是真正改變金融史的部分。一份「 \(x\) 歲者每年年初存活即領 1 元」的終身年金，其公平現值為
其中 \({}_k p_x = l_{x+k}/l_x\) 。Halley 以年利率 6% 計算並出版了一張按年齡分列的年金價值表。結論震撼當時的財政實務：年金公平價格隨年齡劇烈變動，幼童約值十餘年金的購買年數，七十歲老人卻只值一半左右；而英國政府對所有年齡一律按固定年數出售，等於長期虧損賣給年輕人。Halley 在文中直言政府的定價「對所有年齡一視同仁，必然使承購者獲得遠高於公平的報酬」。可惜政府直到數十年後（1724 年代起）才逐步採用分齡定價——理論跑在實務前面了整整一代人。
例題 8.1.1：某生命表節錄如下（ \(l_x\) 值為示意，與 Halley 布勒斯勞水準一致）： \(l_{30}=472,\ l_{31}=468,\ l_{32}=464,\ l_{33}=459,\ l_{34}=454,\ l_{35}=449,\ l_{36}=444,\ l_{37}=439,\ l_{38}=433,\ l_{39}=427,\ l_{40}=421\) 。年利率 \(i = 6\%\) 。求 (1) 30 歲者活到 40 歲的機率；(2) 30 歲者十年期期末付生存年金（每年 1 元，僅在存活之年支付）的現值；(3) 與同期的確定年金比較。
解： (1) \({}_{10}p_{30} = l_{40}/l_{30} = 421/472 \approx 0.8919\) 。
(2) 生存年金現值為 \(\sum_{k=1}^{10} v^k \cdot \dfrac{l_{30+k}}{l_{30}}\) ， \(v = 1/1.06\) 。逐項計算：
| \(k\) | \(l_{30+k}/l_{30}\) | \(v^k\) | 乘積 |
|---|---|---|---|
| 1 | 468/472 = 0.9915 | 0.9434 | 0.9354 |
| 2 | 464/472 = 0.9831 | 0.8900 | 0.8749 |
| 3 | 459/472 = 0.9725 | 0.8396 | 0.8165 |
| 4 | 454/472 = 0.9619 | 0.7921 | 0.7619 |
| 5 | 449/472 = 0.9513 | 0.7473 | 0.7109 |
| 6 | 444/472 = 0.9407 | 0.7050 | 0.6631 |
| 7 | 439/472 = 0.9301 | 0.6651 | 0.6186 |
| 8 | 433/472 = 0.9174 | 0.6274 | 0.5756 |
| 9 | 427/472 = 0.9047 | 0.5919 | 0.5355 |
| 10 | 421/472 = 0.8919 | 0.5584 | 0.4981 |
合計 \(\ddot{}a_{30:\overline{10}|} \approx 6.99\) 元。
(3) 同期的 10 年確定年金為 \(a_{\overline{10}|} = \dfrac{1 - v^{10}}{i} = \dfrac{1 - 0.5584}{0.06} \approx 7.36\) 元。生存年金 6.99 元低於確定年金 7.36 元，差額正是「中途死亡即停付」的成本——這個差額完全可以從生命表算出，而不需要任何主觀判斷。
Halley 之後：從表格到力學#
Halley 的表靠手工整理，且只依賴一個城市五年的資料。十八世紀的改進方向有二。其一，平滑與公式化：de Moivre（1725《年金論》）假設死亡率隨年齡線性上升，得到封閉的年金公式，便於計算；Makeham（1860）再引入與年齡無關的常數項， \(l_x\) 的對數成為二次函數，至今仍是壽險經驗表的標準形式。其二，資料規模化：英國 1841 年起的人口普查與 1858 年起的死亡登記使生命表從「一城五年」進化到「全國連續監測」。第三條路線是觀念上的：把 \(d_x / l_x\) 的極限解讀為瞬時死亡率——死力（force of mortality）
使生命表與 5.2 節的連續時間隨機過程接軌：死亡不再是逐年跳動的表格，而是一條可用微積分處理的危險率曲線。
前因後果與驅動關係#
驅動力是兩個實務問題：政府年金以不分齡的固定價格出售、民間人壽保險以主觀風險議價。兩者都急需「不同年齡的存活機率」這個公共標準。Halley 的回答分兩步：先用乾淨的教區資料建立 \(l_x\) 表，再用貼現因子（本書 1.2 節的現值概念）把未來的條件支付折算成現值。生命表 × 貼現函數 = 保險定價，這個乘法結構至今未變。
理論成熟後的反向改變：1762 年成立的倫敦公平人壽（Equitable Life Assurance Society）是第一家以分齡保費、並按精算準備金經營的保險公司，從此壽險成為一门以數學為核心的產業（8.2 節把定價推進到均衡保費與準備金）。各國監管也隨之制度化：生命表成為法定準備金與償付能力計算的基準。 twentieth 世紀末，生命表思想外溢到整個風險管理：信用風險中的「違約強度」（7.3 節 Merton 模型的約化形式）、操作風險的事件頻率模型，本質上都是 \(\mu_x\) 的推廣。與《機率統計》的連結同樣直接：生命表是大數法則最早的實務應用——單一個人的死亡不可預測，但十萬人的死亡人數高度可預測（8.3 節將量化這一點的極限）；而《經濟的數學》第 9 章的不確定性決策，正是把 Halley 的「公平價格」擴充到風險厭惡下的效用評價。本書 2.2 節的債券現金流是「必然支付的生存年金去掉死亡項」，讀者可對照：保險數學就是把 1.2 篂的時間價值再乘上一層機率。
練習#
- 用例題中的 \(l_x\) 值計算：30 歲者在 35 歲前死亡（即未活到 35 歲）的機率，以及 35 歲者活到 40 歲的機率。兩者為何不能直接相加或比較？
- 設 \(i = 5\%\) ，用例題的 \(l_x\) 值重算 30 歲者十年生存年金現值，並說明利率下降時生存年金與確定年金的差距如何變化。
- Halley 觀察到「20 歲前後死亡率最低」。若死力 \(\mu_x\) 呈 U 形，說明為何 \({}_{10}p_{30}\) 與 \({}_{10}p_{15}\) 的大小關係不能只看 \(\mu_{30}\) 與 \(\mu_{15}\) 的局部比較。
- 某政府以「12 年購買額」（即年金每年 1 元、售價 12 元）向所有年齡出售終身年金。用例題的表格與 6% 利率估算：30 歲者買入是否划算？70 歲者呢（ \(l_{70}=78,\ l_{80}=20\) ，假設 80 歲後無人存活，用粗略內插）？
- 思考題：Neumann 的原始動機是反駁占星迷信，Halley 的成果卻誕生於此。討論：一項統計工作的「原始問題」與它最終改變的產業（壽險、年金、人口政策）可以相距多遠？這對今天以 AI 預測死亡率或信貸違約的專案有何啟示？
名詞速查表#
- 生命表：按年齡列出存活人數 \(l_x\) 與死亡人數 \(d_x\) 的表；Halley 1693 年首創。
- 條件存活機率： \({}_n p_x = l_{x+n}/l_x\) ， \(x\) 歲者再活 \(n\) 年的機率。
- **死力 \(\mu_x\) **：瞬時死亡率， \({}_t p_x = \exp(-\int_0^t \mu_{x+s} ds)\) 。
- 生存年金：僅在受領人存活時支付的年金；其定價需逐期乘上存活機率。
- 購買年數：年金價格除以年領金額的倍數，Halley 時代的報價習慣。
年表速查#
- 1662：Graunt《死亡表的自然與政治觀察》以倫敦死亡紀錄做粗略生存分析（無定價應用）。
- 1687–1691：Neumann 整理布勒斯勞教區出生死亡紀錄。
- 1693：Halley 於皇家學會哲學彙報發表布勒斯勞生命表與 6% 利率年金價值表。
- 1725：de Moivre《年金論》以線性死亡率假設導出年金公式。
- 1762：倫敦公平人壽成立，首次以分齡精算保費經營壽險。
- 1860：Makeham 修正死力公式，成為經驗生命表標準形式。
- 1858 起：英國全面死亡登記，生命表進入全國規模監測時代。
（本節完）