8.2 精算現值與均衡保費#

本章導言#

Halley（8.1 節）解決了「一張年金值多少錢」，但一張人壽保單的生命週期遠比年金複雜：保戶逐年繳費、保險公司在死亡那一年賠款、兩件事發生在隨機的不同時點。這逼出三個新問題：把「死亡才付的錢」折現期望，得到精算現值；讓繳費與賠款期望相抵，得到均衡保費；以及保單存續期間公司「欠保戶多少」的帳面量——準備金。1762 年倫敦公平人壽第一次把這套數學付諸商業經營，壽險從投機性的「賭死期」變成跨越數十年資產負債表的長期契約。本節以最簡的離散模型建立這三個概念。

保額的精算現值#

考慮 \(n\) 年期定期壽險： \((x)\) 歲被保人若在第 \(k+1\) 年內死亡（ \(k = 0, 1, \ldots, n-1\) ），保險公司在年末賠 1 元。設 \(\dfrac{1}{p_x}\) 記號下的存活機率來自生命表 \(l_x\) （8.1 節），死亡機率 \({}_{k|}q_x = {}_k p_x \cdot q_{x+k}\) （先活過 \(k\) 年、再在隔年死亡）。保額 1 元的精算現值為

\[ A_{x:\overline{n}|}^{\,1} = \sum_{k=0}^{n-1} v^{k+1}\, {}_{k|}q_x, \qquad v = \frac{1}{1+i}. \]

與確定年金（1.2 節）的差別只有一項：每一筆未來賠款都乘上「它真的會發生」的機率。若把保額改為 \(b\) 元，現值乘以 \(b\) 即可——精算定價是線性的。

均衡保費：等價原則#

保戶不願一次繳清，改為每年年初繳保費 \(\pi\) 、最多繳 \(n\) 年（存活才繳）。繳費流的精算現值為

\[ \ddot{a}_{x:\overline{n}|} = \sum_{k=0}^{n-1} v^k\, {}_k p_x. \]

等價原則（equivalence principle）：保險公司的期望支出現值等於期望收入現值，即

\[ \pi \cdot \ddot{a}_{x:\overline{n}|} = b \cdot A_{x:\overline{n}|}^{\,1} \quad\Longrightarrow\quad \pi = b \cdot \frac{A_{x:\overline{n}|}^{\,1}}{\ddot{a}_{x:\overline{n}|}}. \]

這個 \(\pi\) 稱為淨保費（net premium）：它不含佣金、行政費用與利潤——那些要靠再加載（loading）處理，本節先聚焦純風險成本。

例題 8.2.1：三年期定期壽險，被保人現年 \(x\) 歲，保額 1000 元，年利率 \(i = 5\%\) 。生命表給出逐年死亡率 \(q_x = 0.10,\ q_{x+1} = 0.15,\ q_{x+2} = 0.20\) 。求 (1) 保額精算現值；(2) 分三年繳、存活才繳的年度淨保費；(3) 第一年末的準備金。

解： (1) 三段死亡時點的機率與折現：

\[ A^1 = 1000\left[ v\,q_x + v^2\, p_x q_{x+1} + v^3\, p_x\, p_{x+1}\, q_{x+2} \right], \]

其中 \(v = 0.952381,\ p_x = 0.90,\ p_{x+1} = 0.85\) 。逐項：

第 1 年死亡： \(0.952381 \times 0.10 = 0.095238\)
第 2 年死亡： \(0.907029 \times 0.90 \times 0.15 = 0.122449\)
第 3 年死亡： \(0.863838 \times 0.90 \times 0.85 \times 0.20 = 0.132167\)

合計 \(A^1 = 1000 \times 0.349854 = 349.85\) 元。

(2) 繳費現值 \(\ddot{a} = 1 + v\,p_x + v^2\,p_x\,p_{x+1} = 1 + 0.952381 \times 0.90 + 0.907029 \times 0.765 = 1 + 0.857143 + 0.693877 = 2.55102\) 。故

\[ \pi = \frac{349.85}{2.55102} \approx 137.14 \ \text{元}. \]

(3) 準備金 \({}_1 V\) 定義為「第一年末、尚未來臨的賠款減未來保費」的期望現值。若被保人活到 \(x+1\) 歲，剩餘契約是兩年期、死亡率 \(q_{x+1}=0.15,\ q_{x+2}=0.20\) 的定期險，而只剩兩期保費可收：

\[ A^1_{x+1:\overline{2}|} = 1000\,[\,0.952381 \times 0.15 + 0.907029 \times 0.85 \times 0.20\,] = 1000 \times (0.142857 + 0.154195) = 297.05, \]

\[ \ddot{a}_{x+1:\overline{2}|} = 1 + 0.952381 \times 0.85 = 1.809524, \qquad {}_1 V = 297.05 - 137.14 \times 1.809524 = 297.05 - 248.17 = 48.88 \ \text{元}. \]

解讀：第一年末，公司手上平均每張有效保單「該存下」48.88 元。早年收到的保費（137 元）遠超當年的期望賠款，超出部分不是利潤，而是替老年期高死亡率預存的負債——壽險公司的資產負債表上，這筆責任準備金通常占負債的絕大部分。準備金還滿足著名的遞推關係

\[ ({}_k V + \pi)(1+i) = {}_{k+1}V + (b - {}_{k+1}V)\, q_{x+k}, \]

讀者可用例題數字驗證 \(({}_0V+\pi)(1+i) = \pi(1.05) = 144.00\) 與右端 \({}_1V + (1000-48.88)\times 0.10 = 48.88 + 95.11 = 143.99\) 相符（尾差來自四捨五入）。

超越等價：風險、費用與分紅#

等價原則把保單變成一個期望值相抵的合約，但三個實務力量打破它。其一，風險厭惡與資本成本：期望相抵不保證結果相抵，公司必須持有資本吸收波動，資本有成本，於是定價加進風險邊際——這與《經濟的數學》第 9 章期望效用理論中「公平賭局仍不願參與」是同一件事。其二，費用與逆選擇：實務保費在淨保費上加分位附加（fixed loading）與比例附加；而投保人比保險公司更了解自己的健康，死亡率表必須經核保修正。其三，隨機利率與分紅：本節固定 \(i\) ，但長期契約橫跨數個利率週期（6.2 節的隨機利率模型正是為此而生），分紅保單與投資型保單把利率風險部分轉回保戶。

前因後果與驅動關係#

驅動力：公平人壽創辦人 Dodson 與數學家 Simpson 在 1740–1750 年代發現，按 Halley 式自然保費（每年按當年死亡風險收費）收費，老年保戶將繳不起保費而退出——必須把逐年上升的保費拉平，這就是均衡保費的實務起源。拉平之後，早年多收的錢形成準備金，於是「如何提列與投資準備金」成為新問題，直接催生了精算師職業（英國 1848 年成立精算學會）。

理論成熟後的反向改變：等價原則成為全球壽險監管的基準——法定準備金、償付能力額度（如歐盟 Solvency II、各地 RBC 制度）都建立在「精算現值 − 期望保費流」的框架上。二十世紀後期，同一套數學被搬進退休金：確定給付制年金計畫的提撥率，就是 \(\pi = A/\ddot{a}\) 的變形。與本書其他章節的連結：貼現因子 \(v\) 依賴利率曲線（6.1 節），利率隨機化後精算現值本身成為隨機變數（6.2 節）；準備金遞推式與動態規劃同構，和 5.3 篂的馬丁格爾定價「今日價值 = 條件期望」共享同一結構；長壽風險的證券化（長壽債券）則把 8.1 篂的生命表再次搬進資本市場。與兄弟書：《會計的數學》第 2、7 章的估計與提列，在保險公司帳上具體化為準備金提列的假設差異；《機率統計》的大數法則保證了「期望賠款」可用真實賠款逼近，其規模極限是下一節的主題。

練習#

用例題的死亡率與 \(i=5\%\) ，計算「保額 1000 元、三年期生存保險」（活滿三年領 1000 元）的精算現值，並驗證：定期壽險現值 + 生存保險現值 = 兩全保險現值 = \(1000\, v^3\, {}_3p_x\) 。
將例題改為分五年繳費（存活才繳，後兩年死亡率設 \(q_{x+2}=0.20,\ q_{x+3}=0.25,\ q_{x+4}=0.30\) ，保額改為 1000 元三年後到期的兩全險），重算均衡保費。
驗證例題第二年末準備金遞推式： \(({}_1V + \pi)(1+i) = {}_2V + (1000 - {}_2V) q_{x+1}\) ，先求 \({}_2V\) 再檢查等式。
某公司以淨保費販售，但行政費用為每年保費的 15% 加固定 5 元。說明此時收到的「毛保費」序列如何破壞等價原則下的準備金遞推式，並寫出修正後的遞推式（費用由哪一年的保費承擔？）。
思考題：等價原則以「期望值」定價，但保險公司破產是因為壞結果而非壞期望。請論證：為何單靠等價原則無法保證永續經營，必須再加上資本要求與再保險（8.3 篂）？這與《經濟的數學》第 9 章風險厭惡理論有何對應？

名詞速查表#

精算現值：未來隨機支付的折現期望值 \(A\) （保額）與 \(\ddot{a}\) （年金）。
等價原則：期望支出現值 = 期望收入現值的定價基準。
淨保費 / 毛保費：僅含風險成本的保費 / 再加計費用與利潤的實收保費。
**責任準備金 \({}_k V\) **：時點 \(k\) 上未來給付減未來保費的期望現值，保險公司的核心負債。
遞推關係： \(({}_kV+\pi)(1+i) = {}_{k+1}V + (b-{}_{k+1}V)q_{x+k}\) ，準備金的動態方程。

（本節完）