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8.3 再保險與大數法則的極限#

本章導言#

保險的全部商業模式建立在一條定理上：大數法則。單一房屋會不會失火不可預測，一百萬棟房屋的失火總數卻精確到小數點。用 8.1–8.2 篂的語言：保險公司把十萬個獨立風險池化（pooling），總賠款的相對波動以 \(1/\sqrt{n}\) 的速度消失，於是「以期望賠款定價」變成可以依賴的生意。但大數法則有兩個前提：風險獨立、樣本夠多。地震一次震垮整座城市的房屋、颶風同時損毀整個海岸線、 pandemic 同時提高全國死亡率——相關性使 \(1/\sqrt{n}\) 的稀釋完全失效。當風險超出單一公司資本的承受範圍，市場給出的答案是再保險：保險公司自己再去保險。本節用方差代數量化池化的極限，再展示再保險如何在極限之外重新分配風險，最後以 1903 年 Lundberg 的破產理論把「多安全才算安全」變成一個可計算的數。

池化能稀釋什麼：方差代數#

設 \(n\) 張同質保單，第 \(j\) 張的賠款為 \(X_j\) ，獨立同分布， \(E[X_j] = \mu\) 、 \(Var(X_j) = \sigma^2\) 。總賠款 \(S_n = \sum X_j\) 滿足

\[ E[S_n] = n\mu, \qquad Var(S_n) = n\sigma^2, \qquad CV(S_n) = \frac{\sqrt{n}\,\sigma}{n\mu} = \frac{1}{\sqrt{n}}\cdot\frac{\sigma}{\mu}. \]

相對波動以 \(1/\sqrt{n}\) 消失——這是《機率統計》大數法則的保險版本。但若風險相關，設兩兩相關係數為 \(\rho\) ，則 \(Var(S_n) = n\sigma^2 + n(n-1)\rho\sigma^2\) ；當 \(\rho > 0\) ， \(CV \to \sqrt{\rho}\,\sigma/\mu\) ：稀釋停在 \(\sqrt{\rho}\) ，永遠不到零。1970 年代後巨災（地震、颶風、疫情）損失屢創新高，正是因為巨災風險的 \(\rho\) 接近 1，池化無效，必須靠再保險與資本市場分擔。

再保險的三種基本形態#

再保險合約把每張保單（或整個業務組合）的賠款在「原保險人」與「再保險人」之間切分。三種典型切法：

形態 再保人承擔 特點
成數再保（quota share） 每案賠款的固定比例 \(\alpha\) 分享保費也分享波動，最簡單
溢額再保（surplus） 超過自留額 \(M\) 的金額 高保額標的自留，險種內靈活
超額賠款（excess of loss, XL） 每案超過自留額 \(d\) 的部分（設上限） 只切尾部，保費最貴

設單案賠款 \(X\) ，自留函數 \(g(X)\) ，則原保險人自留賠款 \(g(X)\) 、再保人承擔 \(X - g(X)\) 。三種形態對應三個 \(g\) ：成數 \(g(X) = (1-\alpha)X\) ；XL 每案 \(g(X) = \min(X, d)\) 。

例題 8.3.1：某保險組合有 100 張獨立保單，每張一年內賠款 50 萬元的機率為 0.02（否則零賠款）。求 (1) 總賠款的期望與標準差；(2) 成數再保 \(\alpha = 40\%\) 後自留總賠款的期望與標準差；(3) 若改為每案自留額 30 萬元的 XL 再保，自留總賠款的期望與標準差，並比較兩者。

解： (1) 單案 \(E[X] = 0.02 \times 500000 = 10000\) ； \(Var(X) = 0.02 \times 0.98 \times 500000^2 = 4.9 \times 10^9\) 。100 張獨立： \(E[S] = 1{,}000{,}000\) ， \(SD(S) = \sqrt{100 \times 4.9 \times 10^9} = 700{,}000\) ，變異係數 \(0.70\) ——池化使相對波動從 \(4.9\) 降到 \(0.7\) 。

(2) 成數 40%：自留 \(0.6 S\) ，故 \(E = 600{,}000\) ， \(SD = 0.6 \times 700{,}000 = 420{,}000\) ，CV 降為 \(0.42\) 。成數再保按比例切掉期望與波動，改善有限。

(3) XL 自留每案 \(g(X) = \min(X, 300000)\) ： \(E[g] = 0.02 \times 300000 = 6000\) ，故總期望 \(600{,}000\) （與成數 40% 相同！因為兩者再保人平均分擔同樣的金額）。方差： \(E[g^2] = 0.02 \times 300000^2 = 1.8 \times 10^9\) ， \(Var(g) = 1.8\times 10^9 - 6000^2 = 1.764 \times 10^9\) ，100 張： \(SD = \sqrt{1.764 \times 10^{11}} = 420{,}000\) ，CV \(= 0.42\) 。此例中兩者波動相同，因為 50 萬的賠款要嘛全在 30 萬以下（無切分差異）、要嘛全在超額段；一般而言 XL 切掉的是尾部，當賠款分布右尾更重（如火災、巨災），XL 以相同的期望移轉換來更大的尾部削減——這正是 XL 保費遠貴於成數的原因。

Lundberg 破產理論：多安全才算安全#

1903 年，瑞典學生 Filip Lundberg 的博士論文首創集體風險理論：保險公司盈餘 \(U(t) = u + ct - S(t)\) （ \(u\) 為初始資本、 \(c\) 為保費收入率、 \(S(t)\) 為累積賠款），破產機率 \(\psi(u) = P(\exists t: U(t) < 0)\) 。Cramér 於 1930 年代證明：若單案賠款是均值 \(\mu\) 的指數分配、保費含安全加載 \(\theta\) （即 \(c = (1+\theta)\lambda\mu\) ， \(\lambda\) 為案發率），則破產機率有乾淨的指數上界（Lundberg 不等式）

\[ \psi(u) \le e^{-Ru}, \qquad R = \frac{\theta}{(1+\theta)\,\mu}, \]

\(R\) 稱為調整係數（adjustment coefficient）。 \(\theta = 0.1,\ \mu = 1\) 時 \(R = 0.1/1.1 \approx 0.0909\) ：資本 20 倍均值（ \(u = 20\) ）時破產機率不超過 \(e^{-1.82} \approx 0.162\) ；資本 50 倍均值則降至 \(e^{-4.55} \approx 0.011\) 。安全是資本的指數函數——這個訊息是現代償付能力監管（如 Solvency II）的直接祖先：監管者不再問「期望上賺不賺錢」，而問「破產機率是否低於 \(10^{-3}\) 或更小」。

前因後果與驅動關係#

驅動力：再保險誕生得很早（1370 年熱那亞的貨運分保紀錄），但成為嚴謹行業靠的是兩個數學驅動的問題：一、池化在相關風險前失效（巨災、疫情）；二、即使獨立，小公司資本不足以把破產機率壓到可接受水準。大數法則給了保險業存在的許可證，方差代數與 Lundberg 理論則標出了許可證的邊界——超出邊界的風險必須轉移給再保人或資本市場。

理論成熟後的反向改變：Cramér–Lundberg 理論成為全球償付能力制度的數學骨架；1990 年代起，芝加哥期貨交易所與百慕大的再保人把巨災風險切成分額賣給資本市場——巨災債券（1997 年首批發行）把「颶風不發生」寫成付息條件，本質上是在資本市場尋找新的一批獨立承保人，因為巨災損失與金融市場報酬近似零相關，是組合理論（3.1 節）眼中的絕佳分散標的。與本書其他章節：本節的方差稀釋是 3.1 節 Markowitz 組合分散的保險版；Lundberg 的 \(e^{-Ru}\) 與 7.2 節極端值理論同屬「尾部數學」，前者看累積過程、後者看單次分布；破產機率以機率過程描述資本動態，與 6.2 節隨機利率模型共享隨機過程工具。與兄弟書：《機率統計》的大數法則與中央極限定理是本節的理論基礎；《管理的數學》第 4 章排隊論與集體風險理論同源（到達過程 + 服務/賠款過程）；《會計的數學》第 9 章的機率估計在保險中具體化為賠款準備的推估值；《經濟的數學》第 9 章說明為何即使再保後仍有殘餘風險需要風險溢價補償。

練習#

  1. 用例題 (1) 的數字：若承保 400 張（同質獨立）保單，計算總賠款期望、標準差與變異係數，驗證 CV 以 \(1/\sqrt{n}\) 縮小。
  2. 假設 100 張保單中，同一工業區的 20 張「同時全損」的相關係數為 \(\rho = 0.5\) （其餘獨立）。粗估總賠款標準差的下界如何變化，並說明為何再保人會要求工業區風險設「累積限額」（accumulation limit）。
  3. 對例題的 XL 形態，再保人每案超額部分為 \(\max(X - 300000, 0)\) 。計算其期望，並據此說明：若再保費為期望 + 30% 加載，原保險人買 XL 比買成數 40%（假設同樣加載）貴還是便宜？為何 XL 市場加載通常更高？
  4. 用 Lundberg 公式： \(\mu = 2,\ \theta = 0.2\) ，求調整係數 \(R\) ；若公司要破產機率低於 \(0.001\) ，至少需要多少初始資本（用上界估計）？
  5. 思考題：巨災債券把地震風險賣給退休基金與避險基金。請從「這些投資人是否也遭遇大數法則的極限」出發，論證巨災債券為何對全球風險分散是真淨改善，而非只是把風險換個地方堆放。

名詞速查表#

  • 池化：獨立風險合併承保，總賠款 CV 以 \(1/\sqrt{n}\) 稀釋。
  • 成數 / 溢額 / 超額賠款再保：按比例 / 按保額分段 / 按單案賠款分段分攤的再保形態。
  • 累積風險：單一事件同時觸發多張保單（地震、颶風），破壞獨立性假設。
  • **破產機率 \(\psi(u)\) **：盈餘過程 \(U(t) = u + ct - S(t)\) 首度跌破零的機率。
  • **調整係數 \(R\) **：使 \(\lambda(M_X(R) - 1) = cR\) 的正根；Lundberg 給出 \(\psi(u) \le e^{-Ru}\) 。
  • 巨災債券：以巨災不發生為付息條件的證券，將保險風險移轉至資本市場。

進階研讀：集體風險理論的三個深化場景#

場景一：調整係數的一般定義。當單案賠款不是指數分配時， \(R\) 定義為矩母函數方程 \(\lambda (M_X(R) - 1) = cR\) 的正根，且上界 \(\psi(u) \le e^{-Ru}\) 仍然成立（Lundberg 不等式不依賴分配形狀）。以例題 8.3.1 的兩點分配驗證： \(M_X(R) = 0.98 + 0.02 e^{500000R}\) ，若保費含 20% 加載（ \(c = 1.2 \lambda \mu\) ），方程變成 \(0.02(e^{500000R} - 1) = 0.2R\mu\) ，可用牛頓法數值求解。Cramér 於 1930 年代更證明：在溫和條件下 \(\psi(u) \sim Ce^{-Ru}\) ——上界不僅是界，還給出了正確的衰減率。這使「資本對數、安全線性」成為償付能力監管的基本直覺。

場景二：再保險的悖論——買得越多，破產越快？Lundberg 框架揭示一個反直覺結果：若再保費只按期望賠款定價（零加載），買再保險不會改變調整係數；若再保費含正常加載（必然如此，否則再保人虧損），過度購買成數再保會降低原保險人的 \(R\) ——因為分掉的期望利潤比分掉的尾部風險多。XL 再保只切尾部，對 \(R\) 的改善效率遠高於成數。這條 1960 年代由精算學界釐清的「再保險購買最適化」，今天以「資本效率」之名寫在每家保險公司的資本管理政策裡。

場景三：從破產機率到 Solvency II。歐盟 Solvency II（2009 年指令、2016 年實施）要求保險公司持有足夠資本，使「一年內資產負債表耗盡」的機率低於 0.5%（99.5% 信賴水準的 VaR，7.1 節的語言）；正在推進的風險邊際計算更用到了 7.2 節的極端值理論。監管從 Lundberg 的漸近上界走到顯式的 99.5% 分位數，用的是同一個問題——「多安全才算安全」——只是把漸近答案換成了可計算的分位數。

深化問答三則#

問：保險公司若把所有保單分散到十個不相關險種，調整係數會變嗎？ 答：會。組合的單位風險資本下降，等價於在 Lundberg 框架中「每單位期望賠款所對應的尾部風險」下降；這是 3.1 節 Markowitz 分散在保險資本上的版本。但注意時限：分散改善的是靜態資本效率，若十個險種在金融危機中同時惡化（賠款上升與投資下跌同步），靜態相關性會失效——這正是 9.3 節危機中的教訓。

問：巨災債券付息與「地震不發生」掛鉤，投資人買它不就是在賭博？ 答：從單一標的看是賭博，從組合看是保險數學的鏡像：巨災損失與股市、債市報酬的相關係數接近零（災害不擇經濟週期），在 Markowitz 意義上它是稀有的「真分散」資產；退休基金用極小的組合權重換取尾部事件的負相關保護。真正的風險在模型：災害頻率被低估時，票息補償不夠——與 9.3 節 copula 低估相關性的失敗同型。

問：大數法則要求 \(n\) 多大才「夠大」？ 答：由 CV 公式倒推：若要總賠款 CV 低於 \(\varepsilon\) ，需要 \(n \ge (\sigma/\mu)^2 / \varepsilon^2\) 。以例題（ \(\sigma/\mu = 4.9\) ）為例， \(\varepsilon = 0.1\) 時需要 \(n \ge 2401\) 張保單。這條公式讓「承保能量」從口號變成可計算的門檻，也解釋了為何車險（低單案賠款、高件數）是池化的天堂，而航空責任險（單案數十億、件數極少）必須靠再保險與資本市場。

問：溢額再保與成數再保，保險公司如何選擇？ 答：溢額以「自留額 \(M\) 」切高保額標的：保額 50 萬以下的房屋全自留、1 億的工業廠房只留 500 萬。它的優勢是按危險單位而非按比例分配資本——自留風險集中在小額、高件數、池化效率高的標的（大數法則的友岸），把池化無效的大額風險讓給再保人。代價是行政複雜：每一張保單都要算自留額分攤，而現代承保系統已把這變成一行程式碼。成數則簡單透明，適合新公司借再保人信譽起步、或險種整體盈虧需共擔的場合。

場景四：再保險市場的週期。再保費率呈明顯的循環（soft/hard market）：大災年後費率跳升、連年無災則競爭壓價。以資本視角看，這是調整係數模型的宏觀版——再保資本存量是慢變數，災損是快變數，費率圍繞「資本成本」振盪。1992 年安德魯颶風（約 250 億美元損失，當時史上最大）後全球再保費率翻倍；2005 年卡翠娜風災季與 2017 年颶風季後亦然。保險數學不僅定價個別保單，也解釋了整個行業的景氣循環為何與天災日曆同步。

深化問答補遺#

問：巨災模型（cat model）估計的是什麼？ 答：巨災債券與 XL 定價的核心工具是 catastrophe model：以「事件頻率 × 強度 × 暴露 × 脆弱度」四層蒙地卡羅模擬產出數萬年的合成災損史，再對超額損失曲線配適 GPD（7.2 節）。它的整個推論鏈都是模型——歷史颶風紀錄不過百年，模擬出來的一萬年是外插的產物。2017 年後模型對次層級風暴與氣候變遷漂移的修正，成為再保定價爭議的主戰場：極端值理論告訴我們尾部該用什麼函數，但函數的參數由物理假設餵養——保險數學的最外圈，坐著氣候科學。

（本節完）