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10.1 無套利期限結構模型#

本章導言#

6.2 節的 Vasicek 與 CIR 模型回答了「利率如何隨機演化」，6.3 節的 HJM 框架回答了「整條遠期曲線如何隨機演化」。但它們都留下同一個缺口：模型的參數是從歷史資料估出來的，模型的今天未必等於市場的今天——模型推算的債券價格可能與市價差了幾個基點，於是模型內不存在套利、模型與市場之間卻處處是套利。對交易櫃檯而言，這是致命缺陷：他們需要的不是「一個像樣的利率世界」，而是以今天市價為錨、未來演化不產生免費午餐的模型。1986 年 Ho–Lee 論文與 1990 年 Black–Derman–Toy（BDT）二叉樹開創了這條路線——無套利期限結構模型：把今天的貼現函數（6.1 節）當作邊界條件，反解出使樹上所有債券價格與市價吻合的漂移項。本節以 Ho–Lee 二叉樹為主軸，展示「校準」如何把理論模型變成交易工具，並說明這類模型與均衡模型（6.2 節）的分工。

無套利定價的座標系#

由 5.3 節：無套利時存在等價馬丁格爾測度 \(Q\) ，任何衍生品的今日價格是其折現支付的期望：

\[ P(0, T) = E^Q\left[ \exp\left( -\int_0^T r_t\, dt \right) \right]. \]

短期利率模型只須指明 \(r_t\) 在 \(Q\) 下的動態。均衡模型（Vasicek）先在真實測度下設定經濟動機（均數回復），再換測度，今天的曲線是模型的輸出；無套利模型反其道而行：今天的曲線是輸入，模型參數被調整到完全貼合市價。Ho–Lee（1986）的形式最乾淨：在 \(Q\) 下

\[ dr_t = \theta(t)\, dt + \sigma\, dW_t, \]

漂移 \(\theta(t)\) 是時間的確定函數，其唯一職責就是彎曲模型，使每個 \(P(0,T)\) 都落在市價上。直觀地說： \(\theta(t)\) 吸收了「市場認為未來平均利率是什麼」的全部資訊——期貨曲線隱含的預期，被搬進了漂移項。

二叉樹上的校準：一步步算出來#

Ho–Lee 的離散版：利率在每個節點往上移 \(+\delta\) 、往下移 \(-\delta\) ，風險中立機率 \(q = 1/2\) ； \(\delta\) 對應波動參數 \(\sigma\) ，而「每層節點的整體水平」由漂移 \(\theta(t)\) 控制。校準就是調整每層水平，使樹價 = 市價。

例題 10.1.1：市場資料：一年期利率 \(r_0 = 5\%\) ，二年期零息債市價對應殖利率 \(4.7\%\) （即 \(P(0,2) = 1/1.047^2 = 0.91228\) ）。取 \(\delta = 1\%\) （一年後利率為 \(\pm 1\%\) 對稱移動），風險中立機率 \(1/2\) 。校準 Ho–Lee 樹的漂移。

解：樹的結構： \(t=1\) 時利率為 \(r_u = 5\% + \delta_1 + \delta\) 與 \(r_d = 5\% + \delta_1 - \delta\) （ \(\delta_1\) 為待定的水平調整）。二年期零息債的模型價：

\[ P(0,2) = \frac{1}{1.05}\left[ \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+r_u} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+r_d} \right]. \]

令 \(m = 0.05 + \delta_1\) （兩節點的平均毛利額），則中括號 \(= \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{m + 0.01} + \dfrac{1}{m - 0.01} \right) = \dfrac{m}{m^2 - 0.0001}\) 。令其等於 \(0.91228 \times 1.05 = 0.95790\) ：

\[ \frac{m}{m^2 - 0.0001} = 0.95790 \;\Longrightarrow\; 0.95790\, m^2 - m + 0.0000958 = 0. \]

取小根 \(m = \dfrac{1 - \sqrt{1 - 4 \times 0.95790 \times 0.0000958}}{2 \times 0.95790} = \dfrac{1 - 0.999816}{1.91580} \approx 0.04406\) 。

即 \(\delta_1 = m - 0.05 \approx -0.0094\) ：第一層節點利率為 \(4.41\%\) 與 \(3.41\%\) 。解讀：市場二年期殖利率（4.7%）低於一年期利率（5%），曲線下彎，故模型必須把未來利率往下壓（ \(\delta_1 < 0\) ）——負的漂移正是「市場預期」在模型裡的化身。驗證： \(\frac{1}{1.05}\left( \frac{1}{2 \times 1.0441} + \frac{1}{2 \times 1.0341} \right) = \frac{0.47886 + 0.48352}{1.05} = 0.91227 \approx 0.91228\) 。✓

有了校準好的樹，任何利率衍生品都可用倒推法定價：利率上限（caplet）在 \(t=1\) 的支付為 \(\max(r_1 - K, 0)\) ，取 \(K = 4\%\) 、名目 1 元，則節點支付為 \(0.41\%\) 與 \(0\) ，價格為

\[ \frac{1}{1.05}\left[ \frac{1}{2}(0.0041) + \frac{1}{2}(0) \right] = 0.00195. \]

同一棵樹可以定價債券選擇權、利率下限、swaption——校準一次，全產品線共用，這是無套利模型成為櫃檯標準的原因。

均衡模型與無套利模型的分工#

兩類模型不是優劣關係，而是用途關係：

均衡模型（Vasicek/CIR） 無套利模型（Ho–Lee/BDT/HJM）
今天的曲線 模型輸出（可能偏離市價） 輸入（強制貼合）
漂移的來源 經濟假設（均數回復、風險溢價） 市場價格反解
適合用途 長期預測、資產配置、宏觀分析 衍生品定價與避險、做市
漂移的形態 結構參數 \(\kappa, \bar{r}\) 自由函數 \(\theta(t)\) （可能不合理地漂）

無套利模型的代價是 \(\theta(t)\) 完全由市價反解，可能抖動到沒有經濟含義——模型「聽話」但失去了解釋力。BDT 樹進一步讓波動 \(\sigma(t)\) 也隨期限變動，以貼合利率上限市場所隱含的波動微笑；HJM（6.3 節）則把無套利校準推到極致：整條遠期利率曲線本身成為狀態變數，無套利條件化為漂移的顯式約束（漂移由波動結構決定，不可自由設定）。

前因後果與驅動關係#

驅動力：1970–80 年代利率衍生品市場爆炸（FRA、swap、cap/floor、債券期貨期權），每一筆交易都需要「與市價一致」的估值與希臘字母（4.3 節）。均衡模型的 5 個基點誤差，在百億名目的 swap 櫃檯上就是數百萬美元的錯帳；而會計與監管要求逐日盯市的估值必須可複製——「模型必須再生出今天市價」從學術偏好變成合規必需。《會計的數學》第 10 章的公允價值計量階層，正把「以模型估值的資產」與「以市場報價的資產」明確分級，而無套利模型是前者能站得住的前提。

理論成熟後的反向改變：無套利校準成為所有衍生品櫃檯的標準流程：每天開盤前用市場曲線與波動率重建樹或格點，日內所有估值從同一棵樹出發——模型從「描述世界」變成「與世界同步的計算器」。監管同樣吸收了這套語言：IFRS 13 與巴塞爾架構要求估值技術可觀察、可驗證，恰是無套利思想（輸入市場價格、輸出一致價格）的制度化。與本書其他章節：本節是 6.1 節貼現函數的動態版（曲線今天的形狀成為未來隨機演化的邊界條件）、5.3 節馬丁格爾定價在利率領域的完成式；6.2 節均衡模型與本節的分工，正如 3.3 節 CAPM（均衡）與 4.2 節 Black–Scholes（無套利）的分工——金融數學的兩大傳統在利率領域重演。HJM 之後的市場模型（LIBOR 市場模型，1990 年代末）把校準對象從零息債擴充到每個遠期利率本身。與兄弟書：《經濟的數學》第 8 章的總體模型說明利率的經濟含義（均衡模型那一側），《管理的數學》第 2 章的預測方法說明為何「預測曲線」與「校準曲線」是兩種不同品質的資訊。

練習#

  1. 用例題的樹（ \(r_u = 4.41\%,\ r_d = 3.41\%\) ），計算三年期零息債的模型價，假設第二層水平再下移 0.3%（即 \(m_2 = m - 0.003\) 、 \(\delta\) 不變），並與市價 \(1/1.045^3\) 比較還差多少。
  2. 把例題的市場二年期殖利率改為 5.3%（曲線上彎），重新解出 \(m\) 與 \(\delta_1\) ，並說明漂移項的符號如何反映曲線形狀。
  3. 用例題校準的樹，定價 \(K = 4.2\%\) 的一年期 caplet，以及「一年後以 97 元買入二年期零息債」的債券選擇權（需先算節點上二年期債的價格）。
  4. 證明：Ho–Lee 在 \(Q\) 測度下 \(r_t\) 是常態分配，故模型允許利率為負。1980 年代這被視為小瑕疵，2010 年代卻成為必需（負利率政策）。說明：模型選擇如何被宏觀環境反轉。
  5. 思考題：無套利模型把今天的市價當成無誤的真值，但市價本身可能被流動性或壓力扭曲（如 9.2、9.3 節）。請論證：當曲線本身「錯了」，無套利校準是把錯誤複製到所有衍生品，還是忠實反映市場風險？櫃檯應否保留「模型價 vs 市價」的獨立均衡模型對照？

名詞速查表#

  • 無套利期限結構模型：以今日市價為邊界條件、反解漂移使模型再生市價的利率模型。
  • Ho–Lee（1986）： \(dr = \theta(t)dt + \sigma dW\) ；首個解析可解的無套利模型。
  • BDT（1990）：利率與波動皆隨期限校準的二叉樹模型。
  • 校準（calibration）：調整模型參數使模型價格吻合市價的流程。
  • 均衡 vs 無套利：曲線是輸出還是輸入；預測用前者、定價用後者。
  • 遠期測度：以到期日 \(T\) 的債券為計價物的測度，使 \(P(t,T)/B_t\) 為馬丁格爾。

進階研讀：無套利框架的三個深化場景#

場景一：解析形式的 Ho–Lee 貼現函數。Ho–Lee 模型有封閉解： \(T\) 期零息債價格為

\[ P(0, T) = \exp\left( -r_0 T - \int_0^T \theta(s)(T-s)\, ds + \frac{\sigma^2 T^3}{6} \right), \]

末項 \(\sigma^2 T^3 / 6\) 是 Jensen 效應（凸性修正）：利率隨機時，期望的折現因子高於用平均利率折現的結果。這個立方項是無套利模型的指紋——它不隨校準消失，因為它來自隨機性本身而非參數選擇。實務上，櫃檯系統在樹與解析式之間互驗，正是例題那類手算的規模化版本。

場景二：HJM 的漂移約束——無套利的極限形式。6.3 節的 HJM 把整條遠期利率曲線 \(f(t,T)\) 當狀態變數，無套利條件化為顯式約束：遠期利率的漂移完全由波動結構決定， \(\alpha(t,T) = \sigma(t,T) \int_t^T \sigma(t,s)\, ds\) （一維因子情形）。換言之，在 HJM 世界裡「校準漂移」這件事不存在——自由度全部被無套利吃掉，剩下唯一要選的是波動率函數。Ho–Lee 恰是 HJM 取 \(\sigma\) 為常數的特例，BDT 對應 \(\sigma\) 隨期限變動的特例：三個模型是一條光譜上的三點，無套利框架越完整，模型自由度越少、被市價牽著走的程度越低。

場景三：LIBOR 市場模型與「校準對象的遷移」。1990 年代末，Brace–Gaterek–Musiela 與 Miltersen–Sandmann–Sondermann 把校準對象從零息債價格搬到每個遠期利率本身（LIBOR 市場模型，LMM）：令每個遠期利率在對應的遠期測度下服從對數常態——這直接吻合上限市場的交易慣例（caplet 以 Black 公式報價）。LMM 使「市場怎麼報價，模型就怎麼說話」，是無套利哲學的終點：模型不再試圖超越市場，只求與市場同構。2008 年後 LIBOR 醜聞與退場使模型遷移到 SOFR 等無風險利率，但架構原封不動——機制換血、數學常存。

深化問答三則#

問：校準到市價，會不會把市價的錯誤「洗白」成模型輸出？ 答：會，這是無套利模型最常被批評之處。例題中 \(\theta(t)\) 完全由兩個市價決定，若二年期市價因流動性溢價而偏低，模型就把「低」複製到所有以它為錨的衍生品估值。業界的防線是平行模型：同一棵樹之外保留均衡模型（6.2 節）給出「經濟上應有的曲線」，兩者的差額（model-to-market spread）被監控而非消滅——無套利負責一致性，均衡模型負責合理性。

問：為什麼無套利模型允許 \(\theta(t)\) 任意抖動，而 Vasicek 不允許？ 答：因為兩者對「漂移」的定位不同。Vasicek 的漂移是經濟結構（均數回復速度與長期水準），必須有穩定含義；Ho–Lee 的漂移是配平項——它吸收今天曲線與模型基礎形狀之間的全部差額，形狀抖動是曲線本身的寫照。這正是「輸入 vs 輸出」分工的另一面：把曲線變成輸入，就必須接受漂移失去解釋力。

問：負利率時代（2014–2022 歐洲）暴露了這些模型的什麼問題？ 答：Ho–Lee 與 BDT 的利率是常態（可負），在 1990 年代被視為瑕疵，負利率政策下反而成為必需；而 CIR 的平方根擴散（利率非負）在歐元區無法校準——模型族的「物理合理性」標準被宏觀環境整個翻轉。這提醒我們：模型的邊界條件不只是數學偏好，更是時代簽名。本書 6.2 節的模型分類表，讀者如今可以加上「允許負利率？」這一欄。

（本節完）