1.1 1785年：庫倫定律與平方反比力的測量#

1. 問題：靜電是「性質」還是「力」？#

十八世紀的電學是博物館式的研究：摩擦起電、萊頓瓶放電、人體帶電的表演。電被視為一種「流體」的性質，沒有量的語言。要讓電成為工程對象，必須先回答：

兩個帶電體之間的作用力，遵循什麼定量規律？

這不只是電學問題。牛頓的萬有引力（1687）已證明平方反比律統治天體；電是否也服從同一數學形式？若是，整個力學的數學工具（向量、微積分）可以直接移植。

2. 數學：扭秤、平方反比與場論的前奏#

查爾斯·庫倫（Charles-Augustin de Coulomb）1785 年以扭秤實驗建立：

\[ \vec F = k_e \frac{q_1 q_2}{r^2}\,\hat r, \qquad k_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8.99\times 10^9\ \text{N·m}^2/\text{C}^2 \]

兩個決定性的數學後果：

疊加原理：力是向量，多電荷的合力是向量和——

\[ \vec F_i = k_e q_i \sum_{j\ne i} \frac{q_j}{r_{ij}^2}\,\hat r_{ij} \]

線性疊加使電學從「單對電荷」升級為「任意電荷分佈」的計算問題。

場的定義：單位電荷所受之力 \(\vec E = \vec F/q\) ，於是「電荷產生場、場作用於電荷」的分析架構成形。由平方反比直接推出高斯定律：

\[ \oint \vec E\cdot d\vec A = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} \]

這在數學上是散度定理的物理表述——向量微積分成為電學的母語。

graph LR
    A[牛頓力學的數學工具] --> B[扭秤實驗]
    B --> C[平方反比定律]
    C --> D[疊加原理]
    D --> E[場E的定義]
    E --> F[高斯定律/位勢論]

位勢論的引入：由 \(\nabla\times\vec E = 0\) （靜電情況），可寫 \(\vec E = -\nabla V\) ，代入高斯定律得Poisson 方程：

\[ \nabla^2 V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0} \]

拉普拉斯、Poisson、Green 在 1810–1828 年代發展的位勢論，起初是為了重力，但立刻成為靜電計算的核心——邊值問題、Green 函數、鏡像法從此是電機工程師（如後來的傳輸線、電容設計）的基本功。

3. 後果#

電學定量化的起點：庫倫的實驗方法（扭秤）與單位系統（後來的 CGS→SI）使電可以「測量、計算、預測」。
靜電器件的設計：電容器 \(C = Q/V\) 的計算、絕緣設計、後來的電子管與微結構（MEMS）的靜電致動，全部由 Poisson 方程出發。
方法論的模板：「實驗定出定律 → 疊加 → 場方程」成為電學每一分支（磁、電磁感應、半導體）重複的劇本。

4. 回饋#

平方反比的完美立刻暴露新問題：庫倫定律描述靜止電荷；電荷一旦流動（電流），磁場出現，兩者的關係無法由靜電學推出。「流動的電」需要新的數學——這直接指向電流、電路（1.2 節）與最終的馬克士威方程組（2.2 節）。另一方面，疊加原理的線性結構，使電路的代數化（1.2、1.3 節）成為可能——線性，是貫穿全書的最重要數學性質。

5. 延伸思考#

庫倫扭秤測 \(r^2\) 的指數精確度僅約 ±0.04；現代實驗（如 Williams–Faller–Hill 1971）以空腔共振把指數限縮到 \(2 \pm 2.7\times10^{-16}\) ——為何物理學家如此執著於「平方反比的偏差」？（與光子質量上限相連）
若電力不是平方反比，高斯定律失效，電磁波不存在——宇宙的化學與生物都不可能。數學形式的「巧合」有多深？