0250 - Diophantus 算術#

案件摘要#

約 250 年，亞歷山卓的丟番圖（Diophantus）寫下《Arithmetica》（《算術》），專門追捕方程的整數解。這樁案件埋下了三顆種子：費馬頁邊的最後定理、希爾伯特第 10 問題的不可解性，以及「丟番圖方程」這門延續兩千年的偵探學。

前因 -- 為什麼會有這個案子#

希臘傳統的斷點：希臘數學（歐幾里得、阿基米德）以幾何為本，量是連續的；丟番圖反其道而行，只問有理數／整數的解，是「算術派」的復興。
巴比倫遺產：兩河流域的數值代數經希臘化世界吸收，丟番圖接棒並加入符號。
題庫式著作：《Arithmetica》原有 13 卷（現存約 6 卷希臘本＋後來發現的 4 卷阿拉伯本），含約 290 道題，每題都是一個「懸案」。

線索與推理 -- 數學式、程式、理論#

線索一：丟番圖方程#

凡求整數解的多項式方程，今日統稱丟番圖方程（Diophantine equation）。最基本的是線性型：

\[ ax + by = c \quad (a, b, c \in \mathbb{Z}) \]

定理（線性丟番圖方程可解性）： \(ax + by = c\) 有整數解 \(\iff \gcd(a,b) \mid c\) 。

推理：由擴展歐幾里得演算法可找到 \((x_0, y_0)\) 使 \(ax_0 + by_0 = \gcd(a,b)\) ；兩邊乘 \(c/\gcd(a,b)\) 即得特解。通解為

\[ x = x_0 + \frac{b}{d}\,t, \qquad y = y_0 - \frac{a}{d}\,t, \qquad t \in \mathbb{Z},\ d = \gcd(a,b) \]

書中的典型問題：「把 100 分成兩部分，使一數的三分之一加另一數的四分之一等於 20」，即

\[ \frac{x}{3} + \frac{100-x}{4} = 20 \;\Rightarrow\; 4x + 3(100-x) = 240 \;\Rightarrow\; x = -60+100 \cdot t\text{ 型的整數問題} \]

線索二：早期符號記法#

丟番圖發明了「縮寫代數（syncopated algebra）」： - 未知數記為 \(\varsigma'\) （s 的變體，「the number」的縮寫）。 - 平方 \(\Delta^Y\) （dynamis）、立方 \(K^Y\) （kybos）。 - 減法有專門符號（倒寫的 \(\psi\) ），加法用併列。

這是從巴比倫「純文字代數」走向現代符號代數的中間化石——但尚未有通用係數符號（韋達 1591 年才補上），每題的係數都是具體數字。

線索三：費馬的頁邊（1637 年偵探轉折）#

費馬讀巴赫校訂本《Arithmetica》第二卷第 8 題（把平方數分成兩個平方數之和： \(x^2 + y^2 = z^2\) 的平方版）時，在頁邊寫下：

「將一個立方數分成兩個立方數、一個四次冪分成兩個四次冪，或一般地，將高於二次的冪分成兩個同次冪，是不可能的。我發現了一個絕妙的證明，可惜這裡空白太小，寫不下。」

即費馬最後定理：

\[ x^n + y^n = z^n \text{ 在 } n \ge 3 \text{ 時無正整數解} \]

這條頁邊筆記成為數學史上最著名的懸案，直到 1995 年才由 Wiles 借助橢圓曲線與模形式結案——而橢圓曲線的研究工具，正是從《Arithmetica》的整數解傳統生長出來的。

線索四：希爾伯特第 10 問題（1970 年結案：不可解）#

1900 年希爾伯特提出第 10 問題：是否存在演算法，對任意丟番圖方程判定它有無整數解？

1970 年，Matiyasevich（綜合 Davis、Putnam、Robinson 的工作）證明：這樣的演算法不存在。關鍵在於：圖靈機可計算的（遞歸可列舉）集合，恰好就是丟番圖集合——兩者等價，而停機問題不可判定，故丟番圖方程的判定性也不可解。多項式方程的整數解搜索，本質上是不可判定問題。

Python：擴展歐幾里得解線性丟番圖方程#

def ext_gcd(a, b):
    """回傳 (g, x, y) 使 a*x + b*y = g = gcd(a,b)"""
    if b == 0:
        return (a, 1, 0)
    g, x, y = ext_gcd(b, a % b)
    return (g, y, x - (a // b) * y)

def linear_diophantine(a, b, c):
    """解 a*x + b*y = c 的整數解；無解回傳 None"""
    g, x0, y0 = ext_gcd(a, b)
    if c % g != 0:
        return None
    k = c // g
    return (x0 * k, y0 * k, g)

x, y, g = linear_diophantine(12, 42, 6)
print(f"12*{x} + 42*{y} = {12*x + 42*y}")  # 12*(-3) + 42*1 = 6

結案 -- 後果與影響#

丟番圖分析成為數論的核心分支：佩爾方程、橢圓曲線、堆疊數論皆源於此。
費馬頁邊 → 350 年懸案 → Wiles 1995 年結案，催生了現代模形式與 Galois 表示理論的黃金時代。
希爾伯特第 10 問題的「不可解」結案，是邏輯、可計算性與數論的世紀交會，證明數論中存在天然的「不可判定」地帶。
符號記法的演化路線：巴比倫（文字）→ 丟番圖（縮寫）→ al-Khwarizmi（文字復興）→ 韋達、笛卡兒（現代符號）。

關鍵人物與文獻#

Diophantus of Alexandria（約 200–284）：「代數學之父」（與 al-Khwarizmi 共享此頭銜的競爭者）。
Pierre de Fermat（1607–1665）：頁邊筆記製造了 350 年懸案。
Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson, Yuri Matiyasevich：1970 年結案希爾伯特第 10 問題。
Diophantus, Arithmetica；T. Heath, Diophantus of Alexandria, 1910。