1800BC - 巴比倫方程#

案件摘要#

約公元前 1800 年，美索不達米亞的抄寫員在泥板上留下了解方程的「犯罪紀錄」：Plimpton 322 記載了畢氏三元數表，BM 13901 記載了二次方程的系統解法。這是人類史上最早的代數案件——比「代數」一詞的誕生早了近三千年。

前因 -- 為什麼會有這個案子#

土地測量與建築：尼羅河與兩河流域的洪水沖刷田界，重測土地需要計算面積與邊長，常常導出「已知面積與邊長關係，求邊」的問題。
抄寫員學校（edubba）：寺廟學校訓練書吏，習題集就是「教科書」，泥板上的題目與解法示範即為教學材料。
六十進位制：巴比倫人使用 base-60 記數（今天一小時 60 分、一分 60 秒即其遺跡），分數運算極為方便，使複雜計算可行。

線索與推理 -- 數學式、程式、理論#

線索一：BM 13901 的「配方」解法#

泥板上的問題是文字敘述的，例如：「正方形面積與邊長之和為 \(\frac{3}{4}\) ，求邊長。」即

\[ x^2 + x = \frac{3}{4} \]

巴比倫書吏的解法（翻譯成現代符號）是：

取係數的一半： \(\frac{1}{2}\)
自乘： \(\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\)
加上常數： \(\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1\)
開方： \(\sqrt{1} = 1\)
減去係數的一半： \(1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)

這正是配方法（completing the square）：

\[ x^2 + bx = c \;\Rightarrow\; x = \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 + c} - \frac{b}{2} \]

泥板原文沒有任何符號，每一步都是「取……」「自乘……」的文字指令，並附具體數字驗算。書吏只給出正根——因為「邊長」不能是負的，而負數概念當時根本不存在。

線索二：Plimpton 322 的畢氏三元數表#

這塊著名泥板是一張表，列著 \((a, b, c)\) 滿足

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

的整數組（畢氏三元數），如 \((3,4,5)\) 、 \((5,12,13)\) 、 \((119,120,169)\) ……最令人震驚的是：這些三元數按 \(\frac{c}{b}\) （餘弦的倒數）由大到小精確排序，且數值是精確的六十進位有限小數。

推理：古巴比倫人很可能知道參數公式

\[ a = 2uv, \quad b = u^2 - v^2, \quad c = u^2 + v^2 \]

其中 \(u, v\) 是「互為倒數」的六十進位正則數（只含 2, 3, 5 的質因數），這保證了表中的數都是精確有限小數。這暗示他們掌握了一種系統性的生成演算法，而非瞎猜。

線索三：無符號、無零的代數#

沒有等號、沒有未知數記號、沒有負號、沒有零（位置記數中留空代表零，但零不是一個「數」）。
所有方程都靠「說」：『我減去一個正方形面積的三分之一……』
這種修辭代數（rhetorical algebra）依然能表達一般方法，證明「代數思維」先於「代數符號」存在。

Python 重現：巴比倫式二次方程#

import math

def babylon_quadratic(b, c):
    """解 x^2 + b*x = c（巴比倫配方解法，僅回傳正根）"""
    half = b / 2
    s = math.sqrt(half**2 + c)   # 開方
    x = s - half                 # 減去係數一半
    return x

# BM 13901 原題：x^2 + x = 3/4
x = babylon_quadratic(1, 0.75)
print(f"邊長 x = {x}")          # 0.5
print(f"驗算 x^2+x = {x**2 + x}")  # 0.75

# 生成畢氏三元數（Plimpton 322 的方法）
def pythagorean_triple(u, v):
    return (2*u*v, u*u - v*v, u*u + v*v)

print(pythagorean_triple(12, 5))  # (120, 119, 169) —— 泥板中的一列

結案 -- 後果與影響#

結案陳詞：這是史上最早的代數案件。罪證確鑿——泥板上的配方步驟與今日課本一致，只是「兇手」用文字而非符號犯案。
配方法經希臘（幾何代數化）、阿拉伯（al-Khwarizmi）一路傳承，最終成為韋達、笛卡兒符號代數中的一元二次方程求根公式

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Plimpton 322 證明畢氏定理在畢達哥拉斯之前一千多年就已被數值化掌握。
巴比倫六十進位制至今仍活在我們的時鐘與經緯度中。

關鍵人物與文獻#

匿名巴比倫書吏：真正的「第一位代數學家」，連姓名都沒留下。
Plimpton 322（哥倫比亞大學藏）：畢氏三元數表，約 1800 BC。
BM 13901（大英博物館藏）：二次方程習題集，約 1800 BC。
Neugebauer, O. The Exact Sciences in Antiquity, 1952 —— 現代亞述學對這些泥板的權威解讀。