1815-Cauchy 置換群#

案件摘要#

1815 年，Cauchy 在《École Polytechnique 雜誌》發表關於置換（substitutions）的系列論文， 首次把「根的置換」當成獨立的數學物件系統性研究，並證明了著名的 Cauchy 定理： 若質數 \(p\) 整除群 \(G\) 的階，則 \(G\) 必有 \(p\) 階元素（從而存在 \(p\) 階子群）。 置換群因此成為群論史上第一個被認真研究的具體實例。

前因 -- 為什麼會有這個案子#

• Lagrange 的先聲（1770）：Lagrange 在《Réflexions sur la résolution algébrique des équations》中 研究三次、四次方程時發現：方程的根在置換下形成的函數

其「可分辨的取值數」必整除 \(n!\) （後世稱 Lagrange 定理的雛形）。 例如三次方程中 \(x_1^2 x_2 + x_2^2 x_3 + x_3^2 x_1 - x_1 x_2^2 - x_2 x_3^2 - x_3 x_1^2\) 在 \(3! = 6\) 個置換下只取 2 個值。 - Lagrange 自己認為這只是解方程的技巧，沒有把置換本身當作研究主體。 - 1799–1813 年 Ruffini 嘗試證明五次方程無根式解，被迫發展置換的性質（如 \(S_5\) 沒有 60 階... 不對， 他研究了置換的封閉性與階數），但因工具粗糙而未完成。 - 案件問題：如果置換是解方程的核心，那麼置換系統本身有什麼結構定律？

線索與推理 -- 數學式、程式、理論#

線索一：循環記法#

Cauchy 引入了沿用至今的循環記法（cycle notation）：

意即 \(1 \mapsto 2,\ 2 \mapsto 3,\ 3 \mapsto 1\) 。任一置換都可分解成互不相交循環的乘積：

循環分解的唯一性（不計順序）是置換群的第一條「結構定理」，而

這直接給出 Cauchy 定理在 \(S_n\) 中的具體樣貌。

線索二：Cauchy 定理（1815）#

Cauchy 定理：設 \(G\) 為有限群，質數 \(p \mid |G|\) ，則 \(G\) 中存在階為 \(p\) 的元素。

證明骨架（現代版本，考慮集合 \(X = \{(a_1,\dots,a_p) \in G^p : a_1 a_2 \cdots a_p = e\}\) ）： - \(|X| = |G|^{p-1}\) ，因為前 \(p-1\) 個元素可任選，最後一個被乘積方程鎖定。 - 令循環群 \(C_p = \langle \rho \rangle\) 作用在 \(X\) 上（循環輪換各分量）。 - 不動點個數由軌道公式給出：

故 \(p \mid |\text{Fix}|\) 。而 \(|\text{Fix}| \ge 1\) （ \((e,\dots,e)\) 是不動點）， 且 \(|\text{Fix}| \ne 1\) （否則 \(p \nmid 1\) 矛盾），所以存在 \(a \ne e\) 使 \((a,\dots,a) \in X\) ， 即 \(a^p = e\) 。 \(\blacksquare\) - 推論： \(\langle a \rangle\) 是 \(G\) 的 \(p\) 階子群。

線索三：置換群 = 群論的第一個實例#

Cauchy 證明了： \(n\) 個文字的置換共有 \(n!\) 個，在合成運算下封閉、有單位元、有反元素：

這正是 1854 年 Cayley 給出抽象群定義前的「具體模型」。 Cauchy 在 1815–1845 年間寫下大量置換群論文，證明了如「兩個 3-循環的乘積類型」等大量結果， 為 Galois 理論備好了語言。

Python 實作：置換群（循環分解與群運算）#

from functools import reduce
from math import gcd

def perm_from_cycles(n, *cycles):
    """由循環記法建立置換（tuple p, p[i] = i 的像）"""
    p = list(range(n))
    for c in cycles:
        for k, x in enumerate(c):
            p[x] = c[(k + 1) % len(c)]
    return tuple(p)

def to_cycles(p):
    """分解回互不相交循環（略去固定點可加回）"""
    seen, cycles = set(), []
    for i in range(len(p)):
        if i in seen or p[i] == i:
            seen.add(i); continue
        c, j = [], i
        while j not in seen:
            seen.add(j); c.append(j); j = p[j]
        cycles.append(tuple(c))
    return cycles

def compose(t, s):
    """(t∘s)(x) = t[s[x]]"""
    return tuple(t[s[x]] for x in range(len(s)))

def inverse(p):
    r = [0] * len(p)
    for i, x in enumerate(p): r[x] = i
    return tuple(r)

def order(p):
    """置換的階 = lcm(循環長度)"""
    L = [len(c) for c in to_cycles(p)]
    return reduce(lambda a, b: a * b // gcd(a, b), L, 1)

# --- 實驗：S3 全體 ---
S3 = sorted({perm_from_cycles(3, c)
             for c in [(), (0,1), (0,2), (1,2), (0,1,2), (0,2,1)]})
print(len(S3), "個元素")                      # 6
sigma = perm_from_cycles(3, (0,1,2))
print(to_cycles(sigma), "order =", order(sigma))  # [(0,1,2)] order = 3
print(compose(perm_from_cycles(3,(0,1)), perm_from_cycles(3,(1,2))))
# (0 1)(1 2) = (0 2 1)

# 驗證 Cauchy 定理：3 | 6，S3 中有 3 階元素
assert any(order(p) == 3 for p in S3)

理論定義#

定義（置換群）： \(\mathrm{Sym}(X)\) 為集合 \(X\) 上所有雙射在合成運算下的群； 其子群稱為置換群。當 \(X = \{1,\dots,n\}\) 時記 \(S_n\) ， \(|S_n| = n!\) 。

結案 -- 後果與影響#

• 循環記法成為通用語言，至今每本群論教科書都在使用。
• Cauchy 定理是有限群論的基石，其逆定理（Sylow 定理的特例）開啟了 1872 年 Sylow 的子群理論。
• 置換群提供了第一個具體群實例，直接導致：
• Galois（1832）用置換群判定方程可解性；
• Cayley（1854）提出抽象群定義；
• Jordan（1870）《Traité des substitutions》將置換群論系統化。
• 解方程的問題從此轉化為研究對稱性的問題——這是代數學的第一次典範轉移。

關鍵人物與文獻#