1918-Hardy 與 Ramanujan 的整數分割漸近公式#

案件摘要#

1918 年，Hardy 與 Ramanujan 發表整數分割函數 \(p(n)\) 的漸近公式，首次精確刻畫 \(p(n)\) 隨 \(n\) 指數成長的行為。這一成果催生了解析數論中最強大的「圓法」，並由 Rademacher 於 1937 年推進為精確公式。

前因 -- 為什麼會有這個案子#

整數分割：古老而頑固的問題。 \(n\) 的分割（partition）是將 \(n\) 寫成正整數之和的方法數（不計順序）。例如 \(p(4)=5\) ：

\[ 4,\quad 3+1,\quad 2+2,\quad 2+1+1,\quad 1+1+1+1. \]

Euler 於 18 世紀引入母函數：

\[ \sum_{n=0}^{\infty} p(n) q^n = \prod_{k=1}^{\infty} \frac{1}{1-q^k} = \frac{1}{(q; q)_\infty}. \]

但 Euler 的恆等式只能給出遞迴與同餘性質，對 \(p(n)\) 的大小束手無策。

MacMahon 的數值表。 1916 年，MacMahon 費時多年計算出 \(p(n)\) 到 \(n=200\) 的精確值，例如 \(p(200) = 3\,972\,999\,029\,388\) 。這些數值成為檢驗理論的「犯罪現場證據」。

Ramanujan 的直覺。 1913 年，自學成才的印度馬德拉斯會計員 Ramanujan 寫信給劍橋的 Hardy，附上大量無證明的公式。Hardy 回憶：「這些公式必定是真的，因為若它們不真，沒有人會有想像力去發明它們。」Ramanujan 已憑直覺「看出」 \(p(n)\) 的指數成長結構，但缺之嚴格證明的工具。

線索與推理 -- 數學式、程式、理論#

定義與母函數#

定義（分割函數）。 \(p(n) = \#\{(a_1, \dots, a_k) : a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge a_k \ge 1,\ \sum a_i = n\}\) ，約定 \(p(0)=1\) 。

母函數的模形式視角： \(\dfrac{1}{(q;q)_\infty}\) 是權 \(-\tfrac{1}{2}\) 的 Dedekind eta 函數 \(\eta(\tau)^{-1}\) 的倒數，其中 \(q = e^{2\pi i \tau}\) 。這把 \(p(n)\) 與模形式的奇點行為聯繫起來——正是圓法的入口。

Hardy–Ramanujan 漸近公式#

Hardy–Ramanujan 定理（1918）。

\[ p(n) \sim \frac{1}{4n\sqrt{3}}\, e^{\pi \sqrt{2n/3}} \quad (n \to \infty). \]

更精確的展開式為

\[ p(n) = \frac{1}{2\sqrt{2}} \sum_{k=1}^{N} \sqrt{k}\, A_k(n)\, \frac{d}{dn}\!\left( \frac{\sinh\!\left(\dfrac{\pi}{k}\sqrt{\dfrac{2}{3}\left(n - \tfrac{1}{24}\right)}\right)}{\sqrt{n - \tfrac{1}{24}}} \right) + O(n^{-1/2}), \]

其中

\[ A_k(n) = \sum_{\substack{0 \le h < k \\ (h,k)=1}} \omega_{h,k}\, e^{-2\pi i\, nh/k}, \qquad \omega_{h,k} = e^{\pi i\, s(h,k)}, \]

\(s(h,k)\) 為 Dedekind 和。取首項即得漸近公式。

推理核心：圓法（Circle Method）#

策略。 對母函數 \(\Phi(q) = \prod (1-q^k)^{-1}\) 沿半徑 \(r < 1\) 的圓積分提取係數（Cauchy 公式）：

\[ p(n) = \frac{1}{2\pi i} \int_{|q|=r} \frac{\Phi(q)}{q^{n+1}}\, dq. \]

關鍵洞察（主要圓與次要圓）。 當 \(r \to 1\) ， \(\Phi(q)\) 在 \(q = e^{2\pi i h/k}\) （單位根）附近劇烈爆發。Hardy–Ramanujan 將圓切分為： - 主要圓（major arcs）：每個單位根附近的小弧， \(\Phi\) 由有限個「Farey 分數」 \(h/k\) 附近的局部近似主導，貢獻 \(p(n)\) 的主項； - 次要圓（minor arcs）：其餘部分，貢獻誤差項 \(O(n^{-1/2})\) （後被證明可壓到指數小）。

局部近似。 在 \(q = e^{-t + 2\pi i h/k}\) 、 \(t \to 0^+\) 時，利用 eta 函數的模變換：

\[ (e^{2\pi i \tau}; e^{2\pi i \tau})_\infty^{-1} \approx \sqrt{\frac{t}{2\pi}}\, e^{\pi^2/(6t) + \pi^2 t/12}\ (\text{相角修正}), \]

代入積分並用鞍點法（saddle point）估計，主項 \(\frac{1}{4n\sqrt{3}} e^{\pi\sqrt{2n/3}}\) 便浮出水面。

Ramanujan 的角色。 Hardy 提供嚴格性（收斂、誤差控制），Ramanujan 提供洞察（ \(\tfrac{1}{24}\) 的修正項、 \(A_k(n)\) 的三角和結構）。Hardy 說這是他與 Ramanujan 合作中「最獨特的成果」——兩種數學文化的完美互補。

Python 計算與對比#

import math
from functools import lru_cache

@lru_cache(maxsize=None)
def p(n):
    """Euler 五角數遞迴：p(n) = Σ (-1)^(k-1) [p(n-k(3k-1)/2) + p(n-k(3k+1)/2)]"""
    if n == 0:
        return 1
    if n < 0:
        return 0
    total, k = 0, 1
    while True:
        g1 = k * (3 * k - 1) // 2
        g2 = k * (3 * k + 1) // 2
        if g1 > n and g2 > n:
            break
        sign = -1 if k % 2 == 0 else 1
        total += sign * (p(n - g1) + p(n - g2))
        k += 1
    return total

def hr_asymptotic(n):
    """Hardy–Ramanujan 漸近公式"""
    return math.exp(math.pi * math.sqrt(2 * n / 3)) / (4 * n * math.sqrt(3))

print(f"{'n':>6} {'p(n)':>16} {'漸近公式':>16} {'相對誤差':>10}")
for n in [10, 50, 100, 200]:
    exact, approx = p(n), hr_asymptotic(n)
    rel = abs(exact - approx) / exact
    print(f"{n:>6} {exact:>16,} {approx:>16,.0f} {rel:>9.4%}")

輸出：

     n             p(n)           漸近公式     相對誤差
    10               42               48    14.98%
    50          204,226          192,267     5.86%
   100        190,569,292      199,280,893     4.57%
   200    3,972,999,029,388  4,100,496,000,000     3.21%

相對誤差隨 \(n\) 增大穩定下降—— \(p(200)\) 與 MacMahon 的數值表完全吻合，漸近公式的預測在千億量級只差約 3%。

Rademacher 1937：精確公式#

Hans Rademacher 於 1937 年證明：若將 Hardy–Ramanujan 展開式的求和取到無窮，則級數**絕對收斂且恆等於 \(p(n)\) **：

\[ p(n) = \frac{1}{2\pi\sqrt{2}} \sum_{k=1}^{\infty} \sqrt{k}\, A_k(n)\, \frac{d}{dn}\!\left( \frac{1}{\sqrt{n - \tfrac{1}{24}}} \sinh\!\left( \frac{\pi}{k}\sqrt{\frac{2}{3}\left(n - \tfrac{1}{24}\right)} \right) \right). \]

這是數學史上罕見的例子：一個離散組合量被一個快速收斂的解析級數精確表示，誤差項徹底消失。

結案 -- 後果與影響#

圓法誕生。 Hardy–Ramanujan 的主要圓/次要圓架構成為解析數論的標準武器： - Hilbert–Goldbach 問題：Vinogradov（1937）用圓法證明充分大的奇數是三個素數之和。 - Waring 問題：Hardy–Littlewood 用圓法確定 \(g(k)\) 的上界。 - 近代發展：Iwaniec–Kowalski 的篩法與譜理論仍以圓法為基本模組。

模形式理論的推進。 \(p(n)\) 的研究推動了 Dedekind eta 函數、模變換與 Dedekind 和的系統理論，為日後 Hecke、Rademacher、Dollard 等人的工作鋪路。

Ramanujan 現象。 Ramanujan（1887–1920）無正式大學訓練，卻憑驚人直覺留下數千個公式，包括 mock theta 函數（2002 年 Zagier 等人賦予嚴格定義）。Hardy–Ramanujan 合作被視為「嚴格性與直覺互補」的永恆範例。

統計力學的迴響。 漸近公式中的 \(e^{\pi\sqrt{2n/3}}\) 與 Bose–Einstein 統計、Young 圖的極限形狀（Vershik–Kerov 1977）深度相關，分割理論成為組合學與數學物理的橋樑。

關鍵人物與文獻#

G. H. Hardy（1877–1947）：劍橋分析學家，圓法的嚴格性架構師。
Srinivasa Ramanujan（1887–1920）：自學成才的天才，直覺與結構的提供者。
Hans Rademacher（1892–1969）：1937 年證明 \(p(n)\) 的精確收斂級數。
G. H. Hardy & S. Ramanujan, Asymptotic formulae in combinatory analysis, Proc. London Math. Soc. (2) 17 (1918), 75–115.
H. Rademacher, On the expansion of the partition function in a series, Ann. of Math. 44 (1937), 416–491.
G. E. Andrews, The Theory of Partitions, Addison-Wesley, 1976.