1925-Weyl 李群表示論#

案件摘要#

1925–1926 年，Hermann Weyl 在 Peter 的啟發下，用「最大權理論 + Weyl 特徵標公式」完整解決了半單李代數的不可約表示分類問題。連續對稱性的離散密碼被破譯，表示論從此成為數學與物理的共同語言。

前因 -- 為什麼會有這個案子#

1870 年代 Jordan 奠定有限群論基礎（參照 1870-Jordan群論），但那是離散的對稱。
Sophus Lie（1870–1890）研究連續變換群，產生李群 \(G\) 與其切空間上的李代數 \(\mathfrak{g}\) ：微分方程的對稱性理論。
Killing（1888）與 Cartan（1894）完成半單李代數的分類： \(A_n, B_n, C_n, D_n\) 與例外型 \(E_6, E_7, E_8, F_4, G_2\) 。
1900 年代初，Cartan、Hurwitz 等已求出部分表示（如 \(\mathfrak{sl}_2\) ），但「一般半單李代數的所有不可約表示是什麼？」仍是懸案。
1925 年：量子力學誕生（Heisenberg、Schrödinger），物理迫切需要一套處理連續對稱性的數學——Weyl 應聲出手。

線索與推理 -- 數學式、程式、理論#

線索一：李群與李代數#

李群 \(G\) 的李代數定義為單位元處的切空間，配上換位括號：

\[ \mathfrak{g} = T_e G, \qquad [X, Y] = XY - YX \]

例如 \(SU(2)\) 的李代數 \(\mathfrak{su}(2)\) 由反 Hermitian 無跡矩陣生成，常用基為：

\[ \sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix},\quad \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix},\quad \sigma_3 = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix} \]

滿足 \([\sigma_1, \sigma_2] = 2\sigma_2 \cdot (-1)\cdots\) （即著名對易關係 \([J_1,J_2]=J_3\) 型）。李群非交換，但李代數把問題「線性化」——這是破案的顯微鏡。

線索二：根系、Weyl 群與權格#

取 Cartan 子代數 \(\mathfrak{h}\) （極大交換），在其對偶 \(\mathfrak{h}^*\) 上： - 根系 \(\Phi\) ：使 \(\mathfrak{g}\) 的伴隨分解中出現特徵空間 \(\mathfrak{g}_\alpha\) 的非零權 \(\alpha\) 。 - Weyl 群 \(W\) ：由各 \(\alpha\) 的反射 \(s_\alpha(\lambda) = \lambda - 2\frac{(\lambda,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}\alpha\) 生成的有限反射群。 - 權格 \(P \subset \mathfrak{h}^*\) ： \(W\) 不變的整格；支配權 \(\lambda\) 滿足 \((\lambda, \alpha^\vee) \ge 0\) （對所有單根 \(\alpha\) ）。

最高權定理：半單 \(\mathfrak{g}\) 的每個有限維不可約表示都有唯一最高權 \(\lambda\) ，且 \(\lambda\) 是支配整權；反之每個支配整權給出唯一 \(V_\lambda\) 。分類問題化為格點計數！

線索三：Weyl 特徵標公式#

表示的特徵標 \(\chi_\lambda(g) = \mathrm{tr}(g|V_\lambda)\) 完全決定表示。Weyl 證明（在 maximal torus \(T\) 上）：

\[ \chi_\lambda = \frac{\sum_{w \in W} \epsilon(w)\, e^{w(\lambda+\rho)}}{\sum_{w \in W} \epsilon(w)\, e^{w\rho}}, \qquad \rho = \frac{1}{2}\sum_{\alpha \in \Phi^+} \alpha \]

其中 \(\epsilon(w) = \det(w) = (-1)^{\ell(w)}\) 是 Weyl 群元素的符號。分子是「反對稱化」，分母是 Weyl 分母恆等式。取 \(\lambda = 0\) 即得 \(|T|\) 的體積公式（Weyl 積分公式之源）。

檢驗： \(\mathfrak{sl}_2\) 時 \(W = \{1, s\}\) ，公式給出 \(\chi_n = e^{n\alpha} + e^{(n-2)\alpha} + \cdots + e^{-n\alpha}\) ——正是 \(n+1\) 維不可約表示的特徵標，與角動量理論 \(j = 0, \tfrac12, 1, \ldots\) 完全吻合。

程式碼：Python numpy 實作 \(\mathfrak{su}(2)\) 的表示矩陣與特徵標#

import numpy as np

# su(2) 的角動量生成元：自旋 j 表示（維度 2j+1）
def spin_rep(j):
    n = int(round(2 * j)) + 1          # 維度
    m = np.arange(j, -j - 1, -1)       # m = j, j-1, ..., -j
    Jz = np.diag(m).astype(complex)
    # J+ 上升算子：J+|j,m> = sqrt(j(j+1)-m(m+1)) |j,m+1>
    Jp = np.zeros((n, n), dtype=complex)
    for k in range(n - 1):
        Jp[k, k + 1] = np.sqrt(j * (j + 1) - m[k + 1] * (m[k] + 1))
    Jm = Jp.conj().T
    Jx = (Jp + Jm) / 2
    Jy = (Jp - Jm) / (2j)
    return Jx, Jy, Jz

# 驗證對易關係 [Jx, Jy] = i Jz
Jx, Jy, Jz = spin_rep(1.5)
print(np.allclose(Jx @ Jy - Jy @ Jx, 1j * Jz))   # True

# 特徵標：沿 maximal torus（即 exp(theta Jz)）求跡
def character(j, theta):
    n = int(round(2 * j)) + 1
    m = np.arange(j, -j - 1, -1)
    return sum(np.exp(1j * theta * mi) for m_i in m for mi in [m_i])

# Weyl 公式預測：chi_j(theta) = sin((2j+1)theta/2) / sin(theta/2)
import math
theta = 0.7
print(character(1.5, theta),
      math.sin(2 * theta) / math.sin(theta / 2))   # 相同（2j+1=4）

這段程式正是物理課本裡的角動量矩陣——數學的「權」就是物理的「磁量子數 \(m\) 」。

結案 -- 後果與影響#

半單李代數表示論完全解決：分類（最高權）+ 個數（特徵標公式）+ 生成（Verma 模，後由 Bernstein–Gelfand–Gelfand 發揚）。
Weyl 1928 年出版《群論與量子力學》（Gruppentheorie und Quantenmechanik），把對稱性變成物理的組織原理：角動量 = \(SO(3)\) 表示、同位旋、週期表的殼層結構。
Weyl 積分公式、Peter–Weyl 定理成為緊群調和分析的基石。
表示論向無限維（單位表示、Langlands 綱領）與量子群（Drinfeld 1990 菲爾茲獎）擴張，至今仍是數學最活躍的交叉地帶。

關鍵人物與文獻#

Sophus Lie：連續群（李群）理論創始人（參照 1870-Jordan群論）。
Wilhelm Killing / Élie Cartan：半單李代數分類（1888 / 1894）。
Hermann Weyl：The Theory of Groups and Quantum Mechanics（1928，英譯 1931）；"Theorie der Darstellung kontinuierlicher halbeinfacher Gruppen"（1925–26，Math. Zeitschrift）。
F. Peter & H. Weyl：Peter–Weyl 定理（1927）。