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1748 - Euler 公式（複指數：萬用基底的前奏）#

案件摘要#

1748 年，Euler 在《無窮分析引論》(Introductio in analysin infinitorum) 中寫下數學史上最美的公式之一：

\[ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta. \]

表面上是複數與三角函數的聯姻，實際上卻埋下了 250 年後整個訊號處理的基石： 複指數 \(e^{i\omega t}\) 是線性系統的本徵函數。傅立葉轉換偵探案的「兇器」在此提前出土。

前因 -- 為什麼會有這個案子#

  • 級數的黃金時代：Newton 與 Leibniz 之後，數學家熱衷把函數展開為冪級數 \(\sin\theta = \theta - \theta^3/3! + \cdots\) 。
  • 複數的地位曖昧：複數被視為「想像的」計算工具，缺乏幾何與分析的正當性。
  • Euler 的偵探直覺：他在求冪級數時大膽對比兩個級數：
\[ e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \cdots,\qquad \cos x + i\sin x = \left(1-\frac{x^2}{2!}+\cdots\right) + i\left(x - \frac{x^3}{3!}+\cdots\right) \]

兩式逐項相同——兇手現形： \(e^{ix} = \cos x + i\sin x\) 。

線索與推理 -- 數學式、程式、理論#

幾何偵查：單位圓#

令 \(\theta\) 為實角， \(e^{i\theta}\) 的實部是 \(\cos\theta\) 、虛部是 \(\sin\theta\) ——它是單位圓上以角速度 \(\theta\) 旋轉的點。 令 \(\theta = \pi\) ：

\[ e^{i\pi} = -1 \quad\Longrightarrow\quad e^{i\pi} + 1 = 0, \]

五個最重要的常數在一行式中會合。

為什麼 \(e^{i\omega t}\) 是「完美嫌疑人」#

對線性時不變 (LTI) 系統，輸入 \(e^{i\omega t}\) 的輸出必為同頻率訊號：

\[ h * e^{i\omega t} = H(i\omega)\, e^{i\omega t}. \]

證明（捲積展開）：

\[ (h * e^{i\omega t})(t) = \int h(\tau) e^{i\omega(t-\tau)}\,d\tau = e^{i\omega t}\int h(\tau)e^{-i\omega\tau}\,d\tau = H(i\omega)\, e^{i\omega t}. \]

換句話說：微分方程中的求導在複指數上只是乘法——

\[ \frac{d^n}{dt^n} e^{st} = (s)^n e^{st}. \]

這使得把訊號分解成複指數之和後，任何 LTI 微分方程都變成代數方程。這是傅立葉與拉普拉斯轉換全部力量的根源。

Python 驗證：逐項級數比對與單位圓#

import numpy as np

x = 0.7
n = np.arange(0, 30)
# 直接用複指數級數逐項加總
e_series = np.sum((1j*x)**n / np.array([np.math.factorial(k) for k in n], dtype=float))
print(e_series, np.cos(x) + 1j*np.sin(x))   # 兩者一致

輸出： 

(0.7648421872844885+0.644217687237691j) (0.7648421872844885+0.644217687237691j)

結案 -- 後果與影響#

  • 複數取得分析上的正當性，日後成為電路學（相量 \(V = V_0 e^{i\omega t}\) ）、量子力學（ \(\psi = e^{-iEt/\hbar}\) ）的通用語言。
  • Euler 公式使三角級數可以改寫成複指數級數：
\[ f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{in\omega_0 t},\qquad c_n = \frac{1}{T}\int_0^T f(t)e^{-in\omega_0 t}\,dt. \]

這正是現代形式的傅立葉級數——1753 年 Bernoulli 的疊加主張（見「1753-Bernoulli疊加原理」）將獲得最強的數學武器。 - 1807 年 Fourier 的熱傳導論文（見「1807-Fourier熱傳導論文」），正是在這條線索上破案。

關鍵人物與文獻#

  • Leonhard Euler：Introductio in analysin infinitorum (1748)。
  • 相關案件：1753-Bernoulli疊加原理.md、1807-Fourier熱傳導論文.md。