1868 - Beltrami 偽球面（非歐幾何第一次「被看見」）#

import numpy as np

# 1) 曳物線與偽球面
import numpy as np
sech = lambda x: 1/np.cosh(x)   # numpy 沒有 sech，自訂
a = 1.0
u = np.linspace(0.01, 3, 50)     # 沿軸參數
r = sech(u)                       # 半徑（sech u）
x = u - np.tanh(u)                # 沿軸座標

print("曳物線旋轉體（偽球面）：")
print(f"  頂點（u→0）：半徑 = {sech(0.01):.4f} ≈ 1（尖端）")
print(f"  漸近（u→∞）：半徑 → {sech(3):.6f} → 0")
print(f"  沿軸長度（u: 0→3）= {x[-1]:.4f}\n")

# 2) 高斯曲率驗證（用第二基本形式的數值計算）
# 參數化 X(u,v) = (u - tanh u, sech u cos v, sech u sin v)
def X(u, v):
    return np.array([u - np.tanh(u), sech(u)*np.cos(v), sech(u)*np.sin(v)])

def gauss_curvature_num(u0, v0, h=1e-4):
    """數值計算高斯曲率 K = (LN - M²)/(EG - F²)"""
    Xu = (X(u0+h, v0) - X(u0-h, v0)) / (2*h)
    Xv = (X(u0, v0+h) - X(u0, v0-h)) / (2*h)
    Xuu = (X(u0+h, v0) - 2*X(u0, v0) + X(u0-h, v0)) / h**2
    Xuv = (X(u0+h, v0+h) - X(u0+h, v0-h) - X(u0-h, v0+h) + X(u0-h, v0-h)) / (4*h**2)
    Xvv = (X(u0, v0+h) - 2*X(u0, v0) + X(u0, v0-h)) / h**2
    n = np.cross(Xu, Xv)
    n = n / np.linalg.norm(n)
    E, F, G = Xu@Xu, Xu@Xv, Xv@Xv
    L, M, N = Xuu@n, Xuv@n, Xvv@n
    return (L*N - M**2) / (E*G - F**2)

print("高斯曲率驗證（應 = -1）：")
for u0 in [0.3, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0]:
    K = gauss_curvature_num(u0, 0.7)
    print(f"  u={u0}: K = {K:.4f}")
print("→ 各處 K ≈ -1（常負曲率）✓\n")

# 3) 面積驗證：A = 2πa²（有限）
# 數值積分：A = ∫∫ |Xu × Xv| du dv
def area_element(u, v):
    Xu = (X(u+1e-5, v) - X(u-1e-5, v)) / 2e-5
    Xv = (X(u, v+1e-5) - X(u, v-1e-5)) / 2e-5
    return np.linalg.norm(np.cross(Xu, Xv))

us = np.linspace(0.001, 8, 200)
vs = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
A = 0.0
for i in range(len(us)-1):
    du = us[i+1] - us[i]
    for j in range(len(vs)-1):
        dv = vs[j+1] - vs[j]
        A += area_element((us[i]+us[i+1])/2, (vs[j]+vs[j+1])/2) * du * dv

print(f"偽球面面積（u: 0→8，一整圈）= {A:.4f}")
print(f"理論值 2πa² = {2*np.pi*a**2:.4f}（u→∞ 的極限）")
print("→ 偽球面面積有限！（u→∞ 收斂到 2π）\n")

# 4) Beltrami–Klein 距離（交比公式）
def klein_distance(p, q, boundary=1.0):
    """Beltrami–Klein 距離：d = ½ ln(|AQ||BP| / |AP||BQ|)"""
    # 沿 p-q 方向求與邊界圓的交點
    d = q - p
    t_sq = p@p - (p@d)**2/(d@d)   # 垂直距離平方
    disc = np.sqrt(boundary**2 - t_sq) if t_sq < boundary**2 else 0
    center = p - (p@d)/(d@d) * d
    # 交點參數
    t1 = -(p@d)/(d@d) - disc/np.sqrt(d@d)
    t2 = -(p@d)/(d@d) + disc/np.sqrt(d@d)
    A_pt, B_pt = p + t1*d, p + t2*d
    AP, AQ = np.linalg.norm(A_pt - p), np.linalg.norm(A_pt - q)
    BP, BQ = np.linalg.norm(B_pt - p), np.linalg.norm(B_pt - q)
    return 0.5*np.log((AQ*BP)/(AP*BQ))

print("Beltrami–Klein 距離（交比公式）：")
for q in [0.2, 0.5, 0.8, 0.95]:
    d = klein_distance(np.array([0.0, 0.0]), np.array([q, 0.0]))
    print(f"  P=(0,0), Q=({q},0): d = {d:.4f}")
print("→ 靠近邊界時距離 → ∞（邊界圓是「無窮遠」）")

曳物線旋轉體（偽球面）：
  頂點（u→0）：半徑 = 1.0000 ≈ 1（尖端）
  漸近（u→∞）：半徑 → 0.099328 → 0
  沿軸長度（u: 0→3）= 2.0049

高斯曲率驗證（應 = -1）：
  u=0.3: K = -1.0000
  u=0.5: K = -1.0000
  u=1.0: K = -1.0000
  u=1.5: K = -1.0000
  u=2.0: K = -1.0000
→ 各處 K ≈ -1（常負曲率）✓

偽球面面積（u: 0→8，一整圈）= 6.2794
理論值 2πa² = 6.2832（u→∞ 的極限）
→ 偽球面面積有限！（u→∞ 收斂到 2π）

Beltrami–Klein 距離（交比公式）：
  P=(0,0), Q=(0.2,0): d = 0.2027
  P=(0,0), Q=(0.5,0): d = 0.5493
  P=(0,0), Q=(0.8,0): d = 1.0986
  P=(0,0), Q=(0.95,0): d = 1.8318
→ 靠近邊界時距離 → ∞（邊界圓是「無窮遠」）