1890 - Peano 曲線（一條線填滿整個正方形）#

import numpy as np

# 1) Hilbert 曲線的疊代構造
def hilbert_curve(order):
    """產生 Hilbert 曲線的第 order 次疊代（座標序列）"""
    def hilbert(x, y, xi, xj, yi, yj, n):
        """遞迴：從 (x,y) 出發，方向 (xi,xj) 與 (yi,yj)，n 階"""
        if n <= 0:
            pts.append((x + (xi + yi)/2, y + (xj + yj)/2))
        else:
            hilbert(x, y, yi/2, yj/2, xi/2, xj/2, n-1)
            hilbert(x + xi/2, y + xj/2, xi/2, xj/2, yi/2, yj/2, n-1)
            hilbert(x + xi/2 + yi/2, y + xj/2 + yj/2, xi/2, xj/2, yi/2, yj/2, n-1)
            hilbert(x + xi/2 + yi, y + xj/2 + yj, -yi/2, -yj/2, -xi/2, -xj/2, n-1)
    pts = []
    hilbert(0, 0, 1, 0, 0, 1, order)
    return np.array(pts)

print("Hilbert 曲線的疊代：")
for order in [1, 2, 3, 4]:
    pts = hilbert_curve(order)
    n_squares = 4**order
    total_len = np.sum(np.linalg.norm(np.diff(pts, axis=0), axis=1))
    print(f"  order={order}: 經過 {n_squares} 個小正方形，曲線長度 = {total_len:.4f}")
print("  → 長度隨 order 指數增長（2^order）；極限長度 = ∞\n")

# 2) 驗證曲線的「覆蓋性」：order=3 的曲線經過 8×8 網格的每個中心
pts3 = hilbert_curve(3)
# 8×8 網格的中心：(i+0.5)/8, (j+0.5)/8
grid_centers = {(round((i+0.5)/8, 4), round((j+0.5)/8, 4))
                for i in range(8) for j in range(8)}
curve_pts = {(round(x, 4), round(y, 4)) for x, y in pts3}
covered = grid_centers & curve_pts
print(f"覆蓋性驗證（order=3）：")
print(f"  網格中心數 = {len(grid_centers)}")
print(f"  曲線經過的中心數 = {len(covered)}")
print(f"  覆蓋率 = {len(covered)/len(grid_centers):.1%}")
print("  → 極限情況下覆蓋率 = 100%（Peano 曲線的性質）\n")

# 3) Hausdorff 維數：Peano/Hilbert 曲線 = 2
print("Hausdorff 維數（覆蓋的指數）：")
for order in [1, 2, 3, 4]:
    # 每個「小正方形」邊長 = 1/2^order，需要 4^order 個
    eps = 1/2**order
    N = 4**order
    dim = np.log(N)/np.log(1/eps)
    print(f"  order={order}: ε = {eps:.4f}, N(ε) = {N}, dim_H = {dim:.4f}")
print("  → dim_H → 2（Peano 曲線的 Hausdorff 維數 = 2）")
print("  → 拓樸維數 = 1，但 Hausdorff 維數 = 2（維數異常！）\n")

# 4) Cantor 集的對照：維數 = ln2/ln3 ≈ 0.631
print("Cantor 集的 Hausdorff 維數：")
dim_cantor = np.log(2)/np.log(3)
print(f"  dim_H = ln2/ln3 = {dim_cantor:.6f}（非整數 → 分形）")

Hilbert 曲線的疊代：
  order=1: 經過 4 個小正方形，曲線長度 = 1.5000
  order=2: 經過 16 個小正方形，曲線長度 = 3.7500
  order=3: 經過 64 個小正方形，曲線長度 = 7.8750
  order=4: 經過 256 個小正方形，曲線長度 = 15.9375
  → 長度隨 order 指數增長（2^order）；極限長度 = ∞

覆蓋性驗證（order=3）：
  網格中心數 = 64
  曲線經過的中心數 = 64
  覆蓋率 = 100.0%
  → 極限情況下覆蓋率 = 100%（Peano 曲線的性質）

Hausdorff 維數（覆蓋的指數）：
  order=1: ε = 0.5000, N(ε) = 4, dim_H = 2.0000
  order=2: ε = 0.2500, N(ε) = 16, dim_H = 2.0000
  order=3: ε = 0.1250, N(ε) = 64, dim_H = 2.0000
  order=4: ε = 0.0625, N(ε) = 256, dim_H = 2.0000
  → dim_H → 2（Peano 曲線的 Hausdorff 維數 = 2）
  → 拓樸維數 = 1，但 Hausdorff 維數 = 2（維數異常！）

Cantor 集的 Hausdorff 維數：
  dim_H = ln2/ln3 = 0.630930（非整數 → 分形）