1908 - Minkowski 時空（時間是第四個維度）#

import numpy as np

# 1) Minkowski 度規：間隔不變量
def interval(t, x, c=1.0):
    """Minkowski 間隔 ds² = c²t² - x²"""
    return c**2*t**2 - x**2

print("間隔不變量驗證（不同速度的觀察者）：")
t, x = 2.0, 1.0
s0 = interval(t, x)
print(f"  原始：ds² = {s0:.6f}")
for v in [0.3, 0.5, 0.8]:
    beta, gamma = v, 1/np.sqrt(1-v**2)
    tp = gamma*(t - beta*x)
    xp = gamma*(x - beta*t)
    s1 = interval(tp, xp)
    print(f"  v={v}: t'={tp:.6f}, x'={xp:.6f}, ds²={s1:.6f}（不變 ✓）")

# 2) 勞侖茲變換 = 雙曲旋轉（快速參數）
print("\n雙曲旋轉驗證（β = tanh φ）：")
for v in [0.3, 0.5, 0.8]:
    phi = np.arctanh(v)
    beta = np.tanh(phi)
    ch, sh = np.cosh(phi), np.sinh(phi)
    t, x = 2.0, 1.0
    tp = t*ch - x*sh
    xp = -t*sh + x*ch
    beta_gamma = 1/np.sqrt(1-beta**2)
    tp2 = beta_gamma*(t - beta*x)
    xp2 = beta_gamma*(x - beta*t)
    print(f"  v={v}: φ={phi:.4f}, 雙曲旋轉 t'={tp:.6f} vs 勞侖茲 t'={tp2:.6f}（一致 ✓）")

# 3) 快速參數無界 → 光速不可超越
print("\n快速參數的加法（加速度 = 加 φ）：")
phi1, phi2 = 0.5, 0.8
v1, v2 = np.tanh(phi1), np.tanh(phi2)
# 相對速度合成：v_rel = tanh(φ1 + φ2)
v_rel = np.tanh(phi1 + phi2)
print(f"  v1={v1:.4f}, v2={v2:.4f} → 相對速度 = tanh(φ1+φ2) = {v_rel:.4f}")
print(f"  永遠 < 1（tanh 的漸近線）→ 光速不可超越 ✓")
# 對比伽利略合成（會超過光速！）
print(f"  伽利略合成 v1+v2 = {v1+v2:.4f}（會 > 1，錯誤）")

# 4) 時間膨脹：運動的時鐘變慢
print("\n時間膨脹（γ 因子）：")
for v in [0.1, 0.5, 0.9, 0.99]:
    gamma = 1/np.sqrt(1-v**2)
    print(f"  v={v:.2f}c: γ = {gamma:.4f}（時鐘慢 1/γ = {1/gamma:.4f} 倍）")

# 5) 因果結構：光錐分類
print("\n間隔分類（光錐）：")
events = [("類時（可達）", 2.0, 1.0),
          ("類光（光）", 1.0, 1.0),
          ("類空（無因果）", 1.0, 2.0)]
for name, t, x in events:
    s = interval(t, x)
    kind = "ds² > 0（類時）" if s > 0 else ("ds² = 0（類光）" if s == 0 else "ds² < 0（類空）")
    print(f"  {name:12s}: t={t}, x={x} → {kind}")

間隔不變量驗證（不同速度的觀察者）：
  原始：ds² = 3.000000
  v=0.3: t'=1.782084, x'=0.419314, ds²=3.000000（不變 ✓）
  v=0.5: t'=1.732051, x'=0.000000, ds²=3.000000（不變 ✓）
  v=0.8: t'=2.000000, x'=-1.000000, ds²=3.000000（不變 ✓）

雙曲旋轉驗證（β = tanh φ）：
  v=0.3: φ=0.3095, 雙曲旋轉 t'=1.782084 vs 勞侖茲 t'=1.782084（一致 ✓）
  v=0.5: φ=0.5493, 雙曲旋轉 t'=1.732051 vs 勞侖茲 t'=1.732051（一致 ✓）
  v=0.8: φ=1.0986, 雙曲旋轉 t'=2.000000 vs 勞侖茲 t'=2.000000（一致 ✓）

快速參數的加法（加速度 = 加 φ）：
  v1=0.4621, v2=0.6640 → 相對速度 = tanh(φ1+φ2) = 0.8617
  永遠 < 1（tanh 的漸近線）→ 光速不可超越 ✓
  伽利略合成 v1+v2 = 1.1262（會 > 1，錯誤）

時間膨脹（γ 因子）：
  v=0.10c: γ = 1.0050（時鐘慢 1/γ = 0.9950 倍）
  v=0.50c: γ = 1.1547（時鐘慢 1/γ = 0.8660 倍）
  v=0.90c: γ = 2.2942（時鐘慢 1/γ = 0.4359 倍）
  v=0.99c: γ = 7.0888（時鐘慢 1/γ = 0.1411 倍）

間隔分類（光錐）：
  類時（可達）      : t=2.0, x=1.0 → ds² > 0（類時）
  類光（光）       : t=1.0, x=1.0 → ds² = 0（類光）
  類空（無因果）     : t=1.0, x=2.0 → ds² < 0（類空）