1695 Bernoulli 方程：一個代換把非線性化為線性#

案發現場#

1695 年，微積分問世不過十年，數學家們正如火如荼地清點這門新武器的威力範圍。Newton 與 Leibniz 已經能解出 separable（可分離變數）方程與一階線性方程：

\[ y' + P(x)y = Q(x) \]

Leibniz 在 1694 年甚至找到了用代換解線性方程的系統方法（即今日的積分因子法之雛形）。但一個自然的問題隨之而來：如果右邊多了 \(y\) 的冪次，變成

\[ y' + P(x)y = Q(x)y^n \]

這個方程還能解嗎？它不再是線性的，卻又不像 separable 方程那樣可以直接拆開——它卡在兩類已知可解方程之間，成為當時懸而未決的謎題。

遇到這個問題的是兩位針鋒相對的大師：Leibniz 與 Jacob Bernoulli。Leibniz 是微積分的共同發明人，擅長代數操作與形式技巧；Jacob 則是剛用微分方程解出等時曲線（見 1690-JacobBernoulli等時曲線.md）的力學新銳。兩人透過書信往還，展開了一場誰先解出此方程的競爭——這是微分方程史上第一場以「特定方程類型」為獎盃的公開競賽。

這個問題為何重要？因為它直指一個核心方法論問題：非線性方程能否透過變數代換化為已知可解的形式？ 答案若是肯定的，就意味著「可解方程」的邊界可以被大幅推進。

偵查過程#

第一步：Leibniz 的觀察——除掉多餘的冪次#

Leibniz 的思路是：方程的「病灶」在於那個多餘的 \(y^n\) 。要把它除掉，最直接的方法就是用 \(y\) 的冪次做代換。1695 年 12 月，他在寫給 Johann Bernoulli 的信中提出：令

\[ v = y^{1-n} \]

也就是說，選 \(1-n\) 這個指數，正是為了讓求導後 \(y^n\) 項「降階消失」。這一步看似平平無奇，實則是針對方程結構反推代換形式的首例——不是瞎試，而是看著目標設計工具。

第二步：逐步推導——化非線性為線性#

設 \(v = y^{1-n}\) ，對 \(x\) 求導（用鏈鎖法則）：

\[ v' = (1-n)\, y^{-n}\, y' \quad\Rightarrow\quad y' = \frac{v'}{(1-n)\,y^{-n}} = \frac{y^n}{1-n}\, v' \]

將原方程 \(y' + Py = Qy^n\) 兩邊同除以 \(y^n\) ：

\[ y^{-n} y' + P\, y^{1-n} = Q \]

代入 \(v' = (1-n)y^{-n}y'\) 與 \(v = y^{1-n}\) ：

\[ \frac{v'}{1-n} + P\, v = Q \quad\Rightarrow\quad v' + (1-n)\,P(x)\, v = (1-n)\,Q(x) \]

這是一個關於 \(v\) 的一階線性方程！病灶被根除，非線性被代換徹底馴服。

第三步：用 Leibniz 的線性方程方法收尾#

對線性方程 \(v' + \tilde{P}v = \tilde{Q}\) （其中 \(\tilde{P} = (1-n)P\) 、 \(\tilde{Q} = (1-n)Q\) ），Leibniz 的方法是乘上積分因子：

\[ \mu(x) = e^{\int \tilde{P}\, dx} = e^{(1-n)\int P\, dx} \]

於是

\[ \frac{d}{dx}\left(\mu\, v\right) = \mu\, \tilde{Q} \quad\Rightarrow\quad v = \frac{1}{\mu}\left(\int \mu\, \tilde{Q}\, dx + C\right) \]

代回 \(v = y^{1-n}\) ，得到通解：

\[ y^{1-n} = e^{-(1-n)\int P\, dx}\left((1-n)\int Q(x)\, e^{(1-n)\int P\, dx}\, dx + C\right) \]

第四步：Jacob 的獨立解法與競爭#

Jacob Bernoulli 幾乎同時獨立地解出了這個方程，但他選擇了另一條路：把 \(y\) 視為 \(x\) 的函數，將方程改寫成 \(x\) 對 \(y\) 的形式並尋求 separable 化。1696 年，他在《Acta Eruditorum》上發表解法，並指出自己的方法更一般——可以處理某些 Bernoulli 方程推廣的類型。兩人的書信與論文中夾雜著互相挑剔、指正錯誤與暗自較勁的火藥味，Leibniz 甚至一度懷疑 Jacob 的解法有誤，事後不得不承認其正確性。

值得一提的是， \(n = 0\) 時方程退化為普通線性方程， \(n = 1\) 時右邊變成 \(Qy\) 、方程變成可分離變數；因此 Bernoulli 方程真正的「新大陸」在 \(n \neq 0, 1\) 的區域。

結案報告#

謎題就此告破：Bernoulli 方程可以透過代換 \(v = y^{1-n}\) 化為線性方程求解。這是數學史上第一個被系統化解出的非線性常微分方程類型。

此案的遺產有三：

積分因子法之源。雖然積分因子技術由 Leibniz 在解線性方程時首創，但正是 Bernoulli 方程的求解讓「尋找恰當的乘子與代換」成為一門顯學。日後 Euler 在 1727-Euler常微分方程.md 中將積分因子法系統化推廣，成為一階 ODE 的標準武器。
「化非線性為線性」的典範。代換 \(v = y^{1-n}\) 開創了一個延續三百年的思路：遇到非線性方程，先問「有沒有代換能把它變線性？」從 Riccati 方程（Johann Bernoulli 的兒子丹尼爾的叔伯輩 Riccati 提出，後由 Euler、Liouville 研究）到 Lyapunov 函數、線性化理論，皆可溯源於此。
方程分類學的開端。Bernoulli 方程是第一個以數學家命名的微分方程類型。從此，「某類方程 → 某種解法」的分類學思維成形，今日任何一本 ODE 教科書的章節結構，都是這個傳統的後裔。

競爭本身也是遺產：Leibniz 與 Jacob 的書信競賽，連同六年後 Johann 的最速降線挑戰（見 1696-最速降線問題.md），確立了「以公開挑戰推動數學進步」的模式。而 Jacob 在競賽後繼續深耕，其關於積分與級數的工作，為 Euler 時代的大豐收鋪平了道路。

證據與工具#

以下 Python 程式用兩種方法解同一個 Bernoulli 方程，並比較誤差：

import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp

# 案例方程：y' + y = x * y^(1/2)   (P=1, Q=x, n=1/2)
# 代換 v = y^(1-n) = y^(1/2) 化為線性：v' + (1/2)v = (1/2)x

# 方法一：解析解（經代換 + 積分因子）
# 積分因子 mu = e^(x/2)，故 (mu*v)' = (1/2)x*e^(x/2)
# 積分：∫(1/2)x*e^(x/2)dx = (x-2)*e^(x/2) + C
# v = x - 2 + C*e^(-x/2)，y = v^2
def analytic(x, C):
    v = x - 2 + C*np.exp(-x/2)
    return v**2

# 用初始條件 y(0) = 4 定 C：v(0) = 2 = -2 + C → C = 4
C = 4.0

# 方法二：數值解（直接解原始非線性方程）
sol = solve_ivp(lambda x, y: -y + x*np.sqrt(np.abs(y)) + 1e-12,
                [0, 5], [4.0], dense_output=True, rtol=1e-10)

xs = np.linspace(0, 5, 6)
print(f"{'x':>6} {'數值解':>12} {'解析解':>12} {'誤差':>10}")
for x in xs:
    num = sol.sol(x)[0]
    ana = analytic(x, C)
    print(f"{x:6.2f} {num:12.6f} {ana:12.6f} {abs(num-ana):10.2e}")

# 觀察：兩法一致 → 代換 v = y^(1-n) 正確地把非線性方程化為線性方程

執行後可見數值解與解析解完全吻合——Leibniz 的代換與 Jacob 的獨立解法，在三百年的時光之後，仍然經得起數值檢驗。