1637 — Fermat 極大極小法#

案件摘要#

1637 年前後，圖盧茲的律師 Pierre de Fermat 在書信〈求極大與極小值的方法〉（Methodus ad disquirendam maximam et minimam）中提出「adequality」（擬等法，法語近似相等）：把函數值 \(f(x)\) 與 \(f(x+E)\) 「擬等」，展開後除以 \(E\) ，再令 \(E = 0\) ，就能求出極值點與切線斜率。這正是 \(\lim_{E\to 0}\frac{f(x+E)-f(x)}{E} = f'(x) = 0\) 的導數思想——微分學的遠古原型。同年 Descartes 出版《幾何學》（La Géométrie）並提出競爭性的「法線法」，兩人隨即爆發優先權與方法之爭。

前因 -- 為什麼會有這個案子#

• 古希臘 Apollonius 的《圓錐曲線論》已給出橢圓、拋物線的法線與切線性質，但每條曲線都要個別處理，沒有統一方法。
• 透鏡磨製是 17 世紀的光學核心問題：光線要精確聚焦，就必須知道曲面在每一點的切線與法線。Descartes 研究光學（《屈光學》與《幾何學》同年出版）正是為了磨鏡片。
• 1636 年，Fermat 已用幾何級數證明 \(\int_0^1 x^n dx = \frac{1}{n+1}\) （寄給 Mersenne 與 Roberval），在求積上領先；極值與切線是他下一個目標。
• 案件的動機：能不能用一套代數程序，對任何多項式曲線統一地找出極值與切線？Fermat 的答案是：可以——用「擬等」。

線索與推理 -- 數學式、程式、理論#

線索一：adequality 求極值#

Fermat 的程序：要求 \(f(x)\) 的極值，考慮

展開右邊、消去公共項、兩邊同除以 \(E\) 、再令 \(E = 0\) ，得到方程

範例：把長度為 \(a\) 的線段分成兩段，使兩段乘積最大。設一段為 \(x\) ，則乘積 \(f(x) = x(a - x)\) 。Fermat 寫出

展開、消去 \(xa - x^2\) ，得 \(0 = Ea - 2xE - E^2\) ，除以 \(E\) 得 \(a - 2x - E = 0\) ，令 \(E = 0\) ：

答案正確——而且程序對任何多項式都通用。

線索二：以現代語言重寫#

Fermat 的「除以 \(E\) 再令 \(E = 0\) 」正是導數的定義：

對 \(f(x) = x(a-x) = ax - x^2\) ， \(f'(x) = a - 2x\) ，令 \(f'(x) = 0\) 得 \(x = \frac{a}{2}\) 。唯一的差別是：Fermat 用「擬等」這個含糊的詞迴避了 \(E = 0\) 時除以零的邏輯問題——這個漏洞要等 150 年後的 Cauchy 極限語言才能補上。

線索三：切線法#

同樣的招數用於切線：曲線 \(y^2 = kx\) （拋物線）上一點 \((a, b)\) ，Fermat 求切線與橫軸交點 \(T\) 。用相似三角形與擬等，得到次切距

對 \(y^2 = kx\) 即 \(f(x) = \sqrt{kx}\) ， \(f'(a) = \frac{\sqrt{k}}{2\sqrt{a}}\) ，故 \(TS = \frac{\sqrt{ka}}{\sqrt{k}/(2\sqrt{a})} = 2a\) ——與 Apollonius 的幾何結果一致，但這次是代數程序算出來的。

線索四：Fermat–Descartes 之爭#

1638 年，Descartes 提出自己的「圓法」（法線法）：以曲線上點 \((a,b)\) 為圓上一点作圓，與曲線相切時聯立方程的重根條件給出法線。Descartes 用曲線 \(x^3 + y^3 = 3axy\) （今稱 Folium of Descartes）挑戰 Fermat，Fermat 迅速正確求出法線，Descartes 只好讓步。但 Descartes 仍攻擊 Fermat 的方法「含糊、不嚴格」。Mersenne 居中調停。最終歷史判定：Fermat 的 adequality 更接近今日的微分學。

程式碼範例：數值求極值，驗證 Fermat 的 adequality#

import numpy as np

# (1) Fermat 的問題：a 分成兩段使乘積最大
a = 10.0
f = lambda x: x * (a - x)

# 數值掃描找最大值
x = np.linspace(0, a, 100001)
i = np.argmax(f(x))
print(f"數值最大點 x = {x[i]:.4f}（理論 a/2 = {a/2}）")

# (2) 驗證 Fermat 的核心操作：(f(x+E)-f(x))/E 在極值點 -> 0
def diff_quotient(x0, E):
    return (f(x0 + E) - f(x0)) / E

for E in [1e-1, 1e-3, 1e-5, 1e-7]:
    q_extremum = diff_quotient(a/2, E)     # 極值點：應趨近 0
    q_other   = diff_quotient(a/4, E)      # 非極值點：應趨近 f'(a/4)=a/2
    print(f"E={E:.0e}: 商(極值點)={q_extremum:+.2e}, 商(a/4)={q_other:+.4f}")

# (3) 數值微分 f'(x) = a - 2x 全域驗證
h = 1e-6
xp = np.linspace(0.001, a-0.001, 10)
numeric = (f(xp + h) - f(xp - h)) / (2*h)
print("數值導數:", np.round(numeric, 4), "理論 a-2x:", np.round(a - 2*xp, 4))

程式輸出：數值最大點在 \(x = 5.0 = a/2\) ；差商 \(\frac{f(x+E)-f(x)}{E}\) 在極值點隨 \(E\) 縮小趨近 0、在 \(a/4\) 處趨近 \(a/2 = f'(a/4)\) ——Fermat 的「除以 \(E\) 再令 \(E=0\) 」在數值上就是導數。

線索五：adequality 求面積——積分的另一面#

Fermat 的招數不止用於極值：他還用「擬等」處理曲線下的面積。對 \(y = x^n\) ，他在 \([0, a]\) 上取等比分割的點 \(a, ar, ar^2, \dots\) （ \(r\) 為公比），把曲線下的面積近似為矩形之和：

用幾何級數求和後令公比 \(r \to 1\) ，Fermat 證明

這比 Cavalieri 的不可分量法更嚴格（他寄給 Mersenne 的信早於 1637 年）。換句話說：Fermat 一人手握微分（adequality 求極值）與積分（幾何級數求面積）兩件兇器的原型，只差沒有證明它們互逆——那一步要等 1666 年 Newton 的流數術。

結案 -- 後果與影響#

• Fermat 的 adequality 處理了極值、切線、法線，甚至推廣到曲線下的面積（用近似矩形求和求 \(\int x^n dx\) ）——微分與積分兩件兇器他都有原型，只差沒有把它們連成基本定理。
• 1637 年 Descartes《幾何學》確立解析幾何：曲線 = 方程，這讓 Fermat 的代數程序可以通用於一切曲線。
• Fermat–Descartes 之爭以 Fermat 的方法論勝告終：後世 Newton、Leibniz 的求極值、切線法都是 adequality 的直系後代。
• Fermat 終身未出版（以書信發表），導致優先權證據鏈薄弱——這也是後來他與 Leibniz/Newton 陣營爭議的伏筆。
• 案件的影響：今日最佳化、機器學習的梯度下降法，本質上仍是「令 \(f'(x) = 0\) 」的 390 年後延續。

關鍵人物與文獻#

• P. de Fermat, Methodus ad disquirendam maximam et minimam（1636–1638 書信，寄給 Mersenne）。
• R. Descartes, La Géométrie（附於《方法論》，1637）。
• R. Descartes, La Dioptrique（1637）：透鏡與切線的動機。