1655 — Wallis 無窮分析#

案件摘要#

1655 年，牛津大學 Savilian 教授 John Wallis 出版《無窮算術》（Arithmetica Infinitorum），用純算術方法處理 Cavalieri 的幾何不可分量：計算數列 \(\frac{0^k+1^k+\cdots+n^k}{n^{k+1}}\) 的極限、以插值在整數冪之間插入分數冪，從而猜出圓面積公式，得到著名的 Wallis 乘積 \(\frac{\pi}{2} = \frac{2\cdot 2}{1\cdot 3}\cdot\frac{4\cdot 4}{3\cdot 5}\cdots\) 與 \(\frac{4}{\pi}\) 的級數表達，並猜想廣義二項式定理。這本書直接啟發了 1664–1666 年的 Newton。

前因 -- 為什麼會有這個案子#

• 1635 年 Cavalieri 的不可分量法已給出 \(\int_0^1 x^n dx = \frac{1}{n+1}\) 的雛形，但方法充滿幾何爭議（Guldin 的攻擊懸而未決）。
• 1637 年 Fermat 用幾何級數（在 \([0,a]\) 上以等比分割）更嚴格地證明了同一公式，並寄給 Mersenne 網絡。
• Torricelli、Pascal 用不可分量算了擺線、圓扇形等，但圓的面積始終缺一個「算術化」的公式： \(\pi\) 是無理數， \(\int_0^1(1-x^2)^{1/2}dx\) 中的指數 \(\frac{1}{2}\) 不在整數冪之列，Cavalieri/Fermat 的方法都無能為力。
• Wallis 是密碼學家、Oxford 幾何教授、Royal Society 創始會員。案件的動機：把幾何的不可分量翻譯成算術，並用插值突破分數指數的封鎖。

線索與推理 -- 數學式、程式、理論#

線索一：算術化的積分#

Wallis 計算「前 \(n\) 個整數 \(k\) 次冪之和與 \(n^{k+1}\) 之比」的極限：

這正是 \(\int_0^1 x^k dx = \frac{1}{k+1}\) 的黎曼和形式（等分區間、取左端點）。Wallis 對 \(k = 1, 2, 3, \dots\) 逐一列表，並宣稱「由归纳法」（per modum inductionis）此式對所有 \(k\) 成立——他用「歸納」指的是模式外推，不是今日的數學歸納法，嚴格性後來由 Fermat 與 Fermat 式的論證補足。

線索二：插值突破 \(\frac{1}{2}\) 指數#

圓的面積 \(A = \int_0^1 (1-x^2)^{1/2} dx = \frac{\pi}{4}\) 。定義 \(I(p, q) = \int_0^1 (1 - x^{1/p})^{q}\,dx\) ，Wallis 對整數 \((p, q)\) 逐一算出 \(I\) 值並列表，發現：

• \(I(p, 0) = 1\) ， \(I(p, 1) = \frac{1}{p+1}\)
• 行列之間有規律，於是他插值出 \(p = \frac{1}{2}\) （即指數 \(\frac{1}{2}\) ）那條缺失的列。

插值過程中他發現圓的 \(I(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{\pi}{4}\) 之值無法用有理數表達，只能用無窮乘積夾逼。

線索三：Wallis 乘積#

由插值表逐步取極限，Wallis 得到：

等價地， \(\frac{4}{\pi} = \frac{3\cdot 3}{2\cdot 4}\cdot\frac{5\cdot 5}{4\cdot 6}\cdots\) 。這是 \(\pi\) 的第一個無窮乘積表達式（此前 Viète 1593 有連乘的有限形式）。Brouncker 勳爵隨即給出連分數 \(\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1^2}{2 + \frac{3^2}{2 + \frac{5^2}{2+\cdots}}}\) 。

線索四：廣義二項式猜想#

Wallis 的插值表還隱藏著另一個寶藏： \((1+x)^\alpha\) 展開式係數的插值規律。他對整數 \(\alpha\) 的二項式係數列表、試圖插值出 \(\alpha = \frac{1}{2}\) 的係數，但沒有成功——他把這個未解之案寫進書中，留給讀者。1665 年大瘟疫期間，23 歲的 Newton 在 Woolsthorpe 讀到這一頁，接手了這個案子。

程式碼範例：二項式級數展開驗證與 Wallis 乘積#

import numpy as np
from math import comb

# (1) 算術化積分：lim (0^k+...+n^k)/n^{k+1} = 1/(k+1)
for k in [1, 2, 3, 4]:
    n = 10**6
    s = sum(j**k for j in range(n+1)) / n**(k+1)
    print(f"k={k}: 數值 {s:.6f}, 1/(k+1) = {1/(k+1):.6f}")

# (2) Wallis 乘積逼近 pi/2
N = 100000
prod = 1.0
for n in range(1, N+1):
    prod *= (2*n)**2 / ((2*n-1) * (2*n+1))
print(f"Wallis 乘積 = {prod:.6f}, pi/2 = {np.pi/2:.6f}")

# (3) 廣義二項式級數：sqrt(1+x) = (1+x)^{1/2} 展開驗證
def binom_series(alpha, x, terms=20):
    c, s = 1.0, 1.0
    for k in range(1, terms):
        c *= (alpha - k + 1) / k     # 係數遞推 C(k) = C(k-1)*(alpha-k+1)/k
        s += c * x**k
    return s

x = 0.5
print(f"級數 sqrt(1+{x}) = {binom_series(0.5, x):.8f}")
print(f"numpy sqrt(1+{x}) = {np.sqrt(1+x):.8f}")

程式輸出：冪和極限與 \(\frac{1}{k+1}\) 逐項吻合；Wallis 乘積收斂到 \(\pi/2 \approx 1.5708\) ；廣義二項式級數 \(\sqrt{1.5} \approx 1.22474\) 與 numpy 結果一致——Wallis 留下的兩個懸案在數值上都被證實可解。

線索五：插值方法的哲學#

Wallis 的插值之所以大膽，在於他假設：連續性——整數冪之間的分數冪，其行為應當與整數冪一致，因此數列表中的空格可以用「自然的內插」填補。這在嚴格意義上是有風險的（不是每個數列都有唯一自然的插值），但 Wallis 的賭注賭對了：圓面積、Wallis 乘積、廣義二項式係數，三次插值全部命中。他自己的辯護是：「真理的外觀」（由一致性與連續性引導）。Huygens 起初批評此法不可靠，但在驗算結果後轉為讚賞。這個案件揭示 17 世紀數學的一個特徵：啟發式的外推先行，嚴格證明後補——Newton 的廣義二項式定理正是同一套打法的直系傳承。

結案 -- 後果與影響#

• 《無窮算術》把幾何求積算術化，掃除了不可分量的哲學障礙——數列、插值、極限成為合法工具。
• Wallis 乘積與 Brouncker 連分數開啟了 \(\pi\) 的無窮級數時代：1671 年 Gregory 的 arctan 級數、1674 年 Leibniz 的 \(\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \cdots\) 。
• 廣義二項式猜想的未解之頁直接啟發 Newton：1665 年 Newton 接手插值出 \((1+x)^{1/2}\) 的級數，進而建立流數術。
• Wallis 對整數冪和的「歸納」引發嚴格性之問，直到 Cauchy/Weierstrass 的極限語言才補上。
• 案件的影響：Royal Society 的《哲學會刊》1665 年創刊，Wallis 是核心作者——無窮分析從此成為英國數學的招牌。

關鍵人物與文獻#

• J. Wallis, Arithmetica Infinitorum, Oxford (1655)。
• J. Wallis, De Sectionibus Conicis (1655)：圓錐曲線的算術處理。
• B. Cavalieri, Geometria Indivisibilibus (1635)。