1665 — Newton 廣義二項式定理#

案件摘要#

1665 年初，22 歲的 Isaac Newton 在 Cambridge 讀 Wallis《無窮算術》時，接手了 Wallis 留下的插值懸案：把 \((1+x)^\alpha\) 的二項式展開從正整數指數推廣到任意指數（分數、負數），得到廣義二項式定理

並用 \(\sqrt{1+x}\) 、 \(\frac{1}{1+x}\) 等級數逐項積分，插值出圓的面積 \(\frac{\pi}{4}\) 。這條級數成為流數術（微積分）的基石——Newton 的微積分是從無窮級數長出來的。

前因 -- 為什麼會有這個案子#

• 1655 年 Wallis 在《無窮算術》中用數列插值求出圓面積與 Wallis 乘積，並嘗試插值 \((1+x)^{1/2}\) 的展開係數——但他沒有成功，把懸案寫進書中。
• Cavalieri/Fermat 的積分 \(\int_0^1 x^n dx = \frac{1}{n+1}\) 只對正整數 \(n\) 有效；圓面積需要指數 \(\frac{1}{2}\) ： \(\int_0^1 (1-x^2)^{1/2}dx = \frac{\pi}{4}\) 。
• Newton 在 Cambridge 師從 Barrow，兩年內自修歐氏幾何、Descartes《幾何學》、Viète、Wallis——他的筆記本（Trinity College 借書紀錄）顯示 1664–1666 年的閱讀軌跡。
• 案件的動機：圓面積、雙曲線面積、對數（雙曲線下面積）都涉及分數與負指數——必須把二項式展開推廣到任意指數，才能打開這批案卷。

線索與推理 -- 數學式、程式、理論#

線索一：從插值到級數#

Wallis 的方法是對整數冪的係數列表插值。Newton 更進一步：他注意到整數指數的二項式係數滿足遞推

對整數 \(\alpha\) ，這遞推在 \(k > \alpha\) 時歸零（級數截斷）；對 \(\alpha = \frac{1}{2}\) ，它永不歸零：

Newton 用「根式開方驗證」（把級數自乘，看是否得回 \(1+x\) ）與插值兩種方式確認此式——級數自乘後 \(x\) 項、 \(x^2\) 項逐一抵消，這是他的「驗屍報告」。

線索二：負指數與幾何級數#

\(\alpha = -1\) 時遞推給出 \(\binom{-1}{k} = (-1)^k\) ：

這正是古人已知的幾何級數。Newton 注意到：逐項積分得

對數——這個 17 世紀的天文計算工具——竟然是雙曲線下面積的級數展開（Mercator 1668 年也獨立發表，Newton 藏了三年才出版）。

線索三：圓面積與 \(\frac{\pi}{4}\)#

對 \((1 - x^2)^{1/2}\) 展開並逐項積分：

取 \(x = \frac{1}{2}\) ： \(\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}\) ，故

Newton 用這個收斂極快的級數把 \(\pi\) 算到 15 位以上（他自己在信中說「恥於算了這麼多位」）——超過了 Archimedes 以來的所有方法。

線索四：級數即積分的引擎#

Newton 的關鍵洞見：任何函數只要能展開成冪級數 \(\sum a_k x^k\) ，它的積分就是 \(\sum \frac{a_k}{k+1} x^{k+1}\) ——積分從此變成「逐項降冪求和」的代數操作。這把 Cavalieri/Fermat 的 \(\int x^n dx = \frac{1}{n+1}\) （只對整數 \(n\) ）推廣到一切冪級數，也預示了 1666 年流數術的正式誕生。

程式碼範例：廣義二項式級數展開與逐項積分驗證#

import numpy as np

# (1) 廣義二項式係數遞推：(1+x)^alpha 的級數
def binom_series(alpha, x, terms=30):
    c, s = 1.0, 1.0
    for k in range(1, terms):
        c *= (alpha - k + 1) / k
        s += c * x**k
    return s

# 驗證 Newton 的「級數自乘得回 1+x」：sqrt(1+x)^2 = 1+x
x = 0.5
s = binom_series(0.5, x)
print(f"sqrt(1+0.5) 級數 = {s:.10f}, numpy = {np.sqrt(1.5):.10f}")
print(f"級數自乘 s^2 = {s*s:.10f}（應 = 1.5）")

# (2) 負指數：1/(1+x) 與 ln(1+x) 逐項積分
s_inv = binom_series(-1, x)
print(f"1/(1+0.5) 級數 = {s_inv:.10f}, 理論 = {1/1.5:.10f}")

# 逐項積分得 ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...
def ln_series(x, terms=30):
    s = 0.0
    for k in range(1, terms):
        s += (-1)**(k+1) * x**k / k
    return s
print(f"ln(1.5) 級數 = {ln_series(0.5):.10f}, numpy = {np.log(1.5):.10f}")

# (3) 圓面積：arcsin 級數 -> pi
def arcsin_series(x, terms=30):
    c, s = 1.0, x          # c: 係數, s: 級數和（從 x^1 項開始）
    for k in range(1, terms):
        c *= (2*k - 1)**2 / ((2*k) * (2*k + 1))
        s += c * x**(2*k + 1)
    return s

pi_est = 6 * arcsin_series(0.5)
print(f"pi 估計 = {pi_est:.12f}, numpy pi = {np.pi:.12f}")

程式輸出： \(\sqrt{1.5}\) 的級數與 numpy 一致、級數自乘得回 \(1.5\) （Newton 的驗證方法）； \(\ln(1.5)\) 的逐項積分級數吻合； \(\arcsin(\frac{1}{2})\) 級數給出 \(\pi \approx 3.141592653590\) ——Newton 的 15 位級數計算在數值上完全重現。

結案 -- 後果與影響#

• 廣義二項式定理成為冪級數時代的開端：函數 = 級數，積分 = 逐項積分，微分 = 逐項微分。
• \(\ln(1+x)\) 、 \(\arcsin x\) 、 \(\arctan x\) 的級數開啟了 \(\pi\) 與對數的高速計算，Machin 1706 年用 arctan 級數算 \(\pi\) 到 100 位。
• Newton 把這些結果寫進 1669 年的〈分析學〉（De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas）與 1676 年的兩封致 Leibniz 的信（Epistola prior / posterior），廣義二項式是核心內容。
• 級數是流數術的基石：1666 年 Newton 的〈論流數〉把正/反流數問題系統化，二項式級數是「反流數」（積分）的主要武器。
• 案件的影響：今日計算機的浮點函式庫（math.sqrt、math.log）底層仍用多項式/級數逼近——Newton 的作案手法沿用至今。

關鍵人物與文獻#

• I. Newton, De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas (1669，由 Barrow 呈 Royal Society)。
• I. Newton, Epistola prior / Epistola posterior 致 Oldenburg（1676）：廣義二項式與插值方法。
• J. Wallis, Arithmetica Infinitorum (1655)。