1666 — Newton 流數術#

案件摘要#

1665–1666 年大瘟疫期間，Newton 離開 Cambridge 回到故鄉 Woolsthorpe，在「奇蹟年」中把廣義二項式級數與 Wallis 的插值方法整合，發明「流數術」（method of fluxions）：把變量視為隨時間「流動」的量，其變化率稱為「流數」。他區分正流數問題（由流動量求流數，即微分）與反流數問題（由流數求流動量，即積分），並證明兩者互逆——微積分基本定理的雛形。1666 年的〈論流數〉（Tract on Fluxions）手稿是這場案件的完整筆錄。

前因 -- 為什麼會有這個案子#

• 1665 年 Newton 已在 Wallis 的插值懸案上建立廣義二項式定理，並發現「級數逐項積分」是萬能求積引擎。
• 1655 年 Wallis 的 \(\int_0^1 x^n dx = \frac{1}{n+1}\) 、1637 年 Fermat 的 adequality 切線法，兩件兇器分別對應積分與微分，但沒有人把它們連成互逆關係。
• Newton 的老師 Barrow 已在《幾何講義》(1670 出版) 中用幾何方式處理切線與面積的關係（Newton 親筆協助整理，講義中的 Lemma 暗藏基本定理的幾何原型）。
• 1665–1666 年 Cambridge 因瘟疫關校，Newton 在 Woolsthorpe 的兩年間還發現了廣義二項式、光譜分解與萬有引力的早期想法——流數術是這場「奇蹟年」的數學主案。
• 案件的動機：物理量（位置、速度）隨時間連續變化——需要一套語言同時描述「量」與「變化率」，並讓兩者可以互相推算。

線索與推理 -- 數學式、程式、理論#

線索一：流數的語言#

Newton 記號： \(x = o\) （流動量，用字母 \(o\) 或 \(p, q\) ），其流數記為 \(\dot{o}\) （字母上加點）。若 \(x\) 、 \(y\) 都是時間 \(t\) 的函數，則

對曲線 \(y = f(x)\) ，切線斜率就是 \(\frac{\dot{y}}{\dot{x}}\) ——Fermat 的 adequality 之謎在此被重新破譯：Newton 用「無窮小時間 \(o\) 中的增量」取代 Fermat 的含糊 \(E\) ，即

線索二：正流數問題（微分）#

求 \(y = x^n\) 的流數：在無窮小時間 \(o\) 內， \(x \to x + \dot{x}o\) ， \(y \to y + \dot{y}o\) 。代入 \(y = x^n\) 展開（用廣義二項式級數，對任意指數都有效）：

消去 \(y = x^n\) 、除以 \(o\) 、捨去含 \(o\) 的高次項（Newton 稱之為「略去無窮小」）：

冪法則誕生——而且因為有廣義二項式級數，這對分數、負指數同樣有效。

線索三：反流數問題（積分）與基本定理#

反過來：已知流數 \(\dot{y} = x^n\dot{x}\) ，求流動量 \(y\) 。Newton 的答案是「面積的瞬時增長率」：

這就是微積分基本定理：正流數與反流數互逆。Newton 在 1666 年手稿中明確寫出這一互逆關係（以幾何語言：面積的流數等於邊界縱坐標）。有了它，求積不再是 Cavalieri 式的個別巧技，而是「找反導數」的系統程序： \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\) （Wallis 的公式成為定理的直接推論）。

線索四：從手稿到《原理》#

1666 年的〈論流數〉手稿未出版；1669 年〈分析學〉、1671 年《流數術與無窮級數》（Method of Fluxions，1736 年才英譯出版）逐步展開。1687 年，在 Halley 的催促與資助下，Newton 出版《自然哲學的數學原理》（Principia Mathematica），用流數術證明橢圓軌道、萬有引力平方反比——全書雖以幾何語言包裝，核心卻是流數術。

程式碼範例：流數術數值微分與基本定理驗證#

import numpy as np

# (1) 正流數問題：冪法則 (dy/dx = n x^{n-1})，含分數/負指數
def fluxion_numeric(f, x0, o=1e-7):
    return (f(x0 + o) - f(x0 - o)) / (2 * o)

for n, x0 in [(2, 1.5), (3, 2.0), (0.5, 0.25), (-1, 4.0)]:
    f = lambda x, n=n: x**n
    num = fluxion_numeric(f, x0)
    exact = n * x0**(n-1)
    print(f"n={n}, x={x0}: 數值流數 {num:.8f}, 理論 {exact:.8f}")

# (2) 反流數問題：∫_0^b x^n dx = b^{n+1}/(n+1)（Wallis 公式 = 定理推論）
b = 2.0
x = np.linspace(0, b, 1000000)
for n in [1, 2, 3, 0.5]:
    V = np.trapz(x**n, x)
    print(f"n={n}: 數值積分 {V:.8f}, b^(n+1)/(n+1) = {b**(n+1)/(n+1):.8f}")

# (3) 微積分基本定理：d/dx ∫_0^x t^2 dt = x^2
F = lambda x: np.trapz(np.linspace(0, x, 1000)**2, np.linspace(0, x, 1000))
x0 = 3.0
num = fluxion_numeric(F, x0)
print(f"基本定理: d/dx ∫_0^{x0} t²dt ≈ {num:.6f}（理論 x² = {x0**2}）")

程式輸出：數值流數與 \(nx^{n-1}\) 逐項吻合（含 \(n = 0.5\) 、 \(n = -1\) ）；數值積分與 \(\frac{b^{n+1}}{n+1}\) 一致（Wallis 公式重現）；面積函數的流數等於原函數 \(x^2\) ——正/反流數互逆，基本定理在數值上成立。

結案 -- 後果與影響#

• 微積分基本定理確立：微分與積分互逆，求積從個別巧技變成系統程序——這是 17 世紀數學最大的結案。
• 1687 年《原理》用流數術統一了天上與地上的力學：橢圓軌道、潮汐、擺的運動全部可算。
• 優先權之爭：1684 年 Leibniz 率先出版微積分（用 \(dx\) 、 \(\int\) 記號），Newton 主張 1666 年手稿在先。Royal Society 1712 年的裁決偏袒 Newton，今日史家判定兩人獨立發明——Newton 在先，Leibniz 的記號（今日教科書所用）更優。
• 1736 年《流數術》英譯出版，19 世紀 Cauchy/Weierstrass 用極限語言補上 Newton「略去無窮小」的邏輯漏洞。
• Newton 自己的回顧（1714 年致 Des Maizeaux 的信）寫道：1665–1666 年間他「在兩年內比之前與之後的任何時間都更專注於數學與哲學」，並把廣義二項式、流數術、光譜與引力列為這段時期的發現——四案同時告破。

關鍵人物與文獻#

• I. Newton, Tract on Fluxions〈論流數〉(1666 手稿，未出版)。
• I. Newton, De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas (1669)。
• I. Newton, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (1687)。
• I. Newton, Method of Fluxions (寫於 1671，1736 出版)。