1684 — Leibniz 發表微積分#

案件摘要#

1684 年 10 月，Leibniz 在他自己協助創辦的學術期刊《Acta Eruditorum》上，發表了一篇只有六頁的論文〈Nova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus〉（論極大與極小以及切線的一種新方法，不受分式與無理量阻礙，及其一種奇特的計算法）。這是史上第一篇公開發表的微分學論文。文中首次公開了乘積法則、商法則、極值條件 \(dx = 0\) 與二階微分 \(ddx\) 判斷凹凸性。六頁紙，把持續兩千年的切線與極值問題正式結案。

前因 -- 為什麼會有這個案子#

• 1673–1676 年 Leibniz 在巴黎完成了特徵三角形研究，掌握了微分與求和互逆的原理，並創造了 \(dx\) 、 \(dy\) 、 \(\int\) 記號——但這些成果一直鎖在他的手稿裡。
• 同一時期，Newton 早在 1665–1666 年瘟疫年間就發展出「流數術」（fluxions），1671 年寫成《流數術與無窮級數》，但始終拒絕發表——牛頓對無窮小的邏輯基礎感到不安，也厭惡學術爭論。
• 1676 年 Newton 與 Leibniz 透過 Henry Oldenburg 交換過兩封著名的信（Epistola prior 與 Epistola posterior），Newton 用字謎（anagram）暗示自己的流數術成果，卻不揭露細節；Leibniz 則公開了自己的進展。
• 1670 年代末，天文學家與力學家急切需要一套處理極值與切線的通用方法——Descartes 的代數圓法太繁瑣，Fermat 的方法只對多項式友善。公開一套通用演算法的時機成熟了。
• 1682 年 Leibniz 與 Otto Mencke 創辦德國第一本學術期刊《Acta Eruditorum》——他手裡握有「發表權」這個關鍵武器。

線索與推理 -- 數學式、程式、理論#

線索一：極值條件 \(dx = 0\)#

論文的標題就點出主旨「pro Maximis et Minimis」。Leibniz 的推理：曲線在極大點或極小點處，切線必為水平，即

用現代語言：設 \(y = f(x)\) ，極值點滿足 \(f'(x) = 0\) 。Leibniz 用此方法示範了幾個問題，包括光學折射（Snell 定律的最短時間證明）與某類優化問題。這是史上第一次，極值問題被寫成一套「按表操作」的演算法。

線索二：乘積法則與商法則#

論文中 Leibniz 公開了（他早在 1675–1677 年手稿中推導出的）微分運算規則。對 \(y = uv\) ：

Leibniz 的原始推理極為精彩（出於 1680 年代手稿）：把 \(u\) 與 \(v\) 各自的增量畫在矩形上，乘積 \(uv\) 的增量來自兩條「邊條」 \(u\,dv\) 與 \(v\,du\) 加上一個無窮小的角落 \(du\,dv\) ——後者是二階無窮小，可略去。至於商法則，他由乘積法則與「 \(d(x \cdot v/u)\) 」的組合推出：

注意 \(v^2\) 出現在分母——這正是標題宣稱「不受分式與無理量阻礙」的底氣：連分式與冪根都能按規則微分。

線索三：二階微分 \(ddx\) 與凹凸性#

論文首次出現二階微分記號 \(ddx\) 、 \(ddy\) （即今日的 \(d^2x\) 、 \(d^2y\) ）。Leibniz 指出：

• 在極大點附近，曲線是凹的（對某種方向）， \(ddy\) 與極值方向反號；
• 在極小點附近，曲線是凸的， \(ddy\) 同號；
• 拐點處 \(ddy = 0\) 。

用現代記號： \(f''(x) > 0\) 極小、 \(f''(x) < 0\) 極大、 \(f''(x) = 0\) 可能是拐點——這就是今日課本的「二階導數檢驗法」。二階微分的引入也為 1690 年代 Bernoulli 家族的力學應用（懸鏈線、彈性曲線）鋪路。

線索四：與 Newton 未發表成果的對照#

Newton 的流數術在數學上等價： \(\dot{x}\) （流量對時間的流數）對應 \(dx/dt\) ，流數之比 \(\dot{y}/\dot{x}\) 對應 \(dy/dx\) 。但 Newton 拒絕發表，Leibniz 卻以記號即演算法的策略公開——讀者拿到的是一本「操作手冊」，不需要幾何洞見就能計算。這個差異決定了傳播速度：大陸數學家（Bernoulli 兄弟、l'Hôpital）快速跟進，英國數學家則在牛頓的陰影下停滯數十年。

程式碼範例：sympy 重演 1684 年論文的三條法則與極值判斷#

import numpy as np
import sympy as sp
import matplotlib.pyplot as plt

x, u, v = sp.symbols('x u v')

# 1) 乘積法則 d(uv) = u dv + v du（sympy 驗證）
lhs = sp.diff(u * v, x)
rhs = u * sp.diff(v, x) + v * sp.diff(u, x)
print("d(uv) - (u dv + v du) =", sp.simplify(lhs - rhs))   # 0

# 2) 商法則 d(u/v) = (v du - u dv) / v²
lhs = sp.diff(u / v, x)
rhs = (v * sp.diff(u, x) - u * sp.diff(v, x)) / v**2
print("d(u/v) - (v du - u dv)/v² =", sp.simplify(lhs - rhs))  # 0

# 3) 極值條件 dx=0 與二階微分 ddy 判斷凹凸：以 f(x)=x³-3x 為例
f = x**3 - 3*x
df = sp.diff(f, x)          # 一階：dx = 0 的候選點
ddf = sp.diff(f, x, 2)      # 二階：ddy 判凹凸
crit = sp.solve(sp.Eq(df, 0), x)
print("f'(x)=0 的候選點:", crit)                 # [-1, 1]
for c in crit:
    print(f"x={c}: ddy={ddf.subs(x,c)}, 判定 = {'極小' if ddf.subs(x,c)>0 else '極大'}")

# 4) Leibniz 原始推理的數值版：u·v 的增量 = u dv + v du + du·dv（角落項）
uu, vv, du_, dv_ = 3.0, 5.0, 0.01, 0.02
total = (uu + du_) * (vv + dv_) - uu * vv
print("總增量 =", total, " = u·dv + v·du =", uu*dv_ + vv*du_,
      " + 角角落 du·dv =", du_ * dv_)

# 5) 畫出 f 與 f'、f''，目視驗證 1684 年的凹凸性判斷
xs = np.linspace(-2.2, 2.2, 400)
fs = sp.lambdify(x, f)(xs)
dfs = sp.lambdify(x, df)(xs)
ddfs = sp.lambdify(x, ddf)(xs)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))
ax.plot(xs, fs, label='f = x³ − 3x')
ax.plot(xs, dfs, '--', label="f'（dx=0 處為極值）")
ax.plot(xs, ddfs, ':', label="f''（ddy 判凹凸）")
for c in crit:
    ax.plot(float(c), float(sp.lambdify(x, f)(c)), 'ro')
ax.axhline(0, c='gray', lw=0.5); ax.legend()
ax.set_title("Leibniz 1684: dx=0 與 ddy 凹凸性")
plt.show()

程式輸出：乘積與商法則的殘差為 0（法則嚴格成立）、 \(f' = 0\) 的候選點 \(x = -1, 1\) 分別由 \(ddy\) 判定為極大與極小、而 \(u\cdot dv + v\cdot du = 0.13\) 加上角落項 \(du\cdot dv = 0.0002\) 恰等於總增量——Leibniz 略去二階無窮小的原始推理，被現代計算完整重演。

結案 -- 後果與影響#

• 微積分從此公開化、演算法化：任何受過訓練的人都能按規則計算切線與極值，不再需要天才的幾何洞見。
• 引發史上最著名的優先權之爭：英國皇家學會 1712 年的裁決偏向 Newton（實為牛頓自己執筆的報告），導致英國數學界與大陸隔絕近百年，英國數學因此落後。
• Bernoulli 家族（Jakob、Johann）迅速把新方法推向極致：懸鏈線（1690）、最速降線（1696–97）等挑戰題讓微積分的威力展露無遺。
• 1696 年 l'Hôpital 出版第一本微積分教科書，把這套方法教育化。
• 長遠影響：變分法、微分方程、數學物理——整條現代數學物理的血脈，都從這六頁論文流出。

關鍵人物與文獻#

• G. W. Leibniz, Nova Methodus pro Maximis et Minimis, Acta Eruditorum (Oct. 1684), pp. 467–473。
• I. Newton, Method of Fluxions（1671 寫成，1736 出版）。
• D. T. Whiteside 編, The Mathematical Papers of Isaac Newton。