1744 — Euler 變分法#

案件摘要#

1744 年，Euler 在柏林出版《Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minimive Proprietate Gaudentes》（尋求具有極大極小性質的曲線的方法），史上第一次把「在所有曲線中找極值」這類問題系統化。他導出的極值條件——今日稱為 Euler 方程（Euler–Lagrange 方程）：

把無窮維的幾何極值問題化為一條常微分方程。這是變分法的誕生證書，也是此後兩百年理論力學變分原理的數學引擎。

前因 -- 為什麼會有這個案子#

• 最速降線問題（1696）： Johann Bernoulli 向全歐洲挑戰：求從 \(A\) 滑到 \(B\) 最快的曲線。Newton、Leibniz、L'Hôpital、兩位 Bernoulli 兄弟都交出答案——擺線（cycloid）。但大家的解法都是針對單一問題的「個案偵查」，沒有一般方法。
• 等周問題：古希臘以來的老問題——固定周長中什麼曲線圍出最大面積（答案：圓）。17 世紀末 James Gregory、Jacob Bernoulli 用幾何方法處理，但方法繁瑣且不一般。
• Newton 的阻力最小問題（1685）：Newton 在《Principia》中求旋轉體在流體中受阻力最小的形狀——這其實是第一個變分法問題，但 Newton 用了保密的幾何技巧。
• 極值問題的共同結構：普通微積分處理「函數在某一點的極值」（有限維），但這些問題是「函數在整條曲線上的極值」（無窮維）——傳統導數 \(\frac{dy}{dx}=0\) 完全派不上用場。年輕的 Euler（1707–1783）意識到：需要一套新的微積分。

線索與推理 -- 數學式、程式、理論#

線索一：Euler 的原始方法——折線逼近#

1744 年書中的推理是一場「無窮維的圍捕」。Euler 的策略：用逐段線性的折線代替曲線。考慮積分泛函

把 \([a,b]\) 分成 \(n\) 段，折線的節點值 \(y_1, y_2, \dots, y_{n-1}\) 是有限個自由變數（端點固定 \(y(a)=A, y(b)=B\) ）。於是 \(J\) 變成普通的多元函數，對每個 \(y_i\) 求偏導並令其為零：

令 \(n \to \infty\) ，方括號除以 \(h\) 收斂到導數，得到：

極值曲線必須滿足這條二階常微分方程。Euler 用這個方法重解了最速降線、等周問題等已知案例，全部命中——方法通過了驗證。

線索二：重審最速降線#

最速降線問題的泛函（能量守恆 \(v = \sqrt{2gy}\) ，時間是路徑積分）：

代入 Euler 方程。被積函數 \(F\) 不顯含 \(x\) ，存在首次積分（Beltrami 恆等式的特例）：

解出 \(y(1 + y'^2) = C\) ，這正是擺線的微分方程——與 1696 年挑戰賽的答案完全一致。個案變成了定理。

線索三：Lagrange 的改進——從幾何到解析#

1755 年，年僅 19 歲的 Lagrange 寫信給 Euler，提出用純解析的方法（不用折線）處理變分：對曲線做虛擾動 \(y(x) + \epsilon\,\eta(x)\) （端點 \(\eta(a)=\eta(b)=0\) ），計算泛函的一階變化：

第二步用分部積分。由於 \(\eta\) 任意且端點擾動為零，得極值條件：

與 Euler 方程一致，但推理乾淨得多。Euler 大為讚賞，將新方法命名為「變分法」（calculus of variations），並在 1764 年後的著作中改用 Lagrange 的方式。記號 \(\delta\) 也是 Lagrange 引入的。

線索四：通往力學的變分原理#

變分法立即被應用到力學。Hamilton（1834）的最小作用量原理：

其中 \(L = T - V\) 為 Lagrangian。牛頓力學的 \(F = ma\) 與「作用量極值」等價——整個力學被重寫為一條變分原理。Euler 1744 年的那條方程，成為從經典力學到量子場論（費曼路徑積分、規範場論）的共同起點。

程式碼範例：Euler–Lagrange 方程的數值求解（最速降線）#

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import solve_ivp

# 最速降線的首次積分: y(1 + y'^2) = C，參數解（擺線）
# x = r(t - sin t), y = r(1 - cos t)
def cycloid(r, t):
    return r * (t - np.sin(t)), r * (1 - np.cos(t))

# 端點: A=(0,0) 到 B=(1, 0.5)。求 r 使擺線過 B：
from scipy.optimize import brentq
def f(r):
    x, y = cycloid(r, np.pi)          # 擺線在 t=pi 處最低
    # 用數值積分找 t 使 (x,y) = (1, 0.5) —— 改用參數式求解
    return None
# 直接求 r: y_B = r(1-cos t), x_B = r(t - sin t)，聯立解 t, r
def eqs(t):
    # 由 x_B=1 反推 r，再檢查 y_B
    r = 1.0 / (t - np.sin(t))
    return r * (1 - np.cos(t)) - 0.5
t_end = brentq(eqs, 0.5, 2 * np.pi)
r = 1.0 / (t_end - np.sin(t_end))

t = np.linspace(0, t_end, 100)
x, y = cycloid(r, t)

# 數值驗證：用有限差分檢查歐拉方程 F - y' F_{y'} = const
yp = np.gradient(y, x)
val = 1.0 / np.sqrt(2 * 9.8 * y * (1 + yp**2))
print("首次積分值（應為常數）:", val[5], "vs", val[-5])

fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 5))
ax.plot(x, y, lw=2, label="最速降線（擺線）")
ax.plot([0, 1], [0, 0.5], "ro")
ax.plot(x, x * 0.5, "g--", lw=1, label="直線（比較）")
ax.set_aspect("equal"); ax.legend(); ax.invert_yaxis()
plt.show()

數值輸出顯示首次積分 \(F - y'\frac{\partial F}{\partial y'} = \dfrac{1}{\sqrt{2gy(1+y'^2)}}\) 沿擺線為常數——直接驗證了 Euler 方程。而比較曲線顯示：擺線確實比直線「下降得更快」。

結案 -- 後果與影響#

• 變分法正式誕生：極值問題從「個案偵查」變成「一般方法」，1755 年 Lagrange 的解析改進使其定型。
• 力學的重寫：Lagrange《Mécanique analytique》（1788）以變分法重建整個力學——牛頓的幾何推理被代數取代。Hamilton 1834 年的最小作用量原理是巔峰。
• 幾何的擴張：測地線、極小曲面（Plateau 問題）、等周問題全部納入變分法框架。
• 通往現代物理：量子力學的路徑積分（Feynman, 1948）、廣義相對論的場方程、粒子物理的標準模型，全部以「作用量極值」為語言——Euler 1744 年的方程是共同祖先。
• 影響至今：最佳控制理論、機器學習的泛函優化、影像處理的變分方法，都是這個案件的直接後代。

關鍵人物與文獻#

• L. Euler, Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minimive Proprietate Gaudentes, Berlin (1744)。
• J.-L. Lagrange, Mécanique analytique, Paris (1788)。
• C. B. Boyer, The History of the Calculus and its Conceptual Development, Dover (1949)。