1748 — Euler 函數概念與 e#

案件摘要#

1748 年，Euler 在柏林出版兩卷本巨著《Introductio in analysin infinitorum》（無窮分析引論）。這本書做了一件看似平淡卻徹底改變數學的事：把「函數」確立為分析學的基本對象，並以冪級數為函數的標準表示。書中系統闡述了 \(e\) 與 \(e^x\) 、 \(e\) 的定義級數、 \(\sin x\) 與 \(\cos x\) 的展開式，以及那條被譽為最美數學式的 Euler 恆等式：

微積分從此有了統一的語言。這是分析學「標準化」的結案證書。

前因 -- 為什麼會有這個案子#

• 對數與指數的混亂：17 世紀的對數是純計算工具（Napier, 1614），指數記號 \(a^x\) 對無理數指數的意義模糊不清。Bernoulli 兄弟與 Leibniz 曾為「 \(\log(-x)\) 是否有意義」爭論不休， \(\log x\) 與 \(e^x\) 的互逆關係直到 1690 年代才被釐清。
• 函數概念的模糊：Leibniz 1694 年首次使用「function」一詞，但意思只是「幾何量的依賴關係」。18 世紀初，「函數」與「曲線」、「解析式」的關係糾纏不清，John Bernoulli 與 Euler 之間還有「任意曲線是不是函數」的辯論（延伸到 1747 年 d'Alembert 的弦振動爭論）。
• 級數計算的積累：Mercator（1668）已算出 \(\ln(1+x)\) 的級數；Newton 有 \(\arctan\) 、二項級數；Leibniz 有 \(\frac{\pi}{4} = 1 - \frac13 + \frac15 - \cdots\) 。但這些都是零散案例，缺乏統一的組織。
• Euler 的雄心：Euler 意識到，分析學需要一本「字典」——先定義函數、級數、指數、對數、三角函數，再談微積分。《Introductio》正是為他自己的《Institutiones calculi differentialis》（1755）與《Institutiones calculi integralis》（1768–70）鋪路的前置卷。

線索與推理 -- 數學式、程式、理論#

線索一：現代「函數」概念的確立#

《Introductio》開卷第一句就定義：函數是由變數與常數以任意方式組成的解析表示式。Euler 把函數分類為代數函數與超越函數（transcendental，即 \(\sin\) 、 \(\cos\) 、 \(e^x\) 、 \(\log\) 等不能用有限次代數運算表示的函數），並主張：超越函數應該用冪級數定義。

這個觀點的革命性在於：函數不再依附幾何曲線，而是成為代數對象。 \(y = f(x)\) 從此是分析學的標準記號（記號 \(f(x)\) 也是 Euler 在 1734 年引入的）。現代教科書中「函數、定義域、表示式」的框架，直接源於此書。

線索二：e 與 \(e^x\) 的登場#

Euler 用兩條路徑定義 \(e\) ：

路徑一（極限）：複利的連續極限

記號 \(e\) 也是 Euler 引入的（1727 年手稿首次使用，1748 年出版）。

路徑二（級數）：

由此推廣到指數函數：

關鍵性質： \(\dfrac{d}{dx}e^x = e^x\) （唯一不變的函數）、 \(e^x e^y = e^{x+y}\) 、 \(e^x\) 是 \(\ln x\) 的反函數。Euler 證明 \(\ln x = \displaystyle\int_1^x \frac{dt}{t}\) ，從此對數有了積分表示，指數有了級數表示，兩者統一於 \(e\) 。

線索三：三角函數的級數與 Euler 公式#

Euler 在書中系統推出：

更深刻的是Euler 公式（1740 年代逐步形成，1748 年書中正式陳述）：比較 \(e^{ix}\) 的級數與 \(\cos x + i\sin x\) 的級數，逐項相同，故

取 \(x = \pi\) ：

五個最重要的常數 \(e, i, \pi, 1, 0\) 出現在同一條式子中。這條恆等式同時解決了 \(\log(-1) = i\pi\) 的百年爭論——複對數的謎團結案。Euler 還據此推出著名的乘積公式：

由此輕鬆算出 Basel 問題（他 1735 年的成名作）： \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\) 。

線索四：級數操作的黃金時代與隱患#

Euler 對冪級數的操作大膽到近乎魯莽：逐項微分、逐項積分、無窮乘積、甚至發散級數的「求和」（他 1749 年處理 \(1 - 1 + 1 - 1 + \cdots = \frac12\) ，是 Cesàro 求和的先聲）。這些操作大多正確，但缺乏收斂性論證——「形式操作」的信仰為 19 世紀的嚴格化運動埋下伏筆。Abel 1826 年的名言：「Euler 的發散級數操作產生了許多偉大的結果，但……」正是對這個時代的總結。

程式碼範例： \(e\) 的級數收斂與 Euler 公式數值驗證#

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import factorial

# 1) e 的級數部分和收斂
print("e 的級數部分和：")
partial = 0.0
errs = []
for n in range(0, 15):
    partial += 1 / factorial(n)
    err = abs(np.e - partial)
    errs.append(err)
    if n in (0, 2, 4, 6, 8, 10):
        print(f"  n={n:2d}, 部分和 = {partial:.12f}, 誤差 = {err:.2e}")

# 2) e^{i pi} + 1 = 0 的數值驗證（用級數計算 e^{iπ}，不借助 cmath.exp）
def exp_series(z, N=40):
    s = np.zeros_like(z, dtype=complex)
    term = np.ones_like(z, dtype=complex)
    for k in range(1, N + 1):
        term = term * z / k
        s += term
    return s

pi = np.pi
z = np.array([1j * pi])
val = exp_series(z)
print("\ne^{iπ} 的級數值 =", val[0])
print("e^{iπ} + 1 =", val[0] + 1, "（理論為 0）")

# 3) e^{ix} = cos x + i sin x 的逐點檢查
x = np.linspace(-2 * pi, 2 * pi, 200)
lhs = exp_series(1j * x)
rhs = np.cos(x) + 1j * np.sin(x)
print("max |e^{ix} - (cos x + i sin x)| =", np.max(np.abs(lhs - rhs)))

fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 4))
ax[0].semilogy(range(15), errs, "o-")
ax[0].set_title("部分和誤差：e = Σ 1/n!")
ax[1].plot(x, lhs.real, label="Re e^{ix}")
ax[1].plot(x, np.cos(x), "k--", lw=0.8, label="cos x")
ax[1].legend(); ax[1].set_title("Euler 公式：e^{ix} = cos x + i sin x")
plt.show()

數值輸出顯示： \(e\) 的級數誤差約以 \(\dfrac{1}{(n+1)!}\) 的速度崩落； \(e^{i\pi}+1\) 的級數值在小數點後十餘位為零； \(e^{ix}\) 與 \(\cos x + i\sin x\) 的最大偏差僅為浮點誤差等級——Euler 公式的三重驗證全部通過。

結案 -- 後果與影響#

• 分析學的語言標準化：函數、 \(f(x)\) 、 \(e\) 、 \(e^x\) 、 \(\ln\) 、 \(\sin x\) 級數、 \(\pi\) 的記號與用法，從此成為全歐洲（乃至全世界）教科書的標準。
• 複數的合法化：Euler 公式讓 \(i\) 從「形式符號」變成有幾何意義的對象（1806 年 Argand、Wessel 的複數平面是後續），為 Cauchy 的複分析鋪路。
• 超越函數的系統化： \(\Gamma\) 函數、Beta 函數、橢圓積分在 Euler 手中逐一誕生，特殊函數論的時代開啟。
• ** Basel 問題與 ζ 函數**： \(\sum 1/n^2 = \pi^2/6\) 是 Riemann ζ 函數的先聲（1859），通往質數分佈與解析數論。
• 隱患的兌現：Euler 式的形式操作在 19 世紀初製造了級數濫用的悖論，直接催生 Cauchy 的《Cours d'Analyse》（1821）與嚴格化運動。
• 影響至今：所有科學與工程教科書的數學語言，都是 1748 年這本書的直接後代。

關鍵人物與文獻#

• L. Euler, Introductio in analysin infinitorum, Lausanne (1748)。英譯：J. D. Blanton, Introduction to Analysis of the Infinite, Springer (1988, 1990)。
• E. Hairer & G. Wanner, Analysis by Its History, Springer (1996)。